第四章　数学欣赏

第四章　数学欣赏 • 引言 • 整数趣谈 • 从哥德巴赫猜想到归纳思想 • 从同余看无限到有限 • 从勾股定理到费尔马定理 • 从房间安排看一一对应 • 七桥问题与数学抽象 • 由为无理数的证明看数学方法 • 数论与密码学 • 从平面几何系统到数学公理化 • 从谁是罪犯到逻辑推理 • 田忌赛马看数学决策

对数学的认识，已经费时很多了，所得有多有少．大多数人都经历了义务教育、高中阶段12年学数学的历史，在大学，理工科、工商、经济类都得学数学，所以每个人花在数学上的时间确实很长．实际上数学作为一种实用工具和培养思维能力的方法，深受各个学科的关注和重视．文科学生学点数学，对开拓思维方式、提高个人素质都有好处．随着信息时代的到来，文理互相渗透．如果每个人都能将科学素养与艺术素养两者结合起来，那么对提高个人的综合素质是十分有益的．科学的目的在于认识世界、改造世界，艺术的目的在于追求真善美，追求社会、人生和心灵的和谐．引言 1 认识数学

4.0.1 认识数学 （1）数学成就首先是数学家的成就（2）核武器的产生（3）经济学成为一门非常重要的数学（4）CT

4.0.2 数学的特点 数学的特点有三个：抽象性，精确性，应用广泛性．

4.0.3 数学提供特色的思维方式 抽象化：选出许多不同的现象抽象出它们共有的理性，从而进行专门研究．符号化：将通常语言转换成数学语言，使它变得更严密，逻辑性更强．用简明的符号语言来表达共同的特征，它具有运算和计算的能力．不仅如此，它还是国际语言，功能超过自然语言．合理化：从前提、数据、图形等原始资料出发，选择一些推理规则，在特定的规则下进行一系列的推理．最优化：考查所有可能，从中寻求最优解．数学模型：从现实现象、现有数据中找出数量关系，提升为数学问题，并予以解决．

4.1 整数趣谈 • 正整数是大家最早接触的，一些基本概念、运算、性质固然都是大家熟知的．有时自觉不自觉的在应用它．其实正整数中还是有许多有趣的现象和性质，从而引出了许多著名的数学问题．

4.1.1 完全数和梅审数 • 设为一个正整数，若时称整除，记为，称为的因数，称为的倍数． • 设，当仅有二个因数1和时，称为素数(质数)． • 用符号表示的正因数的个数，表示的所有正因数之和．

4.1.1 完全数和梅审数 • 例如．而当n=6和28时，6的所有正因数之和为12， 28的所有正因数之和为56． • 由此可以引发考虑具有下列性质的数，满足，即的所有正因数之和等于2 ，称满足上述条件的数为完全数 (完备数)． • 故6和28是二个完全数．

在寻找完全数的过程中，欧几里德发现当n为素数且 为素数时，是完全数,但条件为素数的要求太高了．真正对的数进行研究的是梅审．故将的数称为梅审数，梅审证明当n=2,3,5,7,13,17,19,31时为素数．目前只有不到30个梅审素数被发现，1983年，第28个梅审素数被发现，就是n=86243时．而已是一个非常大的数，共有25000多位，判断为素数借助于大型计算机．目前最大的梅审数为

完全数和梅审素数可能是一一对应的．因此研究完全数的问题转化为研究梅审素数的问题．对完全数或对梅审数的研究目前尚在进行之中，焦点集中在是否存在无穷多个完全数或者梅审素数．目前找到的完全数依赖于梅审素数，所有的已知完全数都是偶数，因此，另一个关于完全数的问题是是否存在奇完全数．完全数和梅审素数可能是一一对应的．因此研究完全数的问题转化为研究梅审素数的问题．对完全数或对梅审数的研究目前尚在进行之中，焦点集中在是否存在无穷多个完全数或者梅审素数．目前找到的完全数依赖于梅审素数，所有的已知完全数都是偶数，因此，另一个关于完全数的问题是是否存在奇完全数．

