第二章 拓 扑 空 间

1. §2.1 拓 扑 空 间 • §2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 • §2.3 度 量 拓 扑 • §2.4 闭集,闭包 • §2.5 导集,内 部, 边 界 • §2.6 拓扑空间中的序列 第二章 拓 扑 空 间 • §2.7序 拓 扑

2. §2.1 拓 扑 空 间 • 重点：拓扑空间定义的理解 • 难点：拓扑空间定义的理解

3. ( 表示X的幂 定义2.1.1设X是一个集合, 集), 即是X的一个子集族.如果满足如下条件: (1) ; (2) 如果 ，则 ； (3) 若 ,则 . 则称 是X的一个拓扑.

4. 设 中的每一个元素是拓 是X的一个拓扑，由于 扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理 解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件： (1) , 是开集 (2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集. 是X的拓扑的条件可以叙述为: (2) X的任意开集族的并是开集. (1) X的任意有限开集族的交是开集.

5. 例2.1.1平庸空间 设 ，易验证 是一个集合，令 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑，并且我们 称拓扑空间(X, )为一个平庸空间.显然在平庸空 间中只有两个开集，即X自身和空集 . 例2.1.2离散空间 设X是一个集合,令 ,显然, 是X的一 (X, ) 个拓扑, 称之为X的离散拓扑,并且称拓扑空间 子集都 为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个 是开集.

6. 例2.1.3设X是一个三元素集合, 我 们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些 拓扑.

7. 当然，通过对以上拓扑中a,b,c的不 同排列，我们在X上还可建立其它拓 扑结构.但是,并不是X的每个子集族 都是X的拓扑.

8. 例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑. A1={{a},{b},X, } A2={{a,b},{b,c},X, } A A 不满足定义2.1.1条件(3), 不满足定义2.1.1条件(2) 例2.1.4 有限补拓扑 设X是一个集合，首先注意，当我们考虑的问题 中的全集自明时，在求补集运算时我们并不每次 提起，因此在本例中，A的补集A＇即为X－A.令

9. 即 是X的一个拓扑. 先验证 ,此外，由于 (1) 根据定义 因此 . 若 或者 (2) 设 ， ，则 ； 假定 ，由De Morgan 定律 以及 为有限集可知 是有限集，因此 . (3) 设 ,如果 ,则 .

10. 如果 ,当 时, ; 当 时, ,取 ,这时 由于 且 . ， 因此 从而 是有限集，因 是有限集， 此 . 根据上述(1),(2),(3), 是X的一个拓扑,称之为X的有 限补拓扑,拓扑空间(X, )称为一个有限补空间. 读者不难验证,有限集X的有限补拓扑是X的离散拓扑, 即若X是一个有限集,那么

11. 例2.1.5可数补拓扑. X|X-U是X的一个可数 设X是一个集合，令 ={U } { 子集} 通过与例2.1.4中完全类似的作法易验 证 是X的一个拓扑(留作习题),称之为X的可数补拓 扑,拓扑空间(X, )称为一个可数补空间. 读者自行验证，若X是一个可数集，则 即可数集合X的可数补拓扑是X的离散拓扑.

12. 定义2.1.2设 是集合X上的两个拓扑 ,如果 ,我们称 比 细, 或称 比 粗,如果 我们称 比 严格细,或称 比 严格地粗.如果 或 我们称拓扑 与 是可比较的. 否则，就称为不可比较的. }是X 显然，对于集合X来讲，粘合扑拓={X, 上最粗的拓扑，离散拓扑=P (X)是X上最细的拓扑. 当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如 ，那么 与就是X的两个不可比较的拓扑.

13. 习 题 §2.1 1. 验证例2.1.5中集族 是X上的拓扑. 2. 对每一个正整数 ，令 ，证明 是正整数集Z+的一个拓扑. 3. 设(X, )是一个拓扑空间, 是任何一个不属于X的元素, 令 是一个拓扑空 ,证明 也是X的 4. (1)设和 是集合X上的两个拓扑,证明 拓扑. (2) 举例说明 可以不是X上的拓扑，其中 ， 是 X上的两个给定拓扑. (3) 设 ， 间.

