相対性理論入門

1. 相対性理論入門 国立群馬工業高等専門学校 一般教科（自然科学）小林晋平 201２年1月2８日 @ 駒場数学ハウス

2. 0. 相対性理論とは？

3. 物理は何を扱う学問か？ • 中学の理科を思い出す • 質量保存の法則、イオンなど・・・化学 • 火成岩、夏の大三角形、寒冷前線・・・地学 • 細胞膜、両生類、食物連鎖・・・生物 • ばねの伸び、直列つなぎ、運動エネルギー・・・物理どことなく地味、想像しにくい、つまらない？

4. 相対性理論は別格？ • 最も有名な科学理論のひとつ • 世界一有名な方程式： • フレーズやキーワードにインパクト • 光の速さ、タキオン、最近ではニュートリノの話 • ４次元？時間が遅れる？ 重くなる？ • ブラックホール、ビッグバン、・・・ • 世界で３人しか理解できない？？？→ デマ。特殊相対論なら中学３年生で計算可能　（全てではないが）

5. 有名な例：時間の進みの遅れ 光の速さ：　　物体の速さ：　 止まっている人に流れる時間：　　 動いている物体に流れる時間：　　　　 例えば なら 地上で10年経つ間に、動いていた物体は 8年しか経たない

6. 相対性理論とは？ • アインシュタインが提唱、特殊と一般 • 特殊相対性理論（1905） • 時間と空間が混ざり合う、質量とエネルギーの等価性 • 一般相対性理論（1916） • 特殊相対論＋重力 → ブラックホールや宇宙そのもの なぜそんな「ありえない」結果が出るのか？

7. 「ありえない結果」になるとき 　　　　　ありえない ＝ 予想と違う • 経験したことがない ← 予想したくてもできない • 前提が「ありえない」← タネを仕込んでいる

8. 1. 特殊相対論と時間の遅れ

9. 特殊相対論、二つの前提 相対性原理 光速度の不変性

10. 特殊相対論、二つの前提：その１ • 相対性原理 　あらゆる物理法則は、どんな慣性系から見ても同じ形で書ける

11. 慣性系とは？ • 慣性の法則が成り立つような「ところ」 • 慣性の法則：物体に働く正味の力がゼロならば、物体は静止し続ける or 等速で運動し続ける

12. 慣性系の例 • 一定の速さで動く電車の中でジャンプしてみる A ジャンプ中に電車だけ先へ行ってしまう？

13. 電車の中で見えること • 電車の速さが変わらないなら、A地点に戻る A 真上に飛べば、真下に落ちてくる 静止系と同じ

14. 電車の外から見えること • 真上に飛んだつもりでも、電車の速度がある A A 始めから、斜めに飛んでいる

15. 慣性系ではない例 • 加速していく電車の中でジャンプしてみる A さっきと同じだろうか？

16. 電車の外にいる人の観察結果 • 電車は人が飛んでいる間も加速 A A 電車の方が先に行ってしまう

17. 電車の中の人はどう感じる？ • 真上に飛んだのに、A地点より後ろに着地 A 何の力も働いていないのに後ろへ慣性の法則

18. 特殊相対論、二つの前提：その２ • 光速度の不変性光の速さは光源の運動によらず一定で、いかなる慣性系から見ても一定の速さで伝わる

19. 光の速さ • 光の速さは　　　　　　　　 m/s秒速30万キロメートル • 一秒間に地球を７周半月まで1.27秒 • 100メートルを10秒で走る = 10m/s（36km/h）音の速さ ≒ 340m/s （光の百万分の1）

20. 光の速さの測定 • ガリレオ（1600年頃） • 測定そのものは失敗。非常に速いことを確認。 • レーマー（1676） • 木星の衛星イオの「食」の周期を利用光速が有限であることを発見 • フィゾー（1849） • 歯車を使った光速度の測定 　　　　　　　　　　　　　　　　　など

21. 光とは何か？ • 波動説 • 干渉、回折、屈折…　← 波の特徴 • 光 ＝ 電磁波 • 電場と磁場が、互いを生成しながら進んでいく波 • 目に見える光：可視光電波、赤外線、紫外線、X線、 • 　　　　　　　　ガンマ線も全て電磁波　

