1 / 115

Dominók és kombinatorika

Dominók és kombinatorika. Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet. A szereplők. Dominó. A szereplők. Dominó Tábla. A szereplők. Dominó Tábla Mezők, szomszédság (4-szomszédság). A szereplők. Dominó Tábla Fedés. Lefedhető-e?. ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla.

umay
Download Presentation

Dominók és kombinatorika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet

  2. A szereplők • Dominó

  3. A szereplők • Dominó • Tábla

  4. A szereplők • Dominó • Tábla • Mezők, szomszédság (4-szomszédság)

  5. A szereplők • Dominó • Tábla • Fedés

  6. Lefedhető-e? • ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla. Lefedhető-e?

  7. Lefedhető-e? • 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

  8. Lefedhető-e? • 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? • NEM • Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.

  9. Lefedhető-e? • 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

  10. Lefedhető-e? • 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? • NEM • A két fekete mezőnek egy szomszédja van.

  11. Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

  12. Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

  13. Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? • NEM • Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.

  14. Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? • NEM • 32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.

  15. Lefedhető-e? • Tétel:Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.

  16. Lefedhető-e? • Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal? • Válasz: NEM • Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk. • Tétel:A fenti séma egy teljes séma.

  17. Lefedhető-e? • Adott egy T tábla. Lefedhető-e? IGEN Hány fedés van? NEM Maximum hány dominó rakható le?

  18. Lerakható dominók maximális száma • 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

  19. Lerakható dominók maximális száma • 16 dominó könnyen larakható:

  20. Lerakható dominók maximális száma • 16 fekete, 24 fehér mező. Minden dominó 1 fekete mezőt fed le. • Maximum 16 dominó rakható le.

  21. Lerakható dominók maximális száma • 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

  22. Lerakható dominók maximális száma • 7 dominó könnyen lerakható:

  23. Lerakható dominók maximális száma • 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.

  24. Lerakható dominók maximális száma • 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.

  25. Lerakható dominók maximális száma • 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.

  26. Lerakható dominók maximális száma • Összesen 12 fekete és 11 fehér mező: • Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.

  27. Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k

  28. Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.

  29. Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen.

  30. Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz: k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen. • Tétel:Ez egy teljes séma.

  31. Hányféleképpen fedhető le? • 4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? • Válasz=V(tábla oszlopainak száma) • V(16)=?

  32. Hányféleképpen fedhető le? • Első fajta indulás: • V(n-1)-féle befejezés.

  33. Hányféleképpen fedhető le? • Első fajta indulás: • V(n-1)-féle befejezés. • Második fajta indulás: • V(n-2)-féle befejezés.

  34. Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).

  35. Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). • Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.

  36. Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). • Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2. • Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.

  37. Hányféleképpen fedhető le? • 5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? • Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) • V’(16)=? • V’(2k+1)=0, V’(2k)=?

  38. Hányféleképpen fedhető le? • Lehetséges kezdések: …

  39. Hányféleképpen fedhető le? • V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... • V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+… • V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) • V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4) • Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11

  40. Hányféleképpen fedhető le? • 6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.

  41. Hányféleképpen fedhető le?

  42. Hányféleképpen fedhető le?

  43. Hányféleképpen fedhető le? • Egy tábla típus:

  44. Hányféleképpen fedhető le? • Azték gyémánt, AGy(n): n

  45. Hányféleképpen fedhető le? • Azték gyémánt, AGy(n): • Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n

  46. Hányféleképpen fedhető le? AGy(2) fedései:

  47. Hányféleképpen fedhető le? Tétel: n AGy(n) fedéseinek száma 2 .

  48. Hányféleképpen fedhető le? • Egy tábla típus: • N(2n)

  49. Hányféleképpen fedhető le? Tétel: N(2n)-nek fedése van.

  50. A fedések összessége • 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:

More Related