第 19 讲 Lebesgue 积分的极限定理

1. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 • 本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件。 • 重点与难点：控制收敛定理及其证明。

2. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。

3. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交 换顺序，即 lim∫Efn(x)dx =∫Elimfn(x)dx (1), 对一般非负可测函数{fn}，由Fatou引理 知有如下的不等式： ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx (2)

4. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题1：对非负可测函数列 { fn }，上述 不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明。

5. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理

6. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 既然对一般的可测函数列{fn}，等式 (1)未必成立，下面的问题便是自然的： 问题2：对一般可测函数列{fn} ，等式(1) 何时成立？

7. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 一个平凡的事实是：如果有限测度集 E上的Lebesgue可积函数列{ fn}一致收敛 到 f，则f也是E上的Lebesgue可积函数， 且等式（1）成立。

8. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设{ fn }是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意ℇ>0，存 在自然数N，当n>N时，有 |fn(x)-f(x)|< ℇ (∀x∈E)， 于是 |fn(x)| < |f(x)|+ ℇ (∀x∈E) （3）

9. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 因 E是有限测度集，故|f(x)|+ ℇ 是 E上的可积函数，由（3）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了。

10. Lebesgue积分的极限定理 在Levi定理中,{ } 是单调递增的非负 函数序列,其极限函数f满足: 这就是说，该函数列由它的极限函数控制。

11. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 回忆一下，为什么（2）中不等式 可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x∈(1/n,1) ， fn(x) = n x ∈(0,1/n]， 为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?

12. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 尽管fn(x) 在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大， 它在（ 0，1）上不能被任何可积函数控制住。 （为什么？）上述分析给了我们何种启示 ？如 果希望等式（1）成立， 应该附加一个什么样 的条件？ 下面仍然考察可测集E上的可测函数列{ fn}， 但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或 几乎处处收敛。

13. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设{fn}是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足： （I） {fn}在E上几乎处处收敛到f， （II）存在E上的Lebesgue可积函数F， 使得 对任意n， |fn(x)| ≤F(x) a.e.[E]。

14. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题3：对满足上述条件（I）与（II） 的函数序列 { fn } ，等式（1） 是否成立？

15. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fn→f，根据Egoroff定理，对∀ ℇ>0，存在 可测集Eℇ⊂E，使得： （a）m(E- Eℇ)< ℇ; （b）fn在Eℇ上一致收敛到f。 于是，我们有 lim∫ Eℇ fn (x)dx =∫ Eℇ limfn(x)dx (3)

16. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由此可见，问题归结为函数序列在E- Eℇ上 的积分如何变化。 回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是 区间[a,b]上的可积函数,则对 ∀ℇ>0,存在>0， 使得当[c,d][a,b]，且d-c< 时，有 这一性质通常称之为积分绝对连续性。

17. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 注意到E- Eℇ的测度可以充分小，而 且函数序列 { fn }可以由 F 控制， 那么从 不等式 ∫ E- Eℇ |fn(x)| dx≤ ∫ E- EℇF(x)dx（4） 及 Riemann 积分的绝对连续性能得到何 种启发呢？

18. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 上述分析启示我们： 等式（1）能否成立取决于Lebesgue 可积函数是否具有积分绝对连续性。

19. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的 L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数， 因此不妨设f(x)是E上的非负函数。 如果f(x)是有界函数，即

20. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 则由不等式 知对 只要 就有

21. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 于是，问题最终归结为： 问题4：若f(x)是E上非负的无界可积函 数， f(x)是否具有积分绝对连 续性？

22. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由无界函数积分定义，可以作有界函数 列 如下： 则 单调递增收敛到f(x)，且 。

23. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 于是对任意 存在N，使得 进而对E的任意可测子集A，有 。

24. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 这说明，只要 便有 由 的任意性知f(x)确有积分绝对连续性。

25. 第19讲 Lebesgue积分的极限定理 以上种种分析揭示了一个基本事实, 同 时也给出了这一事实 的一个大 概的证明思 想。这个事实即下面的重要定理: 定理(Lebesgue控制收敛定理)设{ }是可测 集E上的可测函数列， F是E上的L -可积函 数，满足 (1). a.e.[E]， (2). a.e.[E]。 则f是E上的可积函数，且