Ketjusääntö

1. Ketjusääntö z = g (y) y = f (x) x z x+x y y+y z+z z+z= g (y+y) y+y= f (x+x) Ketjusääntö

2. Esimerkki: Lasketaan derivaatta y’, kun y = (x + ex)5. • Tässä voidaan käyttää yhdistetyn funktion derivointikaavaa • tai toimia seuraavasti: • jaetaan lauseke kahteen osaanw = w(x) = x+ex y = y(w) = w5 • sovelletaan ketjusääntöä

3. 4.3. Interpolointi Lineaarinen interpolointi y2 y y1 ^ y x1 x x2

4. Jos edellä x (x1, x2), niin kaavat ovat edelleen käytettävissä, menettelyä sanotaan ekstrapoloinniksi. Ekstrapolointi saattaa olla epäluotettava menettely. EKSTRAPOLOINTI INTERPOLOINTI x1 x x2 x1 x2 x

5. p 12.35 p 11.05 q 85 75 105 Esimerkki: Olkoon kysyntäfunktio melkein lineaarinen. Kokemuksesta tiedetään, että jos valmistusmäärä on 75, niin hinta on 12,35€ ja jos valmistusmäärä on 105, niin hinta on 11,05€. Arvioi lineaarisen interpoloinnin avulla hintaa, jos valmistusmäärä on 85.

6. p 12.35 p 11.05 q q 75 105 Yleisemmin: Kohdassa q hinta p on likimain

7. y = f (x) y dy y x+x x x DIFFERENTIAALI Tunnetaan funktion f arvo kohdassa x ja funktion f derivaatan arvo kohdassa x. Arvioidaan funktion f arvoa kohdassa x + x. Kun xon pieni, niin y  dy Siis

8. Esimerkki 1: Arvioidaan lausekkeen arvoa. Olkoon x = 81, x = 1 ja f (x) = x1/2. Nyt f ’(x) = 0,5x-1/2. (Oikea arvo: ~ 9,05539) Esimerkki 2: Sama interpoloimalla. Olkoon x1 = 81, y1 = 9, x2 = 82.81, y2 = 9.1. Nyt

9. KONVEKSI KONKAAVI KONVEKSI ja KONKAAVI Sanomme, että funktio f on välillä (a,b)konveksi, jos sen kuvaajan kahta pistettä (x1,y1) ja (x2,y2) yhdistävä avoin jana on kuvaajan yläpuolella x1, x2  (a,b). Vastaavasti sanomme, että funktio f on välillä (a,b)konkaavi, jos sen kuvaajan kahta pistettä yhdistävä avoin jana on aina kuvaajan alapuolella.

10. Lause: Olkoon x (a,b) ja y = f (x). Olkoon y# lineaarisella interpoloinnilla saatu arvio y:lle ja olkoon y* differentiaalin avulla saatu arvio y:lle. Silloin (1) Jos f on konveksi välillä (a,b), niin y*  y  y#. (2) Jos f on konkaavi välillä (a,b), niin y#  y  y*.

11. a  b 4.4. VÄLIARVOLAUSE Lause: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Tällöin välillä (a, b) on olemassa ainakin yksi kohta  siten, että siinä kohdassa käyrää y = f (x) sivuava tangentti on pisteitä (a, f (a)) ja (b, f (b)) yhdistävän suoran suuntainen eli

12. a  b Seuraus: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) > 0 kaikilla a < x < b, niin f (b) > f (a). Miksi: Välillä (a, b) on olemassa ainakin yksi kohta  siten, että

13. Seuraus 2: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) > 0 kaikilla a < x < b, niin f on kasvava. Seuraus 3: Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Jos f ’(x) on kasvava funktio välillä [a, b] ja f ’(x0) = 0, a < x0 < b, niin funktiolla f on kohdassa x = x0 lokaali minimi. y = f ’(x) y = f (x)

14. 4.5. Korkeammat derivaatat Derivaatan derivaatta on toisen kertaluvun derivaatta Vastaavasti määritellään n:n kertaluvun derivaatta

15. Jos f on jatkuva ja kahdesti jatkuvasti derivoituva • välillä (a, b), niin • f ’’(x) > 0 välillä (a, b) f ’(x) on kasvava välillä (a, b) f (x) on konveksi välillä (a, b) derivaatan nollakohdassa minimi • f ’’(x) < 0 välillä (a, b) f ’(x) on vähenevä välillä (a, b) f (x) on konkaavi välillä (a, b) derivaatan nollakohdassa maksimi

16. 4.6. Paikallinen ääriarvo Perustapaukset kuvina (LOKAALI MAKSIMI): Sileä maksimi. Derivaatan nollakohta. Kärki. Derivaatan epäjatkuvuuskohta. Epäjatkuvuuskohta. Funktion epäjatkuvuuskohta. Reunakohta.

