กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ

1. กำหนดการเชิงเส้น : การแก้ปัญหาด้วยวิธีกราฟ Modern construction management โดย อ.ดร.เทอดธิดา ทิพย์รัตน์สาขาบริหารการก่อสร้างภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

2. สิ่งที่ต้องพิจารณาจากโจทย์สิ่งที่ต้องพิจารณาจากโจทย์ 1. หาตัวแปรที่เราต้องการมีอะไรบ้าง 2. หาฟังก์ชันวัตถุประสงค์คืออะไร ต้องการหาค่าต่ำสุดหรือหาค่าสูงสุด (Maximize, Minimize) >>> สมการ 3. หาฟังก์ชันข้อจำกัด (มีเงื่อนไขหรือข้อจำกัดอะไรบ้างที่โจทย์กำหนดมาให้) >>> สมการหรืออสมการ 4. ความสัมพันธ์ของตัวแปรในสมการหรืออสมการต่างๆ ของ Model ต้องมีลักษณะเชิงเส้นตรง (โดยมากเป็นกำลังหนึ่ง) 5. ตัวแปรทุกตัวต้องมีค่า >= 0 การสร้างตัวแบบ(Model)คณิตศาสตร์กำหนดการเชิงเส้น

3. กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) • ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)

4. ปัญหาที่มี 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) 2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical deduction Method) 3. วิธีกราฟ (Graphical method) ***นิยม ปัญหาที่มีมากกว่า 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีพีชคณิต (Algebraic method) 2. วิธีซิมเพล็ก (Simplex method) ***นิยม วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น

5. ตัวอย่างที่ 1บริษัทรับเหมาก่อสร้างแห่งหนึ่ง ผลิตอาคาร 2 ประเภท คือ ประเภท ก และประเภท ข และอาคารแต่ละประเภทจะใช้คนงานผสมระหว่างคนงานของผู้รับเหมาหลัก และผู้รับเหมาช่วงในสัดส่วนต่างๆกัน ผู้รับเหมาหลักมีคนงานอยู่ 25,000 คน และผู้รับเหมาช่วงมีคนอยู่ 6,500 คน อาคารชนิด ก 1 อาคาร จะใช้ส่วนผสมของคนงานขอผู้รับเหมาหลัก 130 คนและคนงานของผู้รับเหมาช่วง 20 คน อาคารชนิด ข 1 อาคาร จะใช้ส่วนผสมของคนงานขอผู้รับเหมาหลัก 100 คนและคนงานของผู้รับเหมาช่วง 30 คน หากบริษัทผลิตอาคารแบบ ก จะได้กำไรจากการขายอาคารละ 35 ส่วนท่อแบบ ข จะได้กำไรอาคารละ 70 จงเขียนกำหนดการเชิงเส้นที่แสดงถึงวัตถุประสงค์ของการก่อสร้างอาคาร และข้อจำกัดต่างๆที่เกิดขึ้น

7. 1. ตัวแปรของตัวแบบคณิตศาสตร์ X1 จำนวนอาคารชนิด ก X2จำนวนอาคารชนิด ข 2. หาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ >>> (สมการ) Maximize Z = 35 X1 + 70X2 เมื่อ Z คือฟังก์ชันกำไรมีหน่วยเป็นบาท 3. หาฟังก์ชันข้อจำกัด (ข้อจำกัดอะไรบ้างที่โจทย์กำหนดมาให้) >>> อสมการ 130X1+ 100X2<= 25,000 (ปริมาณคนงานของผู้รับเหมาหลัก) 20X1+ 30X2<= 6,500 (ปริมาณคนงานของผู้รับเหมาช่วง)

8. จากโจทย์สามารถสรุปเป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ (Mathematical model) ได้ดังนี้ • Maximize Z = 35 X1 + 70X2 • ภายใต้ข้อจำกัด • 130X1+ 100X2<= 25,000 • 20X1+ 30X2<= 6,500 • X1 >= 0,X2>= 0

9. ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นสำหรับการหาค่าสูงสุด หรือค่าต่ำสุด สามารถเขียนเป็นตัวแบบคณิตศาสตร์ ( Mathematical model) ได้ดังนี้ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Maximize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXn หรือ Minimize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXn ภายใต้ข้อจำกัด (สมการหรืออสมการ) a11X1+a12X2+…+a1nXn (<=,>=,=) b1 a21X1+a22X2+…+a2nXn (<=,>=,=) b2 … … am1X1+am2X2+…+amnXn (<=,>=,=) bm และ X1, X2, …,Xn >= 0 ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming Model)

