广义相对论课堂 20 Schwarzschild 时空测地线

广义相对论课堂20Schwarzschild时空测地线 2011.11.21

课程安排 复习内容：标正基构造新内容：Schwarzschild时空应用下次课：续学习目标分课堂，每课堂最多6个调查表草稿纸——助教

复习、回顾、总结重点

初始条件 • 几何=位置+方向——四速度 • 区分3维位形空间（3速度）——四维时空（四速度） • 实现WEP

Killing矢量场 • 单独一个Killing矢量可能无意义 • 整体“平移” • 黎曼几何的对称性数目=相互独立的Killing矢量场的数目 • 多个Killing矢量场之间独立性

Killing矢量场独立性问题 • 原点平移后转动Killing矢量场变化了 • 新的Killing矢量场？ • 线性组合 • 系数——自由度

运动常数=守恒量 • d/dτ • 沿着测地线=自由粒子运动过程中 • 有一个物理量

复习、回顾、总结重点

三种理论4种钟尺网格

无非是将平直时空（事件集合）用网格点标记 • 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理

线元与度规 • Δx2+Δy2=Δx'2+Δy'2 • -Δt2+Δx2=-Δt'2+Δx'2 • Δx''=0，=-Δt''2=-Δτ2 • Δt''=0，=Δx2=Δs2 • 0

测量意义？

测验 • 习题7.21 • 惯性系skew坐标下平直时空线元和度规

从惯性到加速 • Δ——》d

从全局惯性到全局坐标 • 平直时空匀加速系 • 弯曲时空 • 比较异地钟尺运动态无意义——相对于LIF • 时间总有膨胀=弯曲 • 空间至少2维有弯曲——你的时间是我的时间和空间的组合

史瓦西时空为例2维空间必然弯曲 • r的意义=约化周长——角向 • r——》rho • 仅有1维 • 2维时

球面 • Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈 • θ换成Φ' • 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' • 相对于北极点O • OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非全局！ • 对比极点（θ，Φ）坐标简并

简单回顾史瓦西时空 静态：静止观者、ξ 球对称：

第一点静止观者四速度 基准、固定钟尺

四速度 • 分量（γ，γV）？ • 固定静止==》 • 归一化==》

物理时间

构造空间标正基 • 通常正交坐标系 • 对于静止观者归一化即可 • 对于运动观者标正条件

物理长度

反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ • 如果不是，请问哪些你没学到？ • 如果不确定，请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚？ • 缺少提问的机会？ • 你事先没有准备？ • 缺乏课堂讨论？ • 其他？

第二点：运动常数（守恒量）的测量意义

重点：e的测量意义

本人思考结果 • 前面讨论的钟尺网格——不同态 • 时间平移不变——全局时间——仅在无穷远对应基准钟

e的取值范围 • 径向+固定地点、相对于静止观者

守恒角动量l的物理意义 • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 牛顿万有引力（有心力）守恒量h=r2(dΦ/dt) =Kepler第二定律

第三点：利用守恒量得到引力红移 测量公式

重点：固定钟——纯粹引力红移 • 固定——静止观者

非固定的一般钟

第四点：测地线方程（组） 径向方程

测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量 • 单位质量粒子能量e(因为在远处)，无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达

第五点：有效势能曲线 分析原理

第六点：轨道类型

史瓦西几何 • 球对称曲率源（引力源），例如球对称星球，地球和太阳可近似，忽略自转和扁率 • 最大对称，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版 • 静态，但是星体不一定静止，球对称塌缩，Birkhoff定理 • 外部真空的几何，内部非真空解取决于物态方程，平滑地在星体表面相接，图 • 渐近平直；星体中心相对于遥远静止观者(t,dr)静止.与宇宙学R-W度规衔结是另一种几何