14. 找出包含 和 的最粗的拓扑和包含 于 和 的最细的拓扑. 5. 设{ 是集合X上的一族拓扑,证明在X上存在一 个最细的拓扑空间包含于每个 之中,在X上存在一个最粗的 拓扑包含着每个 . (提示:设{ 是X上一族拓扑,则 是X上的一个拓扑).

15. §2.2 拓扑基与邻域系,邻域基 重点：邻域的定义，性质，邻域基的定义 难点：由邻域系决定拓扑方法的证明

16. X，如果 定义2.2.1设(X,)是一个拓扑空间,x 存在一个开集V Î U是X的一个子集且满足条件: 使 得x 点x的所有邻域 构成的X的子集族称为点x的邻域系. 易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么一 V U,则称U是点x的一个邻域. 定是x的一个邻域，此时我们称U是点x的一个开邻域.

17. 定理2.2.1 拓扑空间(X, )的一个子集U是开集的 充分必要条件是U是它的每一点在(X, )中的邻域.即 只要x U,U便是x的一个邻域. 证明:必要性.若U是开集，则对每点x X,U即 是x的一个开邻域. 充分性.若U= ，显然U是开集，若U 则对x 由于U是邻域，由定义2.2.1，必存在开集 Ux使得x U， U.因此， Ux 由定义2.1.1(3)知U是一个开集. 故

18. 定理2.2.2设X是一个拓扑空间,记为点x X的 邻域系,则: (1) 对于任何x X, ,并且如果U ，则 x U; (2) 如果U,V ,则 (3) 如果U ,并且 ,则 (4) 如果 ,则存在 满足条件 对于 ,有 由于X是一个开集,因此X是 证明 : (1) 对于任何

19. 此外根据 x的一个开邻域,因此 ,因此 定理2.2.1一个点的邻域必包含这个点本身. (2) 设 ,由定义2.2.1则存在开集U0，V0 使得 由 ,因此 于 是一个开集,因此 且 则存在开集 使得 (3) 设 从而有 ,因此 (4) 设 由定义2.1.1则存在开集 使得 因此V是x的开邻域.因此 由于

20. V是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域,V是开集，因此由定理2.2.1可知V是它每一点的邻域, 即对每个 指定 定理2.2.3设X是一个集合, 又设对于每一点x 了X的子集族U x,并且它们满足定理2.2.2中的条件(1) 唯一 -(4),令 X|如果x U,则U 的一个拓扑使得对于每一点 子集族 是点x在 则是 拓扑空间(x, )中的邻域系. 证明: 即

21. 下面验证 是X的一个拓扑. (i)显然 ;对于任意 ,由条件(1), 取 显然有 是点 由条件(3)可知 的邻域,因此 . (ii)设 ,如果 因此 因此 必有 , 由条件(2)可知 ,由 的任 意性可知 . 对任意 ，使得 (iii)设 ,则存在 由于 且 由条件(3)有 ， .

22. .因此， . 因此我们证明了 是 X的一个拓扑. 以 对每一点x 记点x在拓扑空间(X, ) 中的邻域系.下面证明 (i)设 使得 由条件(4)可知存在 且对任意 有 因此 从 而 且 由定义2.2.1可知 因此

23. (ii)设 由定义2.2.1可知存在 使得 显然根据 的定义 由条件 (3)可知 因此 从而我们证明了 即子集族 恰是点x在(X, )中的邻域系. 下面证明拓扑 的唯一性,为此我们假定 是X的又一个拓扑使得对于 是点x在拓 扑空间(X, )的邻域系,然后证明 (i)设 即 是拓扑空间(X, )中的开 又假定 集, 是x点在(X, )中的邻域 系,因此由

24. 由定理2.2.1可知对于任意 再由的定 义有 因此 . (ii)设 即U是（X， ）中的开集，又已证明 是x点在（X， ）中的邻域系，因此对于任意 必有 然而又假定 是x点在（X, ）中的邻 域系，由定理2.2.1的充分性可知 因此 综合(i)(ii)知

25. 定义2.2.2 设(X, )是一个拓扑空间,对每个 且满足条件： 是x点在(X, )中的邻域系,如果 存在 使得 则称 对每个 为点 显然, 即所有包含点x的开集 x在(X, )中的一个邻域基. , 构成的集族,是x点在(X, )中的一个邻域基.

