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广义相对论课堂 20 Schwarzschild 时空测地线

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Presentation Transcript

  1. 广义相对论课堂20Schwarzschild时空测地线 2011.11.21

  2. 课程安排 复习内容:标正基构造 新内容:Schwarzschild时空应用 下次课:续 学习目标分课堂,每课堂最多6个 调查表 草稿纸——助教

  3. 复习、回顾、总结重点

  4. 初始条件 • 几何=位置+方向——四速度 • 区分3维位形空间(3速度)——四维时空(四速度) • 实现WEP

  5. Killing矢量场 • 单独一个Killing矢量可能无意义 • 整体“平移” • 黎曼几何的对称性数目=相互独立的Killing矢量场的数目 • 多个Killing矢量场之间独立性

  6. Killing矢量场独立性问题 • 原点平移后转动Killing矢量场变化了 • 新的Killing矢量场? • 线性组合 • 系数——自由度

  7. 运动常数=守恒量 • d/dτ • 沿着测地线=自由粒子运动过程中 • 有一个物理量

  8. 复习、回顾、总结重点

  9. 三种理论4种钟尺网格

  10. 无非是将平直时空(事件集合)用网格点标记 • 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理

  11. 线元与度规 • Δx2+Δy2=Δx'2+Δy'2 • -Δt2+Δx2=-Δt'2+Δx'2 • Δx''=0,=-Δt''2=-Δτ2 • Δt''=0,=Δx2=Δs2 • 0

  12. 测量意义?

  13. 测验 • 习题7.21 • 惯性系skew坐标下平直时空线元和度规

  14. 从惯性到加速 • Δ——》d

  15. 从全局惯性到全局坐标 • 平直时空匀加速系 • 弯曲时空 • 比较异地钟尺运动态无意义——相对于LIF • 时间总有膨胀=弯曲 • 空间至少2维有弯曲——你的时间是我的时间和空间的组合

  16. 史瓦西时空为例2维空间必然弯曲 • r的意义=约化周长——角向 • r——》rho • 仅有1维 • 2维时

  17. 球面 • Φ——测地线 • θ——非测地线,除赤道圈 • θ换成Φ' • 也用测地线,赤道圈上某一点P=第二极点O' • 相对于北极点O • OO'大圆上坐标失效,无能区分不同点——非全局! • 对比极点(θ,Φ)坐标简并

  18. 简单回顾史瓦西时空 静态:静止观者、ξ 球对称:

  19. 第一点 静止观者四速度 基准、固定钟尺

  20. 四速度 • 分量(γ,γV)? • 固定静止==》 • 归一化==》

  21. 物理时间

  22. 构造空间标正基 • 通常正交坐标系 • 对于静止观者归一化即可 • 对于运动观者标正条件

  23. 物理长度

  24. 反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么?或者你认为最有用的是什么? • 如果不是,请问哪些你没学到? • 如果不确定,请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚?或有最大问题? • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚? • 缺少提问的机会? • 你事先没有准备? • 缺乏课堂讨论? • 其他?

  25. 第二点:运动常数(守恒量)的测量意义

  26. 重点:e的测量意义

  27. 本人思考结果 • 前面讨论的钟尺网格——不同态 • 时间平移不变——全局时间——仅在无穷远对应基准钟

  28. e的取值范围 • 径向+固定地点、相对于静止观者

  29. 守恒角动量l的物理意义 • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 牛顿万有引力(有心力)守恒量h=r2(dΦ/dt) =Kepler第二定律

  30. 第三点:利用守恒量得到引力红移 测量公式

  31. 重点:固定钟——纯粹引力红移 • 固定——静止观者

  32. 非固定的一般钟

  33. 第四点:测地线方程(组) 径向方程

  34. 测试粒子和光线的测地运动三个初积分/运动常数/守恒量测试粒子和光线的测地运动三个初积分/运动常数/守恒量 • 单位质量粒子能量e(因为在远处), 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动:1。直观地看,任何偏离平面的运动都受到非向心力,破坏了球对称 • 2。教材9.22,L=0,初始dφ/dτ=0,则以后沿测地线处处为dφ/dτ=0, φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程,附录B,LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向,约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分,四速度归一/0化,即线元 • 四速度只有三个非零分量,利用三个初积分方程,可用e,L表达

  35. 第五点:有效势能曲线 分析原理

  36. 第六点:轨道类型

  37. 史瓦西几何 • 球对称曲率源(引力源),例如球对称星球,地球和太阳可近似,忽略自转和扁率 • 最大对称,与物质径向分布无关,牛顿定理GR版 • 静态,但是星体不一定静止,球对称塌缩,Birkhoff定理 • 外部真空的几何,内部非真空解取决于物态方程,平滑地在星体表面相接,图 • 渐近平直;星体中心相对于遥远静止观者(t,dr)静止.与宇宙学R-W度规衔结是另一种几何

  38. 史瓦西线元 • 史瓦西坐标、史瓦西度规,几何化单位.7428 • 静态,时间t平移不变,Killing矢量ξ=(1,0,0,0) • 球对称,球极坐标角:φ平移不变,Killing矢量η =(0,0 0,1) θ • r=P/2π,约化周长,约化Planck常数h,面积;半径不可以直接测量(到中心),Δr可测,在长度上意义见下页 • 静态弱场,Weiberg3.4gtt, M是质量,可以证明M是星体及其引力场的总能量Weinberg8.2,也就是说利用Kepler定律测到的引力质量不仅仅是牛顿力学认为的组成粒子质量之和,22.4节;M=0平直时空 • 几何只取决于M,与物质径向分布无关,牛顿定理GR版 • 度规仅仅依赖于r,r->∞渐进平直时空

