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第六章 定积分及其应用

第六章 定积分及其应用. §6.1 定积分的概念 §6.2 定积分的性质 §6.3 微积分学基本定理 §6.4 定积分的计算方法 §6.5 广义积分 §6.6 定积分的应用. 第六章 定积分及其应用. 前一章讨论了已知一个函数的导数 , 如何 求原来的函数 , 这样一个积分学的基本问题 —— 不定积分. 这一章将讨论积分学的另一个基本问题 —— 定积分. 本章的主要问题有 :. 1 . 什么是定积分 ?. 2 . 定积分有哪些性质 ?. 3 . 定积分与不定积分有何关系 ?. 4 . 如何计算定积分和应用定积分 ?. §6.1 定积分的概念.

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第六章 定积分及其应用

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  1. 第六章 定积分及其应用 §6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 §6.3微积分学基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5广义积分 §6.6定积分的应用

  2. 第六章 定积分及其应用 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分. 这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系? 4.如何计算定积分和应用定积分?

  3. §6.1 定积分的概念 一.引例(曲边梯形的面积) 定义1.在直角坐标系中,由一条连续曲线 y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形,称为曲边梯形,如右图 AabBA(与直边梯形AabB的区别) . y y=ƒ(x) B A x=b x=a 问题: o a x y=0 b 当y = ƒ(x)  0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.

  4. 分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间 [a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量; 但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x→0时, Δy→0, y y=ƒ(x) 故可将此区间的高近似看为一个常量, B A C Δy { 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积. D H E F o a x b x x+Δx 因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地

  5. 视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值. 要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每个小区间的长度Δ x→0)时, 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 y (如右图)用分点 y=ƒ(x) 将区间[a,b]任意地划分为n个小区间  o x

  6. 记第 i 个小区间的长度为 过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形(如上图). y 若用S表示曲边梯形的面积, 表示第i个窄曲边梯形(阴影 部分)的面积, 则有 y=ƒ(x)  o x II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 上任取一点 以 为高、以小区间 的长度为底

  7. 作窄矩形 (如右图). 则该窄矩形的面积 近似等于 , 即 III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值, 即 记各小区间的最大长度为 当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即

  8. 二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题, 将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象, 就有定积分的定义: 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点 将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 的长度为 在每个小区间 上任取一点 作和式

  9. 若当 时, 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积, 并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 即 其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区 称为积分和. 注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分 C 常数, 它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量 的字母无关, 即

  10. 注2. 极限过程 ,既保证了分点个数无限增多( ), 又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0). 若只有 则不能保证区间分割无限细密. 注3.ƒ(x)在区间[a, b]上可积的充要条件是极限 且此极限值与[a, b]的分法和 的取法无关. 因此, 对于可积函数ƒ(x), 若要用定义来计算 则可选择较为方便的区间分法和 的取法, 使得计算简便.

  11. 三.函数可积的条件 问题: 由注3知, 每个函数的可积性与积分和的极限的存在 性等价, 但求积分和的极限, 却非常困难. 下面给出函数可积的几个定理: 定理1.若ƒ(x)在区间[a, b] 上无界, 则ƒ(x)在[a, b]上必不可积. 其等价命题为 “可积函数必有界” ——函数可积的必要 条件. 以下三个定理是函数可积的充分条件. 定理2.若ƒ(x)在区间[a, b]上连续, 则ƒ(x)在[a, b]上可积. 定理3.若ƒ(x)在区间[a, b]上有界且只有有限个间断点, 则 ƒ(x)在[a, b]上可积.

  12. 定理4.若ƒ(x)在区间[a, b]上单调有界, 则ƒ(x)在[a, b]上可积. 注4.有了函数可积的充分条件, 就可借助定义1来 ①.计算给定的定积分的值; ②.将某些极限问题转换为一个定积分. 例1 利用定积分定义计算定积分 解 因ƒ(x)=2x+3 在 [0, 4] 上连续, 故它在[a,b]上可积, 从而 可将区间[0, 4] 特殊划分并特殊取点. 不妨在区间[0, 4]内插入 n 个等分点 分成 n 个小区间, 取右端点为

  13. 表示成定积分 例2 将 在区间[0, 1]上可积,

  14. 用等分分点法所得的积分和为

  15. 习题提示:P213.4.(2)

  16. 注5.前面的讨论中已默认区间[a, b]中的a < b,那么当a=b 和a > b呢?为方便作如下规定: ①.若a=b, 则 ②.若a>b, 则 从而可消除对定积分上下限的大小限制. 四.定积分的几何意义 由定义1知, 当连续函数 且a<b时, 定积分 表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;

  17. 且 a < b时, 定积分 当 表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的 面积的相反数. 当ƒ(x)在[a, b]上有正有负时, 定积分 的值就是x 轴上方的曲边梯 形的面积与 x 轴下方的曲边梯形 的面积之差(即面积的代数和).

  18. 例3 利用定积分的几何意义, 计算曲线 y = sinx、直线 x=0 、 x=2π及x轴所围成的曲边梯形的面积. 解 根据题意,所求曲边梯形的面积如右图. 利用定积分的几何意义知 表示由曲线y = sinx、直线x=0 、 x=2π 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积, 即

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