22. 光は波か？ • ヤングの二重スリット実験

23. おまけ：電子線の二重スリット実験 • 電子を１個ずつ打ち込む何度も繰り返すと、なぜか干渉縞が出る • 電子は波なのか？？？

24. ちなみに・・・、光は粒子の可能性も • 光電効果など • 光は波？粒子？ • 量子力学・場の量子論へ

25. 光は波か？ • 回折格子 波ならば、何を伝わる波なのか？

26. 光はなにを伝わるのか

27. 光は何を伝わるのか • マイケルソン・モーリーの実験（1887） エーテルに 対する速さ 鏡 ハーフミラー 鏡 光源 干渉計

28. 光は何を伝わるのか • 干渉縞の原因 • アームの長さの差 • エーテルに対する速度 • 2つの光の到達時間にずれが発生 • 装置を90度回転 • 干渉縞がずれる • ずれの大きさから、エーテルに対する速度がわかる • 結果：ずれが見つからなかった　　　→ エーテルは存在しない　

29. 光は何かを伝わる波ではない 光の速度は「絶対的」なもの？？？ 仮定して理論を作り、実験で検証する

30. 光速度の不変性は奇妙なことか？ • 速さ　で動く車から速さ　でボールを投げる ボールの速さは合計で　　　　になる

31. 光速度の不変性は奇妙なことか？ • 速さ　 のボールを速さ　で近づきながら見る ボールは速さ　　　 で向かってくるように見える

32. 光速度の不変性は奇妙なことか？ • 速さ　 のボールを速さ　で近づきながら見る ボールは速さ　　　 で向かってくるように見える

33. 光速度の不変性は奇妙なことか？ • 速さ　 の波を出しながら波源が速さ　で動く 波紋の間隔は狭まる 波の先頭の速さは　 のまま

34. 光速度の不変性は奇妙なことか？ • 速さ　 の波を、速さ　で近づきながら観察する 波の先頭は速さ　　　 で向かってくるように見える

35. 光速は観測者が動いても不変 • 速さ　 の光を、速さ　で近づきながら観察する 観測者が近付いているのに、　のまま

36. 光速度が不変だとするならば？ • 速さ ＝ 進んだ距離 ÷ かかった時間 • 「距離」や「時間」という概念を洗い直す必要がある • もちろん、なぜ自然がそうなっているのかという疑問には答えられない • 実は、電磁気学の結果からこれは予想されていた

37. 力学と電磁気学の不一致 • 当時は力学と電磁気学のみ • 力学の基礎：ニュートンの運動方程式 • 電磁気学の基礎：マクスウェル方程式

38. 電磁波の存在 • マクスウェル方程式を変形する ここで 速さ　で進む波 ＝ 電磁波の存在 しかも、　 や　 は観測者には無関係な量

39. ガリレイ変換 • ニュートンの運動方程式はガリレイ変換で不変

40. ガリレイ変換 • ニュートンの運動方程式はガリレイ変換で不変 「全ての慣性系で物理法則が同じ」と つじつまが合いそう

41. 電磁気学とガリレイ変換 • 電磁気学も同じ性質のはずところが、そうなっていなかった • 電磁気現象は、どんな慣性系から見るかによって変わってしまうのか？→ それを示す現象が見つからない→ 電磁気学の方が「正しい」？

42. ローレンツ変換 • 実はマクスウェル方程式にも、形を不変に保つ変換がある • ローレンツ変換 これは何を意味するのか？

43. 時間の遅れを計算してみる • 速さ　で動く筒の中で、光を上に向かって発射筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測 B A 光源

44. 時間の遅れを計算してみる • 速さ　で動く筒の中で、光を上に向かって発射筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測 B A 光源

45. 筒の中の光の動き • 筒の中のBさん：光が速さ　で上下往復するのを見る 往復距離 光の速さ 往復に掛かる時間 光源

46. 同じ現象を外から見る • 速さ　で動く筒の中で、光を上に向かって発射筒の外のAさんと、筒の中のBさんが観測

47. 外から見ると、掛かる時間は？ • Aさんにも光の速さは　に見える

48. tAと tBの関係 • 三平方の定理を使う

49. tAと tBの関係 • 三平方の定理を使う 動いている人に流れる時間 tB ≠ 止まっている人に流れる時間 tA

50. 時間の進みの遅れ、再び 光の速さを　、物体の速さを　 止まっている人に流れる時間が　　 動いている物体に流れる時間が　　　　 のとき、　　 例えば 年、 が光速の60%なら 年 地上で10年経つ間に、動いていた物体は 8年しか経たない