ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ15ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

2. ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Είναι δυνατόν μέρος της διαφοροποίησης στην παρατηρούμενη τιμή μιας μεταβλητής να αποδοθεί στη διαφορετική γεωγραφική θέση των σημείων όπου έχουμε μετρήσεις; Αν η γεωγραφική θέση των σημείων, όπου υπάρχουν μετρήσεις για τις τιμές μιας μεταβλητής, αλλάζει, θα αλλάξουν και οι τιμές των μεταβλητών αυτών; Αλλαγές στη γεωγραφική θέση συνεπάγονται αλλαγές στις τιμές των μεταβλητών; • Ερωτήσεις: • «Πρέπει μια ή περισσότερες μεταβλητές να πάρουν μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή;» • «Μπορεί να επιτευχθεί με την επαναχωροθέτηση σημείων σε άλλες θέσεις;». • «Αν αυτό είναι δυνατό, ποιες είναι αυτές οι καινούργιες θέσεις»;

3. ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ Η θέση στον γεωγραφικό χώρο μετράει, παίζει σπουδαίο ρόλο. Το σημείο στο οποίο μια οποιαδήποτε μονάδα χωροθετείται έχει επιπτώσεις: • Στο κόστος: Διαφορετικές θέσεις για την κατασκευή μιας μονάδας αντιπροσωπεύει διαφορετικά κατασκευαστικά και λειτουργικά έξοδα. • Στην αποδοτικότητα: Η θέση επιδρά στο πόσο αποδοτικά,επιτυγχάνονται οι σχεδιαστικοί στόχοι μιας μονάδας. • Στη χρήση: Η θέση μιας μονάδας επηρεάζει το βαθμό χρησιμοποίησής της από τους ανθρώπους τους οποίους η μονάδα αυτή εξυπηρετεί. • Άλλα κέντρα: Η θέση ενός κέντρου επηρεάζει, θετικά ή αρνητικά, το κόστος, την αποδοτικότητα και τη χρησιμοποίηση άλλων κέντρων.

4. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Η βασική αρχή του οικονομικού σχεδιασμού είναι η δημιουργία οικονομικών και κοινωνικών στόχων για το μέλλον, εκφρασμένων σε ποσοτικοποιημένα μεγέθη και η εύρεση του πιο αποτελεσματικού τρόπου, ώστε με βάση τα υπάρχοντα διαθέσιμα οι στόχοι αυτοί να μπορούν να πραγματοποιηθούν.

5. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1. Σε ποιο βαθμό βασικές δραστηριότητες/εξυπηρετήσεις είναι γεωγραφικά προσιτές στον πληθυσμό μιας περιφέρειας; 2. Υπάρχουν συγκεκριμένες πληθυσμιακές ομάδες σε μειονεκτική θέση σε ότι αφορά την προσιτότητα βασικών δραστηριοτήτων/εξυπηρετήσεων; 3. Πώς επηρεάζει την αποτελεσματικότητα ενός δικτύου κέντρων παροχής υπηρεσιών ή θέση των στοιχείων του (κέντρων); 4. Πώς βρίσκουμε τη βέλτιστη κατανομή των παραπάνω κέντρων παροχής, δηλαδή την κατανομή που μεγιστοποιεί την αποτελεσματικότητα του δικτύου; 5. Τι κριτήρια μπορούμε ή πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για την αξιολόγηση ενός τέτοιου συστήματος; 6. Σε ποιο βαθμό πρόσφατες αποφάσεις για τη δημιουργία νέων κέντρων παροχής υπηρεσιών έχουν οδηγήσει σε καλυτέρευση της προσιτότητας; 7. Ποια πρέπει να είναι η βέλτιστη χωροθέτηση νέων κέντρων κάτω από την συνθήκη ότι τα υπάρχοντα κέντρα δεν μπορούν να μετακινηθούν;

6. ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ Α) Σωστές αναφορές και εκτιμήσεις για το περιεχόμενο των περιφερειών (contents of areas). Β) Επίδραση της θέσης και των χωρικών αλληλοεπιδράσεων στις τιμές των στοιχείων (μεταβλητών) που μετρούνται σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Γ) Βέλτιστη χωροθέτηση ενός συνόλου αντικειμένων, ώστε μια ορισμένη μεταβλητή ή μεταβλητές να αποκτήσουν μια μέγιστη(ες) ή ελάχιστη(ες) τιμή(ες).