4.1.2 回文数 • 回文，也写作“迴文”、“回纹”，利用汉语以单音节语素为主和以语序为主要语法手段的语言特点，将词序排列成回环往复都可以阅读的修辞方法，回文诗就是一种回环往复都能朗读的诗．

《思妻诗》（顺读） 枯眼望遥山隔水，往来曾见几心知？壶空怕酌一杯酒，笔下难成和韵诗．途路阳人离别久，讯音无雁寄回迟．孤灯夜守长寥寂，夫忆妻兮父忆儿．《思夫诗》（倒读）儿忆父兮妻忆夫，寂寥长守夜灯孤．迟回寄雁无音讯，久别离人阳路途．诗韵和成难下笔，酒杯一酌怕空壶．知心几见曾往来，水隔山遥望眼枯． 4.1.2 回文数

回文诗的形式新颖而独特，活泼而多变化，读来回环绵延、往复无尽，一般能上下颠倒读、顺读倒读、斜读、交互读等．《两相思》顺读为《思妻诗》，倒读为《思夫诗》，运用合二为一的回文诗充分地表现出夫妻缠绵悱恻、难舍难分的相思相爱的情感，阅读时也给人以荡气回肠、意兴盎然的美感．回文诗的形式新颖而独特，活泼而多变化，读来回环绵延、往复无尽，一般能上下颠倒读、顺读倒读、斜读、交互读等．《两相思》顺读为《思妻诗》，倒读为《思夫诗》，运用合二为一的回文诗充分地表现出夫妻缠绵悱恻、难舍难分的相思相爱的情感，阅读时也给人以荡气回肠、意兴盎然的美感．

在数学里也有回文数的概念，其特征是一个数从左往右读和从右往左读完全是一样的．例如，121，1221，132231等都是回文数．可以证明，偶数位的回文数能被11整除．回文数有着十分有趣的性质，并且留下让人琢磨不定的问题．在数学里也有回文数的概念，其特征是一个数从左往右读和从右往左读完全是一样的．例如，121，1221，132231等都是回文数．可以证明，偶数位的回文数能被11整除．回文数有着十分有趣的性质，并且留下让人琢磨不定的问题．

4.1.2 回文数 • 设n为任何一个正整数，将n的从右到左而产生的数称为n的逆序数，记为． • 例如n＝789，则n的逆序数＝987．将n与相加看作对n的一次变换．这种变换反复进行下去，就有可能得到一个回文数．例如n=397，＝793．n+ =1190 = ， = 0911 + = 2101 = ， = 1012 ， + = 3113．经过上述变换，我们将397演变成为一个回文数3113

　但是要注意，从一个数变换成为一个回文数需要的变换步数是不可测的，有的数一次两次就可变成回文数，而有些数不知道要变多少次，甚至根本就不知道能不能变成回文数．例如从195经过4次变换可得到一个回文数，而197要经过7次变换可得到一个回文数．但对196作变换，借助于计算机经过上千上万次的运算，得到一系列的数字，仍得不到相应的回文数．然而又无法证明196不可能变成回文数，这也许就是回文数的魅力所在．　但是要注意，从一个数变换成为一个回文数需要的变换步数是不可测的，有的数一次两次就可变成回文数，而有些数不知道要变多少次，甚至根本就不知道能不能变成回文数．例如从195经过4次变换可得到一个回文数，而197要经过7次变换可得到一个回文数．但对196作变换，借助于计算机经过上千上万次的运算，得到一系列的数字，仍得不到相应的回文数．然而又无法证明196不可能变成回文数，这也许就是回文数的魅力所在．

素数的稠密程度有以下统计：100以内25个，1000以内168个，10000以内1229个，10万以内9592个，100万以内78498个，1000万以内664579个．统计表明就比例而言越往后素数个数越少．素数的稠密程度有以下统计：100以内25个，1000以内168个，10000以内1229个，10万以内9592个，100万以内78498个，1000万以内664579个．统计表明就比例而言越往后素数个数越少． 4.1.3 素数

