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数据建模. 拟合与回归. 罗 汉. ( 湖南大学 数学与计量经济学院 ). 线性最小二乘法. 一 . 拟合. 设有变量 x , y ,根据它们的一组数据 ( x i , y i ) ,i =1,2, … , n ,视为平面上的 n 个点,寻求一个函数 y = f ( x ) ,使 y = f ( x ) 在某种准则下与所有的数据点 ( x i , y i ) 总体上最接近。. 设变量 x , y , 数据 ( x i , y i ) , i =1, 2, … , n ,.

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数据建模

拟合与回归

罗 汉

( 湖南大学 数学与计量经济学院)

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线性最小二乘法

一.拟合.

设有变量x, y,根据它们的一组数据(xi, yi) ,i=1,2, …,n,视为平面上的 n 个点,寻求一个函数 y=f (x),使 y= f (x)在某种准则下与所有的数据点(xi, yi)总体上最接近。

设变量x, y,数据(xi, yi) , i =1, 2, …, n,

考虑 y= a +bx,a, b为待定系数

Q(a, b)=

min

slide3

其中

Q(a, b)=

min

解得

y = a +bx

故得到

slide4

Q(b1,b2 ,…,bm)=

一般地,选定一组函数rk(x), k = 1,2, …,m,令

f (x)=b1r1(x)+ b2r2(x) +… + bmrm(x)

其中bk是待定系数, k = 1,2, …,m

min

当 {r1(x), r2(x) ,…, rm(x)} 线性无关时,R列满秩,故RTR可逆,

slide5

二、回归.

称为y对x的回归函数

其中e为随机误差

经验回归方程

回归分析

(1)建立回归模型(经验方程)

(2)对回归模型可信度进行检验

(3)判断自变量 x 对 y 的影响是否显著

(4)诊断回归模型是否适合这组数据

(5)利用模型进行预报和控制

slide6

三、一元线性回归模型.

y =a + bx + e

得yi=a + bxi+ ei

对n 组数据 ( xi , yi) i =1,2, …, n

(2) Var( ei) = 2;

假设

(1) E( ei ) = 0;

(3) Cov( ei,ej ) = 0,i  j;

(4) Cov( ei,Xi ) = 0;

(5) e ~ N (0,2).

OLS估计:min Q(a, b)=

故得

slide7

且有

回归模型的统计检验:

(1) 回归系数的显著性检验 ( t 检验 )

H0: b = 0.

检验统计量

拒绝域

slide8

(2) 回归方程的显著性检验 ( F 检验 )

H0: b = 0.

检验统计量

拒绝域

(3) 拟合优度检验

样本决定系数

slide9

例1.我国的人均消费和国民收入.

我国1981年到1993年我国的人均消费金额和人均国民收入的统计资料如下(单位:人民币元;资料来源:《中国统计年鉴1993》)

slide10

例3.温度对红铃虫产卵的影响.

一只红铃虫的产卵数y (枚)与温度 x (ºC)有关,一组抽样的统计数据如下:

slide11

三、多元线性回归模型.

y =b0+ b1x1 + b2x2 + … + bkxk+e

对 n 组数据 (xi1, xi2, …, xik , yi) i =1,2, …, n

Y = Xb + e

假设

(1) E(e) = 0;

(2) E(eeT ) = 2I;

OLS估计: min Q(b)=|| Y –Xb ||2

(3) E(XTe) = 0;

(4) rank(X) = k+1;

(5) e ~ N (0,2I ).