第四十三讲

1. 吉林大学远程教育 大学文科数学 （微积分学） 第四十三讲 主讲：杨荣副教授

2. 定积分 表示曲边梯形ABCD的面积。如将一条边AD固定，另一条边MN变动，显然变动的曲边梯形AMND的面积是 x的函数，记为Φ(x)，如图3.7，由定积分的定义有 y C N D A B o a M(x) b x 图3.7 2.4 微积分基本公式 我们常把积分变量 x 换成 t ,即有 y = f (x) 并称它为积分上限函数。 根据导数定义

3. 于是 。 由积分中值定理可知，在 x 与 x = △ x之间至少存在一点ξ ，使得 是 f (x) 在区间[a , b]上的一个原函数。即 证 对函数Φ(x)用导数定义求导数。给自变量 x一个增量△x ，则Φ(x)在 x＋△x处的函数值为 由此得到函数的增量

4. 从而， 存在，即Φ(x)可导，并且 由积分中值定理，得 其中ξ介于 x 与 x＋△x之间，于是 令△x→0 ，对上式两端取极限，有 因为△x→0时， ξ→ x ，再由 f (x)的连续性，可知 重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，且一个连续函数作变上限定积分所确定的函数即为它的一个原函数；另一个方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的本质联系。因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。

5. (2) 把函数 看成由函数f (u)= 和函数u= （x）=x2这两个函数复合而成的函数。我们利用复合函数的求导法则，得 例7 求 解 当x 0时，x2 0,cosx 1,于是 。因此，这是一个 型的未定式,可用罗必塔法则计算： 例6 求下列函数的导数： 解

6. 试计算 和 例8 函数 f (x)处处连续，并且对任一实数 x 都满足 解 在方程两端求导，得到 f (x) = 2x＋2xcos2x 因此 因为 f (x) = 2x(1＋cos2x)，两端对 x 求导，得到

7. 1．对积分上限函数 求导数，等于被积函数在上限的值 f (x) . 所以 2．Φ (x)是连续函数 f (x)一个原函数。假设F(x)也是 f (x)一个原函数，则存在常数C，使得 Φ (x) = F(x)+C 因为Φ (a) = 0 ,所以F(a)+C =0， 从而C = －F(a) ，于是 Φ (x) = F(x) －F(a) 于是由Φ的定义，有

8. 当 x = b 时，则得到 这就是下一讲要学的微积分基本公式。

9. 谢谢！