7. VARIGNON FRAME

8. ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ WEBER Αν δοθεί ένα σύνολο από χρήστες μιας υπηρεσίας, που οι θέσεις τους είναι γνωστές στο χώρο, να βρεθεί η θέση του κέντρου αυτής της υπηρεσίας, για αυτούς τους χρήστες έτσι, ώστε το συνολικό κόστος προσιτότητας να είναι το ελάχιστο δυνατό.

9. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΜΟΝΤΕΛΟΥ WEBER • Παρουσιάζεται έλλειψη περιορισμών σε σχέση με τις πιθανές θέσεις που μπορούν να καταλάβουν τα κέντρα παροχής υπηρεσιών. • Περιορισμός στον αριθμό των επιτρεπόμενων θέσεων για χωροθέτηση. • Αναφερόταν σε κάθε σημείο στο γεωγραφικό χώρο που δεν είναι σε πολλές περιπτώσεις δυνατό. • Αναφερόταν σε σταθερές θέσεις στο χώρο, ενώ υπάρχει ανάγκη για κινητά κέντρα παροχής υπηρεσιών. • Έλυνε το πρόβλημα από την πλευρά των ιδιωτών, ενώ πολλά προβλήματα αφορούν κυρίως κοινωνικά οφέλη. • Ενδιαφερόταν αποκλειστικά για την αποτελεσματικότητα της χωροθέτησης και αγνοούσε προβλήματα ισότητας.

10. ΜΟΝΤΕΛΟ WEBER: ΤΥΠΟΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Μετρική: Συνεχή Μοντέλα Στην πιο γενικευμένη της μορφή δίνεται από τον τύπο: όπου: r = (xi, x2, …, xk) s = (yi, y2, …, yk) Στην περίπτωση ενός επιπέδου δύο διαστάσεων (k=2): όπου: i =(xi, xj), j = (yi, yj)

11. ΜΟΝΤΕΛΟ WEBER: ΤΥΠΟΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Μετρική Ip για p=2 Ευκλείδειος Απόσταση ΠαραλληλογραμμικήΑπόσταση Μετρική: Διακριτά Μοντέλα Η απόσταση εκφράζεται με μια μήτρα τάξης m xn, που το στοιχείο της (i, j)είναι η τιμή της απόστασης μεταξύ των σημείων i και j.

12. ΜΟΝΤΕΛΟ WEBER • Είδος Κέντρου: • Σταθερά • Κινούμενα • Αντικειμενική Συνάρτηση: • Ιδιωτικό τομέα • Δημόσιο τομέα • Κριτήρια Χωροθέτησης: • Αποτελεσματικότητα • Ισότητα • Επάρκεια • Ισότητα – Αποτελεσματικότητα

13. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Επειδή για κάθε κέντρο παροχής μιας ορισμένης υπηρεσίας υπάρχει μια δοσμένη και καθορισμένη ακτίνα δράσης και ένα ανώτατο όριο χωρητικότητας. Γι’ αυτό η κατανεμημένη στο χώρο ζήτηση για αυτή την υπηρεσία δεν μπορεί να καλυφθεί από ένα και μόνο κέντρο, αλλά από περισσότερα, δηλαδή από ένα σύστημα τέτοιων κέντρων. Αποτέλεσμα αυτού είναι ο ταυτόχρονος καθορισμός τόσο του συνδυασμού των θέσεων που πρέπει να χωροθετηθούν τα κέντρα όσο και του συσχετιζόμενου συνδυασμού των περιοχών που πρέπει να αποτελέσουν τις περιοχές δράσης των κέντρων

14. ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Σε δοσμένο χώρο ζήτησης να τοποθετηθούν κέντρα παροχής υπηρεσιών (αγαθών) και να περιφερειοποιηθεί ο χώρος ως προς τα κέντρα αυτά σε τρόπο ώστε η ζήτηση να καλύπτεται κατά τον «βέλτιστο» δυνατό τρόπο, δηλαδή να αποφασισθεί ποια μέρη του χωρικού συστήματος θα εξυπηρετούνται και από ποια κέντρα. Η έκφραση βέλτιστος δυνατός τρόπος γενικά ερμηνεύεται σαν προσπάθεια βελτιστοποίησης κάποιας αντικειμενικής συνάρτησης (μεγιστοποίηση κάποιου κέρδους ή ελαχιστοποίηση κάποιου κόστους).

15. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

16. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Να χωροθετηθούν p-κέντρα παροχής μιας ορισμένης υπηρεσίας σε ένα δίκτυο ζήτησης, έτσι ώστε, για παράδειγμα, ο μέσος χρόνος ταξιδιού να είναι ελάχιστος. Διαφορετικοί περιορισμοί ή αντικειμενικές συναρτήσεις δίνουν διαφορετικές εκφράσεις στο μοντέλο που μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση προβλημάτων χωροθετήσεων-κατανομών.

17. p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ (p-MEDIAN) Το μοντέλο αυτό μαθηματικά μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Κάτω από τις οριακές συνθήκες: για j = 1, …, p και i = 1, …, n για i = 1, …, n για i = 1, …, n και j = 1, …, p

18. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Η αντικειμενική συνάρτηση αντιστοιχεί στο συνολικό κόστος προσιτότητας για p κέντρα. Οι περιορισμοί εξασφαλίζουν: • Ολόκληρη η ζήτηση θα ικανοποιηθεί. • Κάθε κόμβος ζήτησης θα κατανεμηθεί σε ένα και μόνο ένα κέντρο. • Κανένας κόμβος ζήτησης δεν θα κατανεμηθεί σε κόμβο που δεν είναι κέντρο. • Ότι ακριβώς p-κέντρα χωροθετούνται (ούτε λιγότερα ούτε περισσότερα).

19. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ για i = 1, …, p Περιορισμός Μέγιστου Κόστους: Έτσι ώστε για το σύνολο των πιθανών θέσεων Nj, το κόστος προσιτότητας είναι ίσο ή λιγότερο ενός δεδομένου κατωφλίου ti, που δίνεται από τη σχέση: Περιορισμός Χωρητικότητας: όπου: Ελάχιστη Χωρητικότητα κέντρου θέσης j. Μέγιστη Χωρητικότητα κέντρου θέσης j. για i = 1, …, n

20. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Περιορισμοί Προϋπολογισμού: όπου: fj = Κόστος κατασκευής κέντρου στη θέση j Β = Υπάρχουσα χρηματοδότηση. Μοντέλο Σταθερού Κόστους: όπου: fj = σταθερό κόστος που συνεπάγεται η χωροθέτηση στον κόμβο j. c = κόστος ανά μονάδα απόστασης και ανά μονάδα ζήτησης.

21. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Το ΜοντέλοSPLP: Κάτω από τις οριακές συνθήκες: για i = 1, …, n για i = 1, …, n και j = 1, …, n για j = 1, …, p

22. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μοντέλο ταυτόχρονης χωροθέτησης-κατανομής υπηρεσιών και εξυπηρετών Μοντέλο γενικευμένης αλγοριθμικής χωροθέτησης κέντρων και παροχέων σε δίκτυα ζήτησης

23. ΜΟΝΤΕΛΟ p-ΚΕΝΤΡΑ , i = 1, …, n όπου: 1 αν ο j κόμβος είναι κέντρο 0 διαφορετικά 1 αν ο πληθυσμός του i κόμβου εξυπηρέτησης από το j κέντρο 0 αν δεν εξυπηρετείται aij=0 αν και ajj aij

24. ΜΟΝΤΕΛΟ ΚΑΛΥΨΗΣΣΥΝΟΛΟΥ Κάτω από οριακές συνθήκες: όπου: tij =κόστος/απόσταση μεταξύ κόμβου i και κέντρου j όριο κόστους/απόστασης

25. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΚΑΛΥΨΗΣ Κάτω από τις οριακές συνθήκες: , για i = 1, …, n , για i = 1, …, n και j = 1, …, p , για j = 1, …, p όπου: αν

26. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΚΑΛΥΨΗΣ Αποτελέσματα του Μοντέλου Μέγιστης Κάλυψης

27. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΚΑΛΥΨΗΣ Λύση από το Μοντέλο Μέγιστης Κάλυψης

28. ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΚΑΛΥΨΗΣ Εναλλακτική Λύση από το Μοντέλο Μέγιστης Κάλυψης

29. ΤΑ ΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Γενικά μπορούμε να πούμε ότι το πρόβλημαp-medianελαχιστοποιεί το γινόμενο του πληθυσμού και του χρόνου ταξιδιού για ένα δοσμένο αριθμό p κέντρων. Το μοντέλο σύνολο κάλυψης αγνοεί τον πληθυσμό και βρίσκει τον ελάχιστο αριθμό κέντρων, που είναι αναγκαία για να καλύψουν τη ζήτηση εντός ενός ορισμένου ορίου απόστασης-χρόνου. Το μοντέλο μέγιστης κάλυψης επαναεισαγάγει τη σπουδαιότητα του πληθυσμού, ενώ συγχρόνως χρησιμοποιεί το όριο απόστασης/χρόνου και τα κέντρα χωροθετούνται έτσι ώστε να καλύπτουν όσο γίνεται περισσότερο πληθυσμό ή όσο γίνεται περισσότερα σημεία ζήτησης.

30. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑΜΟΝΤΕΛΑ Η αντικειμενική συνάρτηση που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι: όπου: προσδιοριστέος πίνακας, τ = 1, …, r, με την ακόλουθη μορφή: 1 αν ο κόμβος j φιλοξενεί κέντρο 0 αν ο κόμβος j δεν φιλοξενεί κέντρο και 1 αν ο κόμβος i εξυπηρετείται από τον j 0 αν ο κόμβος i δεν εξυπηρετείται = 1 για i ≠ 1, αν ajj = 1 = ο πίνακας των ελάχιστων χρονικών αποστάσεων μεταξύ των κόμβων κατά το χρονικό διάστημα τ

31. ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΟ ΣΥΝΕΧΗ ΧΩΡΟ Στο χώρο δύο διαστάσεων, m κέντρων εξυπηρέτησης και της κατανομής n πελατών προς τα κέντρα αυτά χρησιμοποιώντας την Ιt μετρική και διαμορφώνοντας το πρόβλημα ως εξής: Κάτω από οριακές συνθήκες: , για i = 1, …, n

32. ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΟ ΣΥΝΕΧΗ ΧΩΡΟ Στην περίπτωση της διχοτομικής μορφής του προβλήματος (κάθε σημείο στο χώρο είναι ή δεν είναι σημείο ζήτησης) αυτό εκφράζεται ως εξής: Κάτω από οριακές συνθήκες: , για j = 1, …, m , για i = 1, …, n

33. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χ- Κ Τα προβλήματα αυτά ανήκουν σε μια κατηγορία προβλημάτων για τα οποία δεν υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος να τα επιλύει σε πολυωνυμικό χρόνο. Για παράδειγμα, στο μοντέλο p-διάμεσος οι πιθανές λύσεις, αν εξετάζονται ένα εκατομμύριο συνδυασμοί το δευτερόλεπτο, είναι: • n = 50, p = 10 > 3 ώρες υπολογισμών, και • n = 100, p = 15 > 8 χιλιετίες υπολογισμών Επομένως εξετάζονται μέσω μη καθορισμένων πολυωνυμικά ολοκληρωμένωνπροσεγγίσεων Τα οποία δεν εγγυώνται την ανεύρεση μιας συνολικάβέλτιστης λύσης, αλλά αντίθετα, κάποιου τοπικού βέλτιστου της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι μέθοδοι επίλυσης μπορούν να διαφοροποιηθούν σε δύο βασικές κατηγορίες: σε κατά προσέγγιση ευριστικούς αλγόριθμους και σε ακριβείς τεχνικές επίλυσης.

34. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χ- Κ Κατά Προσέγγιση Ευριστικοί Αλγόριθμοι • Κατασκευαστικοί ευριστικοί αλγόριθμοι (Constructive heuristics) • Ευριστικοί αλγόριθμοι βελτίωσης (Improvement heuristics) • Μετα-ευριστικοί αλγόριθμοι (Meta-heuristics) Ακριβείς Τεχνικές Επίλυσης • Ακριβής Αριθμητική • Ακριβής Μαθηματικός Προγραμματισμός • Συνδυασμός Άλλων Τεχνικών με Ακριβείς Τεχνικές

35. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χ- Κ Σύγκριση των Μεθόδων Επίλυσης • Οι ακριβείς τεχνικές επίλυσης (ATE) πάντα βρίσκουν τη βέλτιστη λύση. • Οι ATE, κατά τη διάρκεια εκτέλεσής τους παρέχουν ένδειξη για την αναμενόμενη ποιότητα τής μέχρι εκείνη τη στιγμή βέλτιστης λύσης. • Οι ATE μπορούν να επιλύσουν προβλήματα στα οποία ενδογενώς προσδιορίζεται ο αριθμός των υπηρεσιών. • Οι συνολικοί χρόνοι επίλυσης για τους ευριστικούς αλγορίθμους (EA) μπορούν να εκτιμηθούν με σχετική ακρίβεια. • Οι EA μπορούν να εγκατασταθούν και να λειτουργήσουν σε συστήματα υπολογιστών με χαμηλές ταχύτητες και περιορισμένο χώρο αποθήκευσης και επεξεργασίας δεδομένων. • Οι EA επιδεικνύουν ισχυρότερη ομοιογένεια ως προς τα χαρακτηριστικά τους.

36. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Χ- Κ Ιδιότητες Αλγόριθμων • Ακρίβεια: να βρίσκει σε κάποιο πρόβλημα την πραγματικά βέλτιστη λύση ή να την προσεγγίζει κατά το δυνατόν περισσότερο. • Ισχυρότητα: να βρίσκει εφαρμογή σε όσο το δυνατόν μεγαλύτερη κατηγορία προβλημάτων. • Ταχύτητα: Εκφράζει το χρόνο που χρειάζεται ο υπολογιστής για την πλήρη λειτουργία του αλγόριθμου. • Ευρωστία: Εκφράζει την καλή (robust) συμπεριφορά σε διάφορα προβλήματα ή σε εκδοχές του ίδιου προβλήματος. • Αποδοτικότητα: να βρίσκει λύσεις σε συστήματα με χαμηλές ταχύτητες, περιορισμένο χρόνο αποθήκευσης και επεξεργασίας δεδομένων.

37. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Από καθαρά πρακτική σκοπιά τα μοντέλα χωροθετήσεων-κατανομών μπορούν να επιλύσουν τα εξής τρία σημαντικά προβλήματα οργάνωσης χώρου: • Το πρόβλημα της βέλτιστης χωροθέτησης p-κέντρων παροχής υπηρεσιών όπου παραδεχόμαστε ότι στην περιοχή δεν υπάρχουν άλλα τέτοια κέντρα (το γενικό πρόβλημα). • Το πρόβλημα της βέλτιστης χωροθέτησης κ επιπλέον κέντρων θεωρώντας τα υπάρχοντα κέντρα ως δοσμένα (το προσθετικό πρόβλημα). • Το πρόβλημα της αναδιοργάνωσης ενός χωρικού συστήματος, όπου δοσμένων p-κέντρων παροχής υπηρεσιών σε μια περιοχή, κλείνουν κέντρα που δεν είναι βέλτιστα χωροθετημένα και ανοίγουν καινούρια σε βέλτιστες θέσεις(το πρόβλημα της αναδιοργάνωσης).

38. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΕΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

39. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ p-ΔΙΑΜΕΣΟΣ

40. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΥΝΟΛΟ-ΚΑΛΥΨΗΣ