Problemi di scheduling multi-agente

1. Problemi di scheduling multi-agente Alessandro Agnetis, Università di Siena Gianluca De Pascale, Università di Siena Pitu B. Mirchandani, University of Arizona Dario Pacciarelli, Università di Roma Tre Andrea Pacifici, Università di Roma Tor Vergata Marco Pranzo, Università di Siena Alessandria, 16 marzo 2007

2. Problemi multi-agente • Diversi agenti competono per l’utilizzo di un insieme limitato di risorse produttive o logistiche • Per raggiungere un accordo, gli agenti possono negoziare l’utilizzo della risorsa • Un eventuale soggetto centrale può avere parte attiva nel problema o essere solo un coordinatore

3. Treni in competizione per l’utilizzo di binari [Brewer e Plott 1996]

4. AGV in competizione su una rete [Huang e Hallam 1995] • Job di diversi ordini che competono per l’uso di slot temporali su una macchina --- agenti autonomi [Kutanoglu e Wu 1999, Wellman et al. 2001] • Tipi diversi di segnali (dati, voce) che competono per le stesse risorse radio [Arbib et al. 2002]

5. Problemi di scheduling con due agenti • Due agenti, A e B, possiedono ciascuno un set di job che richiedono determinate risorse di processamento • Gli agenti possiedono ciascuno una funzione di costo f A(s) and f B(s)rispettivamente • Ogni funzione di costo dipende soltanto dai job del rispettivo agente

6. Problemi multi-agente: aspetti • Situazione iniziale • Possibilità e modalità di scambio delle informazioni tra agenti • Possibilità di compensazioni/scambi di utilità tra agenti

7. Situazione iniziale: scenari • Esiste una allocazione inizialerispetto alla quale solo un insieme limitato di riallocazioni è possibile (es. orario ferroviario) • Non esiste alcuna situazione iniziale, tutti gli agenti si presentano contemporaneamente e hanno uguale priorità

8. Scambi di informazione: scenari • Tutti gli agenti possono comunicare direttamente tra loro informazioni complete riguardanti i propri job e le proprie utilità • Esiste un protocollo di comunicazione e offerta (e.g. aste) • Ciascun agente comunica solo con un sottoinsieme di agenti o con un coordinatore

9. Trasferimenti di utilità: scenari • L’utilità degli agenti e i rapporti relativi sono tali da consentire una redistribuzione dell’utilità (e.g. in termini monetari) • L’utilità degli agenti è espressa in termini che non ne consentono una redistribuzione immediata (e.g. diverse funzioni obiettivo)

10. Modelli multi-agente • Giochi cooperativi: sequencing games • Aste: • Wellman et al. (asta ascendente parallela) • Kutanoglu-Wu (asta combinatoria) • Bargaining problems: estensione dei concetti di soluzioni di Nash e Kalai Smorodinski

11. Sequencing games • Sono particolari giochi cooperativi ad utilità trasferibile • Si studiano situazioni di sequenziamento in cui, a partire da uno schedule iniziale s0, i giocatori possono formare coalizioni per rischedulare i loro job in modo proficuo senza danneggiare gli altri giocatori • In molti casi, il nucleo è non vuoto [Curiel, Pederzoli and Tijs 1989, Slikker 2003]

12. 2. MARKET ORIENTED PROGRAMMING

13. Aste - Market Oriented Programming • La situazione è rappresentata da un modello di tipo economico [Wellman, Walsh, Wurman, Mc-Kie Mason 2002] • Gli agenti si muovono in un mercato i cui beni sono i periodi di utilizzo delle risorse • La comunicazione è limitata alle offerte che ciascun agente formula per le risorse

14. Market Oriented Programming - II • Gli agenti formulano le proprie offerte sulla base di valutazioni individuali • Le uniche informazioni scambiate sono nel formato di prezzi e avvengono tra agenti e un coordinatore (automatico) • L’analisi studia le relazioni tra equilibrio e ottimalità