10. โดยที่ Z คือฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Xjคือตัวแปรที่เป็นทางเลือกซึ่งต้องการหาค่า ; j = 1,2,3,…,n Cjคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร Xj ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ซึ่งมีค่าคงที่ ; j= 1,2,3,…,n aijคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟังก์ชันข้อจำกัด (Constraints) i= 1,2,3,…,m และ j= 1,2,3,…,n bi คือปริมาณของทรัพยากรที่มีอยู่ ซึ่งมีค่าเป็นค่าคงที่จำนวนบวก (bi > 0) i= 1,2,3,…,m

11. ตัวอย่างเช่น Maximize Z= 3X1 + 2X2 ภายใต้ข้อจำกัด 6X1+5X2 <= 30 X1+2X2 <= 10 2X1+X2 >= 4 X1>=0, X2 >=0

12. การผลิตวัสดุมุงหลังคาการผลิตวัสดุมุงหลังคา

13. การประยุกต์กำหนดการเชิงเส้นการประยุกต์กำหนดการเชิงเส้น ต.ย. 1 บริษัทกระเบื้องไทย จำกัดได้ผลิตกระเบื้อง 3 ชนิด ได้แก่ C-PAC, GRC, metal sheet การผลิตจะต้องใช้แรงงานคนและวัตถุดิบ ซึ่งปูนซีเมนต์สำเร็จรูปแต่ละชนิดจะใช้แรงงานคน วัตถุดิบ และได้กำไรตามตาราง วัตถุดิบที่บริษัทสามารถใช้ได้ในแต่ละวันมีจำนวน 300 กิโลกรัม และแรงงานที่สามารถใช้ได้ในแต่ละวันมีจำนวน 160 ชั่วโมง จงสร้างปัญหากำหนดการเชิงเส้น เพื่อหาว่าในแต่ละวันจะผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปแต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใด จึงจะทำให้ได้กำไรมากที่สุด

14. Y1 แทนจำนวนการผลิตของC-PAC ในแต่ละวัน Y2แทนจำนวนการผลิตของ GRC ในแต่ละวัน Y3แทนจำนวนการผลิตของ metal sheet ในแต่ละวัน ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือหากำไรมากที่สุดจากการผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปทั้ง 3 ชนิด สมการ Maximize Z = 6Y1+ 3Y2+ 7Y3 ฟังก์ชันข้อจำกัด 1. ด้านแรงงานคนในการผลิตหลังคาทั้ง 3 ชนิด จะใช้แรงงานคนทั้งหมดไม่เกิน 160 ช.ม. เขียนอสมการได้เป็น 8Y1+5Y2+4Y3 <= 160 2. ด้านวัตถุดิบในการผลิตหลังคาดังกล่าวจะใช้วัตถุดิบทั้งหมดต้องไม่เกิน 300 กิโลกรัม เขียนอสมการได้เป็น 5Y1+2Y2+10Y3<=300

15. ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือ Maximize Z = 6Y1+ 3Y2+ 7Y3 ภายใต้ข้อจำกัด 8Y1+5Y2+4Y3 <= 160 5Y1+2Y2+10Y3<=300 Y1, Y2,Y3 >= 0

16. ต.ย. บริษัทป.ปูน ภาคใต้จำกัด ผู้ผลิตปูนซีเมนต์ ได้ใช้ส่วนผสมในการผลิตปูน 4 ชนิดคือ a, b, c, และ d ในการผลิตจะบรรจุเป็นถุง ถุงละ 50 กิโลกรัม โดยมีข้อกำหนดต่างๆดังนี้ ต้องมี d ไม่ต่ำกว่า 20 % ต้องมี a ไม่เกิน 50 % ต้องมี a และ b รวมกันไม่ต่ำกว่า 60 % ต้องมีอัตราส่วน ของ c กับ b ต่อ a ไม่เกิน 3 ต่อ 2 ถ้าต้นทุนของ a, c, b, และ d กิโลกรัมละ 1.5 บาท, 2 บาท, 0.5 บาท, และ 2.75 บาท ตามลำดับ ปูน 1 ถุง ควรประกอบด้วยส่วนผสมต่างๆ อย่างละกี่กิโลกรัม