两个素数相邻的距离非常随机，可大可小.任何一个数，例100，可构造连续100个整数，每一个都是合数，构造方法为：两个素数相邻的距离非常随机，可大可小.任何一个数，例100，可构造连续100个整数，每一个都是合数，构造方法为：说明人为可以使两个相邻的素数的距离很远．但是存在相邻的素数的距离相差2，为素数也是素数．称为孪生素数．例：11和13,17和19等都是孪生素数．但搞不清这样的素数有多少对． 4.1.3 素数

素数的个数有无穷多个． 上述命题可用反证法和构造法来证明．假设素数只有有限个,将所有有限个素数记为构造整数则在A中一定能找到一个素因数q，但从而和只有有限个素数矛盾．

形如的数称为费尔马数．费尔马判言对任意，表示素数，实际上都是素数，而为合数，欧拉给出了的例子 4.1.4 费尔马数

和费尔马数有关的问题是尺规作图，即仅用直尺和圆规作正多边形．结论为：当 为奇数时，当且仅当为费尔马素数时，或若干个互不相同的费尔马素数的乘积时，正边形可以用尺规作出． 4.1.4 费尔马数

任何一个大于4的偶数是两个素数之和，任何一个大于7的奇数是三个素数之和． 目前哥德巴赫猜想的提法为：对充分大的偶数一定能表示为二个奇素数之和. 从哥德巴赫猜想到归纳思想

人类认识的程序总是认识某些特殊现象，然后过渡到一般规律．归纳就是从特殊、具体认知推进到一般认知的一种思维方式．人类认识的程序总是认识某些特殊现象，然后过渡到一般规律．归纳就是从特殊、具体认知推进到一般认知的一种思维方式．归纳方法的特点是： (1) 归纳的前提是单个的事实、特殊的情况、个别的现象．所以归纳思想立足于观察、实验、判断、计算，由此为根据总结出来的结论不一定正确． (2) 归纳依据现有的不完备知识、现象推断未知的现象，总结出来的结论仅仅是猜测性的． (3) 归纳是从特殊现象去推断一般现象，因此归纳出来的结论超越了前提所包含的内容．从哥德巴赫猜想到归纳思想

在古希腊称为毕达哥拉斯学派．在毕达哥拉斯时代没有记数的符号,依赖于几何直观.常用点子或石子记数,并根据石子摆放的形状对数进行分类，现在称为形数，象这些数叫做三角形数，因为可以排成正三角形，而象等叫做方形数，因为它们可以排成正方形．用表示阶三角形数，把两个阶三角形数并在一起得到一个边长分别为n和n+1的矩形点阵．显然这个点阵中包含 n(n+1)个石子，所以，从哥德巴赫猜想到归纳思想

但是等都是三角形数，实际上：故得到．从哥德巴赫猜想到归纳思想

用表示阶方形数， 从哥德巴赫猜想到归纳思想　．几个图就可归纳出再画

继续观察下面等式： ，，，，根据以上等式我们有理由猜测有等式：．从哥德巴赫猜想到归纳思想

已求出了前n个自然数之和和前n个自然数的立方和，自然会想到前个自然数的平方和是什么，这又是数学的魅力．事实上．从哥德巴赫猜想到归纳思想

公式发现的过程实际也是归纳总结的过程． ，，．这看不出什么规律，必须继续作观察、计算．为方便设，，．从哥德巴赫猜想到归纳思想

从哥德巴赫猜想到归纳思想 从表中看出应该有，，故．

定义1　设m为正整数，a,b为二个整数，若a-b能被m整除，则称a和b关于模m同余．记为：定义1　设m为正整数，a,b为二个整数，若a-b能被m整除，则称a和b关于模m同余．记为：否则称a和b关于模m不同余，记为 a≢b(modm)．从同余看无限到有限

我国古代历算的干支纪年法，是以60为模的同余问题．<<孙子兵法>>中，有“物不知其数”一问：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如用同余记号表示，上述问题就是求同时满足下面三个同余式的正整数x的问题：我国古代历算的干支纪年法，是以60为模的同余问题．<<孙子兵法>>中，有“物不知其数”一问：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如用同余记号表示，上述问题就是求同时满足下面三个同余式的正整数x的问题：，，．从同余看无限到有限