15. Modello di scheduling • Un insieme G di ntime slot • Un insieme A di agenti compreso l’agente “venditore” F0 • Un vettore [p1, p2,…, pn] di prezzi per i vari time slot • Per ogni XG, un valore vj(X) che l’agente j attribuisce a X • I job sono interrompibili

16. Modello di scheduling • Ciascuna risorsa i ha un reserve priceqi, che rappresenta il valore della risorsa per il sistema se non viene allocata • Il valore globale di un’allocazione è

17. Allocazione ottima • Una allocazione f è ottima se il suo valore globale è massimo • L’ottimalità di una soluzione dipende soltanto dall’allocazione f e dai valori wj, non dai prezzi a cui le risorse possono essere acquisite

18. Prezzi e agenti • Dato un vettore p di prezzi, la quantità Hj(p) misura il massimo guadagno che l’agente j può conseguire

19. Equilibrio • Un’allocazione f è in equilibrio per un vettore p di prezzi se: 1) (ossia, ogni agente consegue il massimo guadagno)

20. Equilibrio 2) pi qi per ogni slot i allocato pi= qi per ogni slot i non allocato (ossia, anche l’agente “venditore” ha un vantaggio)

21. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Esempio pi €6,25 €6,25 €6,25 €3,25 €3,25 €3,25 €3,25 €3,25 w1=16 d1 =3 L1=2 w2=10 d2 =4 L2=2 w3=6 d3 =2 L3=1 w4=14,5 d4 =8 L4=4 qi = € 3

22. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Esempio pi €6,25 €6,25 €6,25 €3,25 €3,25 €3,25 €3,25 €3,25 w1=16 d1 =3 L1=2 w1=16 d1 =3 L1=2 w2=10 d2 =4 L2=2 w2=10 d2 =4 L2=2 w3=6 d3 =2 L3=1 w4=14,5 d4 =8 L4=4 w4=14,5 d4 =8 L4=4 qi = € 3

23. Equilibrio e ottimalità Teorema [Bikhchandani e Mamer 1997, Gul e Stacchetti 1999, Wellman et al. 2001]: Se esiste un sistema di prezzi p per cui f è in equilibrio, allora f è ottima Il viceversa in generale non è vero

24. Esempio 0 1 2 w1=3 d1 =2 L1=2 w2=2 d2 =2 L2=1 qi = € 0

25. Allocazione ottima p2 p1 0 1 2 w1=3 d1 =2 L1=2 w1=3 d1 =2 L1=2 w2=2 d2 =2 L2=1 qi = € 0

26. Equilibrio e ottimalità • Perché f sia in equilibrio, per l’agente 2 deve essere conveniente non comprare nulla • Questo si ha solo se p12 e p22 • Ma allora non può essere in equilibrio per l’agente 1 !

27. Equilibrio e ottimalità • Le due condizioni sono equivalenti nel caso più particolare di job unitari • Anche nel caso multiple-deadline

28. Analisi dei protocolli di asta • Come si può raggiungere una soluzione di equilibrio da parte di agenti distribuiti? • Meccanismi di asta • Esempio: l’asta ascendente

29. Asta ascendente • Gli agenti formulano in modo asincrono offerte per ciascuno slot i • Se l’offerta corrente èbi , l’offerta successiva deve essere pari ad almeno ai =bi + e (ask price) • Quando non ci sono più offerte, la risorsa è allocata al miglior offerente

30. Comportamento degli agenti • Ciascun agente offre il valore ai per alcune risorse, in modo da massimizzare il proprio surplus • L’asta ascendente raggiunge un equilibrio?