17. X1แทนจำนวน a ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม) X2แทนจำนวน b ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม) X3แทนจำนวน c ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม) X4แทนจำนวน d ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม)

18. ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ คือต้องการต้นทุนต่ำสุดของส่วนผสมในปูนซีเมนต์ 1ถุง Minimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4 ฟังก์ชันข้อจำกัด 1. ส่วนผสมของปูนซีเมนต์ 1 ถุงรวมกันจะได้เท่ากับ 50 หน่วยพอดี X1 + X2 + X3 + X4 = 50 2. ต้องมี d ไม่ต่ำกว่า 20% X4 >= 10 3. ต้องมี a ไม่เกิน 50% X1 <= 25 4. ต้องมี a และ b รวมกันไม่ต่ำกว่า 60 % X1 + X3 >= 30 5. ต้องมีอัตราส่วนของ c กับ b ต่อ a ไม่เกิน 3 ต่อ 2 X2+X3 <= 3 X1 2 2X2 + 2X3 <= 3X1 2X2 + 2X3 - 3X1 <= 0 หรือ 3 X1 -2X2 -2X3 >= 0

19. สรุปตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือสรุปตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือ Minimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4 ภายใต้ข้อจำกัด X1 + X2 + X3 + X4 = 50 X4 >= 10 X1 <= 25 X1 + X3 >= 30 3 X1 -2X2 -2X3 >= 0 X1, X2, X3, X4 >= 0

20. ต.ย. 3บริษัทผู้ผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปแห่งหนึ่งมีโรงงานผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูป 3 แห่ง ปูนซีเมนต์สำเร็จรูปที่ผลิตได้จากโรงงานทั้งสามแห่งจะถูกส่งไปเก็บที่โครงการก่อสร้างของบริษัทซึ่งมีอยู่ 3 แห่ง เพื่อรอดำเนินการก่อสร้างต่อไป ถ้าโรงงานแห่งแรกผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปได้ไม่เกินวันละ 4000 หน่วย โรงงานที่สอง ผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปได้ไม่เกินวันละ 2500 หน่วย โรงงานที่ 3 ผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปได้ไม่เกินวันละ 3500 หน่วย ส่วนโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่งนั้นสามารถเก็บปูนซีเมนต์สำเร็จรูปได้เต็มที่แห่งละไม่เกิน 3000 หน่วย 5000 หน่วย และ 2000 หน่วยตามลำดับ ในการส่งปูนซีเมนต์สำเร็จรูปจากโรงงานทั้ง 3 แห่งไปยังโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่งจะต้องเสียค่าใช้จ่ายในการขนส่งดังนี้

21. ตารางแสดงค่าใช้จ่ายในการขนส่งปูนซีเมนต์สำเร็จรูป (บาท / หน่วย) บริษัทควรจัดส่งปูนซีเมนต์สำเร็จรูปจากโรงงานทั้ง 3 แห่งไปยังโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่งอย่างไรจึงจะเสียค่าใช้จ่ายในการขนส่งน้อยที่สุด

22. สิ่งที่ต้องการทราบคือสิ่งที่ต้องการทราบคือ จำนวนปูนซีเมนต์สำเร็จรูปที่จะส่งจากโรงงานที่ 1,2 และ 3 ไปยังโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่ง Xijแทนจำนวนปูนซีเมนต์สำเร็จรูปจากโรงงานที่ i ไปโครงการก่อสร้างที่ j i = 1,2,3 j = 1,2,3 ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือหาค่าใช้จ่ายในการขนส่งต่ำสุด Minimize Z = 5X11+7X12+10X13+6X21+4X22+12X23+8X31+9X32+18X33

23. ฟังก์ชันข้อจำกัด 1. ด้านโรงงานจะผลิตปูนซีเมนต์สำเร็จรูปได้สูงสุดไม่เกินแห่งละ 4000, 2500 และ 3500 หน่วยตามลำดับ X11+X12+X13 <= 4000 X21+X22+X23 <= 2500 X31+ X32+X33 <= 3500 2. ด้านโครงการก่อสร้างจะเก็บปูนซีเมนต์สำเร็จรูปแต่ละแห่งได้ไม่เกิน 3000, 5000 และ 2000 หน่วยตามลำดับ X11+X21+X31 <= 3000 X12+X22+X32 <= 5000 X13+ X23+X33 <= 2000

24. สรุปตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นสรุปตัวแบบกำหนดการเชิงเส้น Minimize Z = 5X11+7X12+10X13+6X21+4X22+12X23+8X31+9X32+18X33 ภายใต้ข้อจำกัด X11+X12+X13 <= 4000 X21+X22+X23 <= 2500 X31+ X32+X33 <= 3500 X11+X21+X31 <= 3000 X12+X22+X32 <= 5000 X13+ X23+X33 <= 2000 Xij>= 0, i = 1,2,3 และ j = 1,2,3

25. ปัญหาที่มี 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) 2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical deduction method) 3. วิธีกราฟ (Graphical method) ***นิยม ปัญหาที่มีมากกว่า 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ประกอบด้วย 1. วิธีพีชคณิต (Algebraic method) 2. วิธีซิมเพล็ก (Simplex method) ***นิยม วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น

26. วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น1. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) โรงงานผลิตลิฟท์แห่งหนึ่ง ทำการผลิตลิฟท์ 2 ชนิด คือชนิดพิเศษและชนิดธรรมดา ชนิดพิเศษทำกำไรได้ลิฟท์ละ 700 บาท ส่วนลิฟท์ธรรมดาทำกำไรได้ลิฟท์ละ 400 บาท จากสถิติการขายพบว่าในเดือนหนึ่งๆ ลิฟท์ชนิดพิเศษขายได้ไม่เกิน 3 ลิฟท์ส่วนลิฟท์ธรรมดาขายได้ถึง 6 ลิฟท์ถ้าต้นทุนการผลิตของลิฟท์สำหรับลิฟท์ทั้ง 2 ชนิดเป็น 3000 และ 2000 บาทตามลำดับ และโดยที่ต้นทุนของการหมุนเวียนมีอยู่จำกัดในวงเงิน 20000 บาทต่อเดือนเราจะให้โรงงานดังกล่าวผลิตลิฟท์อย่างละเท่าไรจึงจะมีกำไรมากที่สุดในเดือนหนึ่งๆ(ราคาx1000)

27. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) X1 แทนจำนวนการผลิตของลิฟท์ชนิดพิเศษ X2 แทนจำนวนการผลิตของลิฟท์ชนิดธรรมดา ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือ Maximize Z = 7X1 + 4X2 (ร้อยบาท) ภายใต้ข้อจำกัด X1 <= 3 X2 <= 6 3X1+ 2X2 <= 20 (พันบาท) X1, X2 >= 0

28. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method)

29. วิธีจำกัดขอบข่ายของคำตอบ (Direct elimination method) จากตารางที่ได้เป็นค่าของ Z = 7X1 + 4X2 เราจะตัดเอาเฉพาะค่าที่เป็นไปได้โดยใช้อสมการขอบข่ายมาตัด 1. ตัดค่า X1ที่เกินกว่า 3 ออก 2. ตัดค่า X2ที่เกินกว่า 6 ออก 3. ตัดค่าแทนอสมการ 3X1+ 2X2 <= 20 ออก ผลลัพธ์ในขอบข่ายที่เหลืออยู่จะเรียกว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ การหาผลลัพธ์เลือกเอาค่าสูงสุด คือ 41 สรุปได้ดังนี้ 1. ทำการผลิตลิฟท์ชนิดพิเศษ 3 ลิฟท์ ชนิดธรรมดา 5 ลิฟท์ 2. จาก Maximize Z = 7X1 + 4X2 (ร้อยบาท) ผลกำไรสูงสุดจะได้เป็น 4100 บาทต่อเดือน

30. วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method) • วิธีนี้เป็นการพิจารณาขอบข่ายของปัญหาเพื่อหาตัวแปรที่เป็นไปได้ตามหลักการพิจารณาเงื่อนไขขอบข่าย (boundary condition) ซึ่งทำได้โดยกำหนดตัวแปรตัวหนึ่งให้คงที่เป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดในขอบข่ายของตัวแปรนั้นๆ และหาช่วงที่เป็นไปได้ของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง จากนั้นเปลี่ยนตัวแปรคงที่โดยใช้ตัวแปรอีกตัวหนึ่งแทน แล้วหาช่วงที่เป็นไปได้อีกครั้งหนึ่ง ทำเช่นนี้จนได้ค่าของสมการตามเป้าหมายซึ่งสามารถเลือกค่าที่ต้องการได้

31. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method) จากตัวอย่างโรงงานผลิตลิฟท์ (Maximize Z = 7X1 + 4X2 ) (ก) ให้ค่า X1 = 0 ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X2จาก X2<=6 คือ 6 จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 10 ค่าสูงสุดของ X2เมื่อ X1 = 0 คือ 6 ค่าต่ำสุดของ X2 เมื่อ X1 = 0 คือ 0 ดังนั้น ค่า Z(0,0)= 0, Z(0,6)= 24 (ข) ให้ค่า X2 = 0 ค่าที่เป็นไปได้สำหรับ X1จาก X1<=3 คือ 3 จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 6.67 ค่าสูงสุดของ X1เมื่อ X2 = 0 คือ 3 ค่าต่ำสุดของ X1เมื่อ X2 = 0 คือ 0 ดังนั้น ค่า Z(3,0)= 21, Z(0,0)= 0

32. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method) Maximize Z = 7X1 + 4X2 (ค) ให้ค่า X1 =3 ค่าสูงสุดของ X2จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 5.5 ใช้ 5 ลิฟท์ ค่าต่ำสุดของ X2คือ 0 ดังนั้น ค่า Z(3,5)= 41 Z(3,0)= 21 (ง) ให้ค่า X2 = 6 ค่าสูงสุดของ X1จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 2.67 ใช้ 2 ลิฟท์ ค่าต่ำสุดของ X1คือ 0 ดังนั้น ค่า Z(2,6)= 38 Z(0,6)= 24 จากการพิจารณาตามเงื่อนไขขอบเขตนี้จะได้ Z(3,5)= 41 เป็นค่ากำไรสูงสุด

33. วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้น3. วิธีกราฟ (Graphical method) • การหาค่าสูงสุดด้วยวิธีกราฟ

34. ต.ย.ในการผลิตหน้าต่าง 2 ชนิด ชนิดที่ 1 ได้กำไร 2 บาท/ชิน ในการขายชนิดที่ 2 ได้กำไร 5 บาท/ชิ้น หน้าต่างชนิดที่ 1 ต้องใช้เวลาในการผลิต 2 ชั่วโมง และใช้วัตถุดิบ 1 ส่วน หน้าต่างชนิดที่ 2 ต้องใช้เวลาในการผลิต 1 ชั่วโมง และใช้วัตถุดิบ 3 ส่วน ข้อกำหนดเวลาทำงานมีอย่างมากที่สุด 40 ชั่วโมง และมีวัตถุดิบอย่าง มาก 30 ส่วน จงหาว่าควรจะผลิตหน้าต่างชนิดที่ 1 และ 2 อย่างละเท่าไร จึงจะได้กำไรมากที่สุด(ราคาx10)

35. X1 แทนจำนวนหน้าต่างชนิดที่ 1 (หน่วยเป็นชิ้น) X2 แทนจำนวนหน้าต่างชนิดที่ 2 (หน่วยเป็นชิ้น) ตัวแบบกำหนดการเชิงเส้นคือ Maximize Z = 2X1+5X2 ภายใต้ข้อจำกัด 2X1+X2 <= 40 X1+3X2 <= 30 X1>= 0, X2>=0

36. X2 จากสมการ 2X1+X2 = 40 หาจุดตัดบนแกน X1คือ (20,0) หาจุดตัดบนแกน X2คือ (0,40) (0,40) 40 35 30 25 20 15 10 5 (20,0) X1 5 10 15 20 25 30 35 40 กราฟของสมการ 2X1+X2 = 40

37. X2 (0,40) 40 35 30 25 20 15 10 5 (20,0) X1 5 10 15 20 25 30 35 40 บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1+X2 <= 40 X1>=0, X2 >= 0

38. X2 จากสมการ X1+3X2 = 30 หาจุดตัดบนแกน X1 คือ (30,0) หาจุดตัดบนแกน X2 คือ (0,10) 40 35 30 25 20 15 10 5 (0,10) (30,0) X1 5 10 15 20 25 30 35 40 กราฟของสมการ X1+3X2 = 30

39. X2 40 35 30 25 20 15 10 5 X1+3X2 = 30 (0,10) (30,0) X1 5 10 15 20 25 30 35 40 บริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด X1+3X2 <= 30 X1>=0, X2 >= 0