同余作为一个符号有类似于等号作为符号相似的性质，基本性质为：同余作为一个符号有类似于等号作为符号相似的性质，基本性质为： (1) (2)　若，则． (3)　若，，则 (4)　若，，则，． (5)　若，n为正整数，则．．从同余看无限到有限

例1今天是星期天，问从今天起再过 天是星期几? 解因为，，，故而 25=4*6+1 ，故　即知再过天是星期三．现在很容易知道2010年8月8日是星期几了吧．从同余看无限到有限

（１）数的整除特征 设由于 a和被3(被9)除时的余数相同同理，由于，故即被11除的余数和被11除的余数相同．从同余看无限到有限

例2分别求12345678910被3除，被11除所得的余数． 解因为．即12345678910被3除的余数为1．又因为即12345678910被11除的余数为4．从同余看无限到有限

（２）求整数的个位数、末两位数 已知a为整数，求a的个位数相当于用模10做同余，求末两位数相当于用模100做同余．例3求的个位数．解即求被10除的余数，只要求的个位数即可．故而，故即的个位数为9．从同余看无限到有限

熟知整数有无穷多个，所以在讨论与整数有关的问题时不能用枚举法，而同余能把无限的问题转化成有限问题，即可对整数集进行分类．熟知整数有无穷多个，所以在讨论与整数有关的问题时不能用枚举法，而同余能把无限的问题转化成有限问题，即可对整数集进行分类．设同余的模为m，把互相同余的数放在一起归为一类．这一类数的特点是这些数被m除时有相同的余数．不同类中的数被m除所得的余数是不相等的．这些类常称模m的剩余类，用来表示．任何整数总能表示成：的形式，其中q称为不完全商，r称为余数．从同余看无限到有限

例4连续三个整数之积一定能被3整除 证连续三个整数可以写成的形式，设当　时，则3整除 ,从而3整除；当　时，则3整除 ,从而3整除；当　时，则3整除 ,从而3整除．综上无论为任何整数，故有3整除．从同余看无限到有限

直角三角形的两直角边和斜边分别为 则有，这就是勾股定理．设为不定方程的一组整数解．一般解记为，称为一组勾股数,若的最大公因数为1，则称为本原勾股数． 4.4 从勾股定理到费尔马定理都是本原勾股数

利用本原勾股数的通项形式，可求出所有勾股数的一般形式．前面提到的一些勾股数都是通项的特殊情况．利用本原勾股数的通项形式，可求出所有勾股数的一般形式．前面提到的一些勾股数都是通项的特殊情况．根据通项公式可以看到，任何一组本原勾股数中，必有一个能被3整除，中必有一个能被4整除，中必有一个能被5整除．此条性质的变相说法是，任一本原勾股数中勾股弦的乘积必能被60整除．从勾股定理到费尔马定理

某些勾股数之间有一种神奇的模式，犹似砌宝塔，需要不断添砖加瓦，而这些添加的材料，竟然全部为0．某些勾股数之间有一种神奇的模式，犹似砌宝塔，需要不断添砖加瓦，而这些添加的材料，竟然全部为0．设自然数n,作，，．则即为一组本原勾股数．从勾股定理到费尔马定理

不定方程 的一个重要推广即所谓“费尔马大定理”．大约在1637年前后，费尔马在丢番图的《算术》(译本)的第二卷关于本原勾股数的页边上，写下了他认定的一段结论：“不可能将一个立方数写成两个立方数的和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，一般地说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和．”接着他又俏皮地写下一个附加的评注：“我对此命题有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下．”这就是说，费尔马认为他证明了下面的结论：不定方程没有正整数解．从勾股定理到费尔马定理

上述评注是在费尔马死后五年的1670年发表的．事实上，人们遍寻费尔马的手迹，并没有发现这一“美妙的证明”，而只看到他对于 的情形的一个证明．费尔马对这一证明颇为得意，命名为“无穷下降法” ．或许费尔马认为用这种方法可以证明任意的情形．但事实远不是那样简单．因此只能认为上述结论是费尔马的一个猜想．后来很多数学家努力寻求这一结论的证明．除了它以外，费尔马提出的所有猜想早已得到解决，后来人们称它为费尔马大定理．而它成为了世间智者358年的谜，终于在1994年，由一个英国出生、在普林斯顿大学数学系工作的数学家怀尔斯所证明．从勾股定理到费尔马定理

