Analytische Geometrie – Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum

1. Analytische Geometrie – Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum Referat von Tanja Redmann und Daniel Hesseler am 28.06.2006

2. Gliederung 1. Wiederholung: Analytische Geometrie 1.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene 1.2 Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene 1.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene 1.3.1 Beispiel 1.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung 1.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatengleichung überführen (Tafel) 1.6 Normalenvektor 1.7 Normaleneinheitsvektor 1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung 1.10 Äquivalenzumformungen 1.11 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 1.12 Lineare Unabhängigkeit 1.13 Spezielle Ebenen

3. 2. Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum 2.1 Neun verschiedene Beispiele 2.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform (Gauss-Verfahren) 2.3 Rechnungen in Derive 2.4 Beispiel: Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen (Tafel) 2.5 Beispiel: Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen (Tafel) 3. Literatur

4. 1. Wiederholung: Analytische Geometrie

5. 1.1 Definition: Punktrichtungsgleichung einer Ebene

6. 1.2 Definition: Dreipunktegleichung einer Ebene

7. 1.3 Definition: Achsenabschnittsgleichung einer Ebene Schneidet eine Ebene E die Achsen eines Koordinatensystems in den Punkten Sx (xs;0;0), SY (0;ys;0) und Sz(0;0;zs) (mit xs, ys,z s≠0), so besitzt sie die Koordinatengleichung x/ xs + y/ ys + z/zs = 1

8. 1.3.1 Beispiel Für die nebenstehende dargestellte Ebene E1 lässt sich als Koordinatengleichung ablesen: E1= x/2 + y/3 + z/0.5 = 1 bzw. E1= 3x + 2y + 12z = 6

9. 1.4 Zusammenfassung: Punktrichtungs- und Dreipunktegleichung

10. 1.5 Rechnung: Parametergleichung in Koordinatenschreibweise überführen

11. 1.6 Normalenvektor

12. 1.7 Normaleneinheitsvektor Dabei sieht der Normaleneinheitsvektor wie folgt aus: n0= 1/ |n|*(xn; yn)

13. 1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) • Bei der Skalarmultiplikation werden zwei Vektoren multipliziert • Das Produkt ist eine reelle Zahl, kein Vektor • Eine Verknüpfung entsteht, die den Vektoren a und b einen Vektor c als Produkt zuordnet c = a x b.

14. 1.8 Das Vektorprodukt Satz: Für Vektoren a und b und a x b im Raum gilt: • a x b ist orthogonal zu a und zu b • a, b und a x b bilden ein Rechtssystem • Der Betrag von a x b ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: │a x b│=│a│*│b│* sin φ

15. 1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor

16. 1.8 Das Vektorprodukt: Der kurze Weg zum Normalenvektor • Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den Vektoren a und b. Er ist ein Normalenvektor einer von a und b aufgespannten Ebene. Sein Betrag gibt die Inhaltsmaßzahl des von a und b im Raum aufgespannten Parallelogramms an. • A = │ │= (0)2+(0)2+(1)2 = 1 (FE)

17. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

18. Unter dem Abstand d eines Punktes R von einer Ebene E versteht man die Länge d seines Lotes von R auf die Ebene, d.h. die Länge d der Strecke von R zum Lotfußpunkt (Fig. 3) 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

19. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung │n0│= 1

20. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

21. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

22. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

23. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

24. 1.9 Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

25. 1.10 Äquivalenzumformungen Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich mit den folgenden Äquivalenzumformungen auf Stufenform bringen: (1) Gleichungen miteinander vertauschen (2) eine Gleichung mit einer Zahl c ≠ 0 multiplizieren (3) eine Gleichung durch die Summe oder Differenz eines Vielfachen von ihr und einem Vielfachen einer anderen Gleichung ersetzen.

26. 1.11 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Satz: Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Beispiel: (1) Genau eine Lösung: 2x -y = 1 4y = 1 Lösungsmenge: L={(5/8; 1/4)} (2) Keine Lösung: x -2y -4z = 2 +3y +2z = 0 0 = -1 L= { } (3) Unendlich viele Lösungen: 2x -y +z = 2 2y -6z = 0 Lösungsmenge: L={(1+t; 3t; t)| tєR}

27. Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme

28. 1.12 Lineare Unabhängigkeit Vektoren a1,a2,…,an heißen linear unabhängig, falls sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen lässt. Kann man wenigstens einen der Vektoren a1,a2,…,an als Linearkombination der übrigen Vektoren darstellen, so heißen die Vektor linear abhängig.