史瓦西线元 • 史瓦西坐标、史瓦西度规，几何化单位.7428 • 静态，时间t平移不变，Killing矢量ξ=(1,0,0,0) • 球对称，球极坐标角：φ平移不变，Killing矢量η =(0,0 0,1) θ • r=P/2π，约化周长，约化Planck常数h，面积；半径不可以直接测量（到中心）,Δr可测，在长度上意义见下页 • 静态弱场，Weiberg3.4gtt， M是质量，可以证明M是星体及其引力场的总能量Weinberg8.2，也就是说利用Kepler定律测到的引力质量不仅仅是牛顿力学认为的组成粒子质量之和，22.4节;M=0平直时空 • 几何只取决于M，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版 • 度规仅仅依赖于r,r->∞渐进平直时空

史瓦西坐标r • r=0, r=2M（史瓦西半径，引力半径）在星体内，除非（球对称）黑洞,此线元可以描述2M>r>0 • r在无穷远，固有长度，微分（利用local光速为1得到，因为等效原理），潮汐径向拉伸，越近拉伸越厉害, r->2M；反看则为潮汐横向挤压 • 有限固有长度(物理,默认) ，公式，数值举例 • 给定t，空间部分，嵌入图（三维欧式透视），大r侧近似为抛物面方程，投影到平面

史瓦西坐标t • t在无穷远far-away time，固有时，越深势阱时钟越慢 • 微分时间，用dt过渡，r->2M • 脉冲duration（持续时间）和频率关系=>红移，数值举例 • 引力场中两个不同地点，静止观者，否则含运动时间膨胀 • 教材，u*u=-1注意观者非测地运动，为什么定义u=dx/dτ是四速度，沿袭自LIF中标准正交基下，E=-p*u， u用ξ表达，利用沿着光线（测地线）守恒量 • 弱场下和等效原理推导的近似结果一致 • 光线可以非径向传播（例如后面讲的散射轨道），没有碰撞散射（有可能改变频率）等自由运动，以上分析适用于任意度规g_00

有效势与径向方程 • 量纲,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子 • 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线运动也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，无法利用势能曲线简单分析 • 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出，方向与引力相反,dτ->dt • 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本质因为光速极限（由EP=>-1=u*u) • 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项总是大于等于0 • 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、中、大R曲线形状，R->0,R->∞ • 特殊点，微分画出曲线

给定M，首先按照角动量分类 • 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)，E<0会回落 • L≠0不可到达r=0， • 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) • 2。E<0椭圆束缚轨道 • 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定

GR情况 • 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V->L^2/2R^2 • 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数>4 • 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 • 4. d^2V/dR^2><=0 • 按单位质量角动量分类L=l/M • 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 • 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 • 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚(Vmin<ε<0) • 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax

反省3问题 • 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ • 如果不是，请问哪些你没学到？ • 如果不确定，请解释原因。 • 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是 • 讲课不够清楚？ • 缺少提问的机会？ • 你事先没有准备？ • 缺乏课堂讨论？ • 其他？

势能曲线的分析原理 • d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’=有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动？答：不会－－ • 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

续 • 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分） • 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重力＝有效力，即所谓势能曲线分析

六个量 • 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种，5个速度（三个固有速度＋两个坐标速度）＋1个形状量（写成杨辉三角4层4321） • 仅取决于三个方程：e,L,径向方程

径向运动 • dφ／dτ＝0，φ＝Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势，dτ=±dr/√2(ε+1/r)，ε≥1/2 • 径向自由下落，取负号，ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静止，解得 • 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有时有限；从无穷远无限 • 坐标时间，从某个r到2M无限，r->2M，9.40最后一项->+∞，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象 • 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有u^t不为零）测量V,E=γmV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF中随动标架），g_tt*u^t=e=1

圆周轨道 • 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减 • 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增，L=3.46最小，三个施瓦西半径 • 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同φ光线受的引力时间膨胀一样，测出Δt；Δφ＝圆弧长/圆周长 • V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道 • 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler

束缚轨道的形状 • 方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量＋高阶小量 • 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远星点），再回到内转折点＝1圈turn • 一般1圈后Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称）δφ＝Δφ－2π，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组E(L)，m圈后Δφ=n(2π)闭合，m≠n，习题13

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