17. Lisää perustapauksia kuvina (EI LOKAALIA MAKSIMIA): Sileä funktio. f ’(x0) = 0, mutta silti f on kasvava. Sileä funktio. f ’(x0)  0 Epäjatkuvuuskohta. Ei ole lokaali maksimikohta. Kärki, mutta silti f on vähenevä.

18. Olkoon f jatkuva ja derivoituva välillä (a, b) ja a < x0 < b, jos f ’(x) + | - , niin x0 on lokaali maksimikohta jos f ’(x) - | + , niin x0 on lokaali minimikohta x0 x0 (Ylläoleva pätee myös, kun kohdassa x0 on kärki.)

19. Olkoon f jatkuva välillä [x0, b) ja derivoituva välillä (x0, b), niin jos f ’(x) | - , niin x0 on lokaali maksimikohta jos f ’(x) | + , niin x0 on lokaali minimikohta x0 x0

20. Jos f on jatkuva ja kahdesti jatkuvasti derivoituva välillä(a, b), jaa < x0 < b, niin jos f ’(x0) = 0 ja f ’’(x0) < 0, niin x0 on maksimikohta jos f ’(x0) = 0 ja f ’’(x0) > 0, niin x0 on minimikohta

21. Olkoon z = f (x,y). Kun y:tä pidetään vakiona ja derivoidaan x:n suhteen, sanotaan tulosta z:n osittaisderivaataksix:n suhteen. Merkitään osittaisderivaattaa Idea pähkinänkuoressa: Osittaisderivaatta

22. 5. Sovelluksia talousmatematiikkaan 5.1 Rajasuureet eli marginaaliset suureet • Tarkastellaan yritystä, joka valmistaa kuukaudessa q tuotetta ja myy ne hintaan p (e/tuote). • Tuotannosta aiheutuu kustannus C(q). • Myyntitulo on R(q) = pq.

23. Ok Ok Ok Ok Stop

24. Kun muutokset ovat pieniä, voimme arvioida melko luotettavasti, että  * RajatuottoMR = kokonaistuoton lisäys, kun tuotannon määrää lisätään yhdellä * RajakustannusMC = kokonaiskustannuksen lisäys, kun tuotannon määrää lisätään yhdellä

25. Suhteellisten muutosten suhde eli jousto (elasticity) on nyt Jos y = f (x), niin y:n jousto x:n suhteen on 5.2 Joustot Tarkastellaan tilannetta, jossa x kasvaa arvosta 150 arvoon 156 (x = 6, (eli 4%)) ja se aiheuttaa y:n arvossa muutoksen arvosta 50 arvoon 54 (y = 4, (eli 8%)).

26. Esim. Miten paljon muuttuu tuotteen kysyntä, jos sen hintaa nostetaan 10.25 eurosta 11.50 euroon. Alussa kysyntä on 340 tuotetta viikossa ja kysynnän hintajousto on -1.75. p = 10.25 p = 1.25 q = 340 q = x ?  =-1.75

27. Esimerkki: Naudanlihan kysyntä Qn riippuu tulotasosta Y, naudanlihan hinnasta pn ja sianlihan hinnasta ps seuraavasti Olkoon tällä hetkellä tulotaso Y = 10 000 jahinnat pn= 200 ja ps = 100, jolloin Qn = 5000. a) Naudanlihan kysynnän tulojousto: Kun siis tulotaso nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä kasvaa 0.2%:lla.

28. b) Naudanlihan kysynnän hintajousto: Kun siis naudanlihan hinta nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä laskee 0.2%:lla. c) Naudanlihan kysynnän ristijousto: Kun siis sianlihan hinta nousee 1%:lla, niin naudanlihan kysyntä kasvaa 0.03%:lla.

29. Hinta p ja kysynnän hintajousto  = (dq/q)/(dp/p) määräävät rajatuoton seuraavasti: Kysynnän hintajousto on negatiivinen ( < 0), joten rajatuotto on pienempi kuin yksikköhinta MR < p