29. Für ein LGS bestehend aus drei Gleichungen heißt das: • Lässt sich mindestens eine Gleichung als Linearkombination einer anderen darstellen (linear abhängig), so hat das LGS keine bzw. unendlich viele Lösungen • Sind alle Gleichungen voneinander linear unabhängig, so existiert genau eine Lösung für das LGS • Sind zwei Ebenen parallel, müssen ihre Normalenvektoren kollinear sein (linear abhängig) •  Siehe Punkt 2.1

30. 1.13 Spezielle Ebenen

31. 1.13 Spezielle Ebenen

32. 1.13 Spezielle Ebenen

33. 1.13 Spezielle Ebenen

34. 1.13 Spezielle Ebenen

35. 1.13 Spezielle Ebenen

36. 2. Die gegenseitige Lage von drei Ebenen im Raum

37. 2.1 Neun verschiedene Beispiele x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = -4 x + 2y + 3z = 14 Lage der Ebenen: Alle drei Ebenen sind parallel, aber nicht identisch Gemeinsame Punkte: Keine Lösungsmenge: Leere Menge

38. x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 x + 2y + 3z = 14 Lage der Ebenen: Zwei identische Ebenen sind parallel zur dritten Ebene Gemeinsame Punkte: Keine Lösungsmenge: Leere Menge

39. x + 2y + 3z = 4 x + 2y + 3z = 14 x - y + 2z = 2 Lage der Ebenen: Zwei Ebenen sind parallel und die dritte Ebene schneidet beide Ebenen in zwei parallelen Schnittgeraden Gemeinsame Punkte: Keine Lösungsmenge: Leere Menge

40. x + 2y + 3z = 4 3x + y + 4z = 1 4x + 3y + 7z = 25 Lage der Ebenen: Alle drei Ebenen schneiden sich in drei verschiedenen Schnittgeraden Gemeinsame Punkte: Keine Lösungsmenge: Leere Menge

41. x + 2y + 3z = 4 x + z = 1 3x + y = 2 Lage der Ebenen: Alle drei Ebenen schneiden sich in einem PunktGemeinsame Punkte: Genau ein Punkt Lösungsmenge: Eine eindeutige Lösung

42. x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 x + 2y + 4z = 4 Lage der Ebenen: Zwei Ebenen sind identisch, die dritte Ebene schneidet in einer SchnittgeradenGemeinsame Punkte: Genau eine Gerade Lösungsmenge: Unendlich

43. x + y + z = 3 x + 7y +z = 3 x -5y + z = 3 Lage der Ebenen: Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden Gemeinsame Punkte: Eine gemeinsame Schnittgerade Lösungsmenge: Unendlich

44. 2x + 5y -3z = -14 2x + 5y -3z = 4 x + 2y + 4z = 2 Lage der Ebenen: Zwei Ebenen parallel zueinander, die dritte schneidet beide Ebenen orthogonal Gemeinsame Punkte: Keine Lösungsmenge:Keine

45. x + 2y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 8 0.5x + y + 1.5z = 2 Lage der Ebenen: Alle drei Ebenen sind identisch Gemeinsame Punkte: Eine gemeinsame Ebene Lösungsmenge: Unendlich

46. 2.2 Beispiel: Vereinfachen einer Matrix auf Zeilenstufenform (Gauss-Verfahren) Löst bitte folgendes lineare Gleichungssystem. Verwendet entweder die ausführliche Schreibweise oder die Matrixschreibweise. 3x + 6y -2z = -4 3x +2y +z = 0 1.5x + 5y -5z = -9

47. Lösung:

48. Aus IIIb folgt: Aus x3 = 2 und IIa folgt: x3 = 2 x2= ½ Aus x3 = 2, x2 = ½ und I folgt: x1 = -1 Lösung: (-1; ½; 2)

49. 2.3 Rechnungen in Derive

50. 2.4 Berechnungen der Schnittgerade (Tafel) E1 : 3x -4y +z = 1 E2 : 5x +2y -3z = 6