31. Esempio Prezzo corr.0 0 0 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w3= € 2,5 d3 =3 L3=1 qi = € 0, e = € 1

32. Offerta agente 2 Prezzo corr.0 0 0 Prezzo corr.01 1 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 2,5 d2 =3 L2=1 qi = € 0, e = € 1

33. Offerta agente 1 Prezzo corr.01 1 Prezzo corr.121 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 2,5 d2 =3 L2=1 qi = € 0, e = € 1

34. Offerta agente 3 Prezzo corr.122 Prezzo corr.121 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 2,5 d2 =3 L2=1 qi = € 0, e = € 1

35. Offerta agente 2 Prezzo corr.122 Prezzo corr.121 Prezzo corr.223 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 2,5 d2 =3 L2=1 qi = € 0, e = € 1

36. L’agente 3 esce di scena • Perché un sistema di prezzi sia in equilibrio, dev’essere p3 2 • Ad esempio: p1= 8 p2= 8 p3= 1

37. Equilibrio Prezzo 881 0 1 2 3 w1= € 20 d1 =2 L1=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 8 d2 =3 L2=2 w2= € 2,5 d2 =3 L2=1 qi = € 0, e = € 1

38. Convergenza di un’asta • L’asta ascendente può non raggiungere un equilibrio, anche se esiste • Può raggiungere un’allocazione arbitrariamente lontana dall’ottimo • Nel caso di job unitari, la distanza tra il valore di un’allocazione ottima e quella generata dall’asta è limitata (ke+1)

39. 3. KUTANOGLU - WU

40. Aste – modello di Kutanoglu-Wu • Il sistema è un job shop • Un insieme di agenti, ognuno dei quali possiede un job, che richiede l’utilizzo di alcune macchine per alcuni time slot • I job sono non interrompibili • Un coordinatore centrale gestisce l’asta combinatoria

41. Kutanoglu-Wu (II) • A ogni iterazione, ogni slot su ogni macchina ha un prezzo • In base ai prezzi di ogni slot/macchina (k,t), e in base alla propria funzione di utilità, ogni agente, risolvendo un problema di ottimizzazione, formula la propria migliore offerta

42. Kutanoglu-Wu (III) • Il banditore raccoglie dunque tutte le offerte, le elabora e annuncia i nuovi prezzi delle risorse • Lo scopo del banditore è di convergere verso uno schedule ammissibile, per cui i prezzi delle risorse più contese vengono aumentati in misura del livello di conflitto:

43. Kutanoglu-Wu (III) • Ad esempio, l’aggiornamento dei prezzi può realizzarsi attraverso un semplice meccanismo di proporzionalità, ossia lktr+1 = lktr+ s Dkt

44. Kutanoglu-Wu (IV) • Il procedimento va avanti fino a raggiungere un criterio di arresto • Lo schedule risultante può non essere ammissibile • Obiettivo globale non monotono • Il comportamento può variare molto a seconda del pricing scheme e del protocollo usato (regola usata per aggiornare i prezzi)

45. 4. BARGAINING

46. Bargaining problems • Due giocatori, A e B, devono scegliere uno di un insieme X di possibili agreements • I giocatori possono comunicare, ma non possono trasferirsi utilità • Questi giochi modellano le situazioni di negoziazione

47. Bargaining problems (II) • La soluzione di un bargaining problem è un agreement che soddisfa certe proprietà (assiomatiche) che ne fanno un particolare candidato a essere il risultato del processo di negoziazione

48. Bargaining problems (III) • A e B sono “razionali”, i.e., hanno funzioni di utilità (o anche value functions) uA(x), uB(x) definite su X che soddisfano gli assiomi di von Neumann-Morgenstern • D è il disagreement point (dominato da tutti gli altri punti di X)

49. Bargaining problems (IV) • La teoria della negoziazione studia in che modo il risultato finale della negoziazione dipende dai parametri del problema e/o dal comportamento dei giocatori • In particolare, la soluzione di Nash tiene conto dell’utilità dei giocatori e dunque del loro atteggiamento rispetto al rischio

50. Soluzione di Nash • La soluzione di Nash può caratterizzarsi in termini delle preferenze dei giocatori sull’insieme delle lotterie aventi come premi gli elementi di X • La soluzione di Nash x* è un’alternativa rispetto alla quale nessuno dei due giocatori ha abbastanza incentivi a deviare