40. X2 (0,40) 40 35 30 25 20 15 10 5 2X1+X2 = 40 (0,10) X1+3X2 = 30 (30,0) X1 (20,0) 5 10 15 20 25 30 35 40 ภาพ Aบริเวณที่หาคำตอบได้ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1+X2 <= 40, X1+3X2 <= 30,X1>=0 และ X2 >= 0

41. การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟวิธีที่ 1 การเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

42. กำหนดให้ Z = 30 หรือค่าใดใด จะได้สมการZ1 = 2X1+5X2 = 30 Z2 = 2X1+5X2 = 40 … X2 40 35 30 25 20 15 10 5 (0,40) 2X1+X2 = 40 เส้นกำไรสูงสุด Z= 56 (18,4) คำตอบที่ดีที่สุด Z2 = 40 (0,10) X1+3X2 = 30 Z1 = 30 C (30,0) X1 B (20,0) A 5 10 15 20 25 30 35 40 จาก ภาพ A การหาคำตอบโดยการเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

43. จุด C เกิดจากสมการเส้นตรง 2 เส้นตัดกัน คือ 2X1+X2 = 40 ---------(1) X1+3X2 = 30 ---------(2) 2*(2) 2X1+6X2 = 60 ---------(3) (3)-(1) 5X2 = 20, X2 = 4 แทนค่า X2 = 4 ใน (2) X1+3(4) = 30 X1 = 30-12 = 18 จาก ภาพ A การหาคำตอบโดยการเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

44. จาก Maximize Z = 2X1+5X2 • = 2(18) + 5(4) • = 56 • คำตอบที่ดีที่สุดคือ ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 1 จำนวน 18 ชิ้น • ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 2 จำนวน 4 ชิ้น • ได้กำไรสูงสุด(Optimal Value)56 บาท จาก ภาพ A การหาคำตอบโดยการเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

45. การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟวิธีที่ 2การหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด

46. X2 (0,40) 40 35 30 25 20 15 10 5 2X1+X2 = 40 D (0,10) C(18,4) X1+3X2 = 30 (30,0) X1 A(0,0) 5 10 15 20 25 30 35 40 B(20,0) ภาพ A จาก ภาพ Aหาคำตอบโดยการหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด

47. วิธีที่ 2การหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด จาก ภาพ Aสามารถหาคำตอบดังตาราง คำตอบที่ดีที่สุดคือ ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 1 จำนวน 18 ชิ้น ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 2 จำนวน 4 ชิ้น ได้กำไรสูงสุด(Optimal Value)56 บาท จาก ภาพ Aหาคำตอบโดยการหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด

48. วิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีพีชคณิตวิธีแก้ปัญหากำหนดการเชิงเส้นโดยวิธีพีชคณิต แก้สมการ 2X1+X2 = 40 ---------(1) X1+3X2 = 30 ---------(2) 2*(2) 2X1+6X2 = 60 ---------(3) (3)-(1) 5X2 = 20, X2 = 4 แทนค่า X2 = 4 ใน (2) X1+3(4) = 30 X1 = 30-12 = 18 Maximize Z = 2(18)+5(4) = 56 คำตอบที่ดีที่สุดคือ ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 1 จำนวน 18 ชิ้น ผลิตหน้าต่างชนิดที่ 2 จำนวน 4 ชิ้น ได้กำไรสูงสุด(Optimal Value)56 บาท

49. การหาค่าต่ำสุดด้วยวิธีกราฟการหาค่าต่ำสุดด้วยวิธีกราฟ ต.ย.กิจการแห่งหนึ่งต้องการผลิตปูนสำเร็จรูปออกจำหน่าย ปูนสำเร็จรูปที่ผลิตจะต้องประกอบด้วยส่วนผสมชนิด A อย่างน้อย 900 หน่วย และส่วนผสมชนิด B อย่างน้อย 1000 หน่วย การผลิตปูนสำเร็จรูปจะต้องใช้M และ N: M1 หน่วยให้ส่วนผสมชนิด A 3 หน่วย และ ส่วนผสมชนิด B 2 หน่วย N1 หน่วยจะให้ส่วนผสมชนิด A 2 หน่วย และส่วนผสมชนิด B 4 หน่วย ต้นทุน M1 หน่วยเท่ากับ 25 บาท ต้นทุน N1 หน่วยเท่ากับ 80 บาท ต้องการทราบส่วนผสมของA และ B ที่จะผลิตปูนสำเร็จรูปให้ได้ต้นทุนต่ำสุด