1．普通旅店 设想一个普通旅店，各房间依次编了号码：．现在住进了一批客人．每人住一个房间，没有两个人住同一间房间．如果还有房间没有客人住，我们可以断言，房间数比客人数多；如果所有的客人都已住下，发现没有空房间多余，则房间数和客人数相等；如果所有的房间有人住而还有客人未住进去，则客人数多于房间数． 2．希尔伯特旅店设想一个有无穷多个房间的旅店，各房间依次编了号码：． 4.5 从房间安排看一一对应

现在来了一个代表团，有无穷多个成员．为管理方便，团长为每个成员编了号 ，这样到达旅店后，团长让每个人住进号码相同的房间，让1号住#1房间，2号住#2房间，…．我们发现房间和代表团成员一样多：因为每个人有一个房间住，而每个房间都住了一个人，没有房间空着．这样，代表团成员的数目和旅店房间的数目相同，如果我们把一个集合的元素的个数称为集合的势．则代表团成员组成的集合的势和旅店房间组成的集合的势相同．设想等代表团安顿好后，又来了一个人．他是否也能住下来呢?答案是肯定的．我们让他住进#1号房间，#1房间的客人移到#2房间，#２房间的客人移到#3房间，其余的人都依次移到下一个房间．于是客人总数和房间仍然一样多．从房间安排看一一对应

求解上述问题的过程用到了极其重要的数学思想：一一对应，在引进了无穷集的计数问题后，有限和无限变得极有意思．有限集的许多性质、特点在无限集中不再存在．但无限集计数仍采用这种一一对应思想和方法来进行．求解上述问题的过程用到了极其重要的数学思想：一一对应，在引进了无穷集的计数问题后，有限和无限变得极有意思．有限集的许多性质、特点在无限集中不再存在．但无限集计数仍采用这种一一对应思想和方法来进行．设A和B是两个集合，设是具有以下性质的映射，使得A的任一元素有B的唯一元素与之对应，并且B的任一元素，也有A中的唯一元素与之对应，则称为到的一一对应．记为：将A集合的元素的个数记为．若，则称为n元集．若为无限集，则称为A的势．有些不同的集合它的势是不同的，即也有“大小”．从房间安排看一一对应

若A集合与集合B间能建立一对一的对应，则称A与B是“对等”的，或者称它们的势是相同的．用符号． 来表示二个集合的对等不难看出，对等概念具有下列性质：自反性：；对称性：若，则；传递性：若，，则．不难明白，两个有限集只有当它们的元素个数相同时才是对等的．由此可见，“其势相同”一语乃是在有限集中元素“个数相同”的直接扩充．对于无限集，我们把一切对等的集归为一类，说它们有相同的势，或基数，并用一个记号来表示它．从房间安排看一一对应

设N表示自然数全体的集，而M表示全体偶数的集合，使用下面的方法在这两个集合之间建立一一对应：设N表示自然数全体的集，而M表示全体偶数的集合，使用下面的方法在这两个集合之间建立一一对应： N与M是对等的，它们的势相同，M是N的真子集．结论：“自然数有多少，偶数也有多少．”这个现象似乎很奇怪，它不可能在有限集中发生．不难检查，集合不与它的任何一个真子集对等．这说明有限集与无限集间存在着本质上的差别．凡与N集对等的集A都叫作可数集，或称集A是可数的．从房间安排看一一对应

正有理数的集合是可数的. 线段AB和AC的势是相同，表明二个线段上的实数一样多. 区间和区间的势是相同 . 区间上点和实轴上的点的个数是相同的 . 区间中点的个数与自然数集不存在一一对应关系. 内的实数要比所有自然数“多得多”．中点是不能按标号排队的，即是不可数的．而的实数和全体实数一样多，故全体实数集也是不可数的．从房间安排看一一对应

第四章 数学欣赏