  39. 史瓦西坐标r • r=0, r=2M(史瓦西半径,引力半径)在星体内,除非(球对称)黑洞,此线元可以描述2M>r>0 • r在无穷远,固有长度,微分(利用local光速为1得到,因为等效原理),潮汐径向拉伸,越近拉伸越厉害, r->2M;反看则为潮汐横向挤压 • 有限固有长度(物理,默认) ,公式,数值举例 • 给定t,空间部分,嵌入图(三维欧式透视),大r侧近似为抛物面方程,投影到平面

  40. 史瓦西坐标t • t在无穷远far-away time,固有时,越深势阱时钟越慢 • 微分时间,用dt过渡,r->2M • 脉冲duration(持续时间)和频率关系=>红移,数值举例 • 引力场中两个不同地点,静止观者,否则含运动时间膨胀 • 教材,u*u=-1注意观者非测地运动,为什么定义u=dx/dτ是四速度,沿袭自LIF中标准正交基下,E=-p*u, u用ξ表达,利用沿着光线(测地线)守恒量 • 弱场下和等效原理推导的近似结果一致 • 光线可以非径向传播(例如后面讲的散射轨道),没有碰撞散射(有可能改变频率)等自由运动,以上分析适用于任意度规g_00

  41. 有效势与径向方程 • 量纲,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子 • 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线运动也成立,即-1=u*u,只是e,L不再是守恒量,无法利用势能曲线简单分析 • 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出,方向与引力相反,dτ->dt • 第四项为相对论修正项,吸引,相对论引力比牛顿强,本质因为光速极限(由EP=>-1=u*u) • 利用(有效)势能曲线分析运动轨道及其稳定性,平方项总是大于等于0 • 图形,牛顿(二三项)和相对论的有效势,分别主导小、中、大R曲线形状,R->0,R->∞ • 特殊点,微分画出曲线

  42. 给定M,首先按照角动量分类 • 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡--外力,不再有机械能守恒分析;径向远离,E≥0可逃逸到无穷远(势能为0),E<0会回落 • L≠0不可到达r=0, • 1。E≥0散射,双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地,势能曲线最低点E=V_min=-1/2L^2(与熟知结果一致)圆周,且稳定

  43. GR情况 • 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V->L^2/2R^2 • 2.0=V,R01,02=;L≥4;随L分别为减函2<R01<4、增函数>4 • 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 • 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸,其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上+拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周+束缚(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax

  44. 反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么?或者你认为最有用的是什么? • 如果不是,请问哪些你没学到? • 如果不确定,请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚?或有最大问题? • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚? • 缺少提问的机会? • 你事先没有准备? • 缺乏课堂讨论? • 其他?

  45. 势能曲线的分析原理 • d/dτ径向方程后,得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’=有效力,所以碰到势垒会反弹;散射和束缚由d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力;问题:在ε=V, dr/dτ=0是否可以保持圆周运动?答:不会-- • 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况,某个高度上,速度大(小)于圆周速度,离心力大(小)于引力,双曲(抛物)(椭圆);测地线方程d^2r/dτ^2=-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

  46. • 2.Cauchy定解,运动方程总是二阶微分方程(例如从变分原理看L(v,x),所有力学都是从牛顿力学比拟而来),初始位置确定(静态时空)则时空点确定,初始三个速度确定,则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条测地线(当然,不一定遍历,如一开始就在V最高点则只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分) • 所以,任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡(无磨擦无空气阻力)上粒子运动,地面支承力+重力=有效力,即所谓势能曲线分析

  47. 六个量 • 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种,5个速度(三个固有速度+两个坐标速度)+1个形状量(写成杨辉三角4层4321) • 仅取决于三个方程:e,L,径向方程

  48. 径向运动 • dφ/dτ=0,φ=Const. ,无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势,dτ=±dr/√2(ε+1/r),ε≥1/2 • 径向自由下落,取负号,ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静止,解得 • 教材用r=0定标,到黑洞讲;从某个r到2M,粒子固有时有限;从无穷远无限 • 坐标时间,从某个r到2M无限,r->2M,9.40最后一项->+∞,这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象 • 例子9.1,径向逃逸(到无穷远0渐近静止,e=1)速度,在施瓦希坐标半径R处静止观者(只有u^t不为零)测量V,E=γmV(LIF中消除引力影响,观者自身标架为LIF中随动标架),g_tt*u^t=e=1

  49. 圆周轨道 • 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减 • 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增,L=3.46最小,三个施瓦西半径 • 定义坐标角速度,实测设计:遥远一圈静止钟(同步化),接受圆周运动粒子径向光脉冲,因为圆对称,不同φ光线受的引力时间膨胀一样,测出Δt;Δφ=圆弧长/圆周长 • V’=0+ε=V=>9.45,也适用于非稳定圆周轨道 • 得到与Kepler第三定律(圆周轨道)相同形式,不是固有时角速度,在无穷远回到Kepler

  50. 束缚轨道的形状 • 方程,椭圆函数,u=1/R后,补齐量纲,常数项为牛顿能量+高阶小量 • 从内转折点r_1(近星点)到外转折点r_2 (远星点),再回到内转折点=1圈turn • 一般1圈后Δφ≠2π不闭合,顺着轨道转动方向进动(相对论修正项为正),每圈进动角相同(因为球对称)δφ=Δφ-2π,不闭合的主轴进动椭圆;但对一组E(L),m圈后Δφ=n(2π)闭合,m≠n,习题13