ทฤษฎีบทลิ มิต

1. ทฤษฎีบทลิมิต (Limit Theorem)

2. ทฤษฎีบทลิมิตจะช่วยในการคำนวณค่าลิมิตของฟังก์ชันได้เร็วขึ้นทฤษฎีบทลิมิตของฟังก์ชันมีผลลัพธ์คล้ายกับทฤษฎีบทลิมิตของลำดับที่กล่าวมาในบทที่ 3 ในการพิสูจน์สามารถทำได้โดยใช้นิยามลิมิตทฤษฎีบท 4.1.2 หรือ ผลที่ได้จากหัวข้อ 3.4

3. ทฤษฎีบท 4.2.1ให้ f, g : Dมี x0เป็นจุดลิมิตของ D, f และ g มีลิมิตที่ x0 แล้ว ( f+g )(x) = f(x) + g(x) (1) f+gมีลิมิตที่ x0 และ g(x) ] ( fg )(x) = [ f(x) ][ (2) fgมีลิมิตที่ x0 และ g(x)  0 แล้ว (3) ถ้า g(x)  0 สำหรับxDและ มีลิมิตที่ x0และ ( ) =

4. การพิสูจน์ • เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0 • ให้เป็นลำดับใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0โดยที่ xn x0ทุกๆ n • โดยทฤษฎีบท 4.1.2 ทำให้เป็นลำดับลู่เข้าสู่ f(x) • และ • โดยทฤษฎีบท 3.4.1 เป็นลำดับลู่เข้าและ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ g(x) ( f+g )(x) = f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

5. นั่นคือ ฟังก์ชัน f + g มีลิมิตที่ x0และ ( f+g )(x) = f(x) + g(x) ต่อไปจะแสดงว่า fg มีลิมิตที่ x0และ มีลิมิตที่ x0โดยใช้นิยาม 4.1.1 กำหนดให้ f(x) = A, g(x) = B (2) ให้  > 0 จะหา  > 0ที่ถ้า 0 < | x – x0| < ทำให้ | ( fg )(x) – AB | <  f มีลิมิตที่ x0โดยทฤษฎีบท 4.1.4 จะมี M > 0 และ 1 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 1 , xDแล้ว | f(x) |  M

6. ให้  = ดังนั้น  > 0 จะมี2ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2, xDทำให้ | f(x) – A | <  g ต่อเนื่องที่ x0 จะมี 3ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3, xDทำให้ | g(x) – B | <  เลือก  = min {1, 2, 3}

7. ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทำให้ | ( fg )(x) – AB | = | f(x)g(x) – AB + f(x)B – f(x)B |  | f(x)g(x) – f(x)B | + | f(x)B – AB | = | f(x) || g(x) – B | + | B || f(x) – A | < M + | B | = ( M + | B | )  ดังนั้น | ( fg )(x) – AB | <  ฟังก์ชัน fg มีลิมิตที่ x0และ ( fg )(x) = [ f(x) ][ g(x) ]

8. (3) ให้  > 0 , B  0และ g(x)  0, xD จะหา  > 0ที่ถ้า 0 < | x – x0| < จะทำให้ | ( )(x) – | <  เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0และ > 0 จะมี 1 > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0| < 1 ทำให้ | g(x) – B | < | | g(x) | - | B | | < < | g(x) | < 3

9. กรณีที่ A  0 ให้  = | g(x) – B | <  จะมี 2 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2 , xD ทำให้ จะมี 3 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3 , xD ทำให้ | f(x) – A | <  ให้  =

10. เลือก  = min {1, 2, 3} ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทำให้ =  + = + + < = 

11. ดังนั้น | ( )(x) – | <  กรณีที่ A = 0 จะมี0 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < 0ทำให้ | f(x) | < เลือก  = min {1, 0} ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว = <  ฟังก์ชัน )(x) = มีลิมิตที่ x0 และ ( g(x)  0 และ g(x)  0 , xD  เมื่อ

12. ทฤษฎีบท 4.2.3ให้ f : Dและ g : D x0เป็นจุดลิมิตของ D f, g มีลิมิตที่ x0ถ้า f(x)  g(x) ทุกๆxDแล้ว f(x) g(x)  การพิสูจน์เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0 สำหรับ ลู่เข้าสู่ ใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0ทำให้ลำดับ g(x) f(x) ลู่เข้าสู่ และลำดับ

13. แต่ f(x)  g(x) ทุกๆxDทำให้ f(xn)  g(xn) ทุกๆ n โดยบทแทรก 3.4.4 f(xn)  g(xn) g(x) f(x)  นั่นคือ 

14. ทฤษฎีบท 4.2.4ให้ f : Dและ g : D , x0เป็นจุดลิมิตของ D ถ้า f มีขอบเขตบนเซต Q ซึ่งเป็นย่านของจุด x0และ g มีลิมิตเท่ากับ 0 ที่จุด x0แล้วfgมีลิมิตที่ x0และ (fg)(x) = 0 การพิสูจน์ ให้ > 0จะหา  > 0ที่ ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว | (fg)(x) | < 

15. เนื่องจาก f มีขอบเขตบน Q ซึ่งเป็นย่านจุด x0ดังนั้นจะมี1 > 0 และ M > 0 ที่ | x – x0 | < 1, xDทำให้ | f(x) |  M เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0 > 0 จะมี2 > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < 2ทำให้ | g(x) – 0 | < | g(x) | <  เลือก = min {1, 2} ให้ =

16. ถ้า 0 < | x – x0 | < และxDทำให้ | (fg)(x) | = | f(x)g(x) | = | f(x) || g(x) | < M =  นั่นคือfgมีลิมิตที่ x0และ (fg)(x) = 0 