26. §2.2 邻域系,邻域基与拓扑基 重点：由拓扑基决定拓扑的方法 难点：由拓扑基决定拓扑的方法证明 与应用

27. 定义2.2.3设(X, )是一个拓扑空间, 如果 ，存在 ， B 使得 满足条件:对于每个 则称 是拓扑 的一个基，也称 是拓扑空间X的一 个基. x X} 例2.2.1在离散拓扑空间X中, =P(X)，显然B={{x}| 就是X的一个拓扑基.

28. 定理2.2.4设(X, )是一个拓扑空间, 是 的一个拓 扑基，则 满足下列条件: (1) 对每个x X,存在U B使得x (2)如果B1,B2 B, x 那么存在B3 B使得x B1 B2. B3 证明(1) 由于X ,因此存在U B,使得X= 因此对每个x X， 即x 存在U U,使得x U，由 于U B, U 因此U B. ,

29. (ii)若B1,B2 B,由于B ,因此 ,因此存在 B,使得 ,因此若 则存在B3 U U使得x B3 定理2.2.5设X是一个集合,B (X), 且 满足定理 B, 使 2.2.6中的条件(1)——(2),则 ={U X |存在U 得U= 是X的唯一拓扑使得 是 的一个拓扑基.此 时我们称 是由基 生成的拓扑. 证明:先验证 是X的一个拓扑.

30. (i)由于 ,因此 ;又对 B且 且 件(1):存在 使得 X,显然X= ，因此 {Ux | x X} 存在 (ii)设U1，U2 ，则存在U1 B，使得U1= B,使得U2= U2，因此 设x U1 U2,则存在A U1,B U2使得 U2,又由于A，B B 由条件(2)可知存在Bx B 使得x Bx 显然U1 U2= ，且 由条

31. {Bx |x U1 U2} B,因此 . 的关系如图2.2.1 图2.2.1 则对A (iii)设A A ， 存在UA B使得A= 因此 A= ， 由于{B|B UA,A A} B,因此 A

32. 由 的定义即可知 是 的一个拓扑基.再设 是以 为拓扑基的另一个拓扑,读者不难证明 . 下面,我们在实直线上给出几种拓扑. 例2.2.2 设 是由实直线R上的全部开区间构成，即 ={(a,b)| a<b}={{x|a<x<b}|a<b},容易验证 满足定 理2.2.7中条件(1)—(2),从而 是R上的一个拓扑基. 由这个基生成的拓扑称为实数集合上的通常拓扑， 带有通常拓扑的空间称为实数空间。

33. ={[a,b 例2.2.3 设 R|a<b}={{a x<b} R|a<b}, 容易验证 满足定理2.2.7中条件(1)—(2), 因而 是R上的一个拓扑基,由 生成的拓扑叫做 实数集R上的下限拓扑,带有下限拓扑的拓扑空间R 记作R l. 是由 例2.2.4 在实直线上令K= 令 开区间(a，b)以及形如(a，b)-K的子集构成的集族, 容易检验 满足定理2.2.7中条件(1)—(2)，因而

34. 它也是R上的一个拓扑基,由它生成的拓扑叫做R上的它也是R上的一个拓扑基,由它生成的拓扑叫做R上的 K－拓扑，带有K－拓扑的拓扑空间R记作RK. 定义2.2.4设(X, )是一个拓扑空间, 是 的一个子族, 即S 如果S的全部非空有限之交构成的集族是 S, 的一个基,即 是拓扑 的一个基,则称集族 是拓扑 的一个子基, 或称集族 是拓扑空间X的一个子基.

35. 例2.2.5 S = 是 实数空间R的一个子基,这是因为 是实数空间R的 一个开集族,并且 的每一个有限非空子族之交的 全体构成的集族恰好就是所有有限开区间构成的族 并上S 再并上{ },显然它是实数空间R的一个基, 这个基在例2.2.2中我们已做了说明. 下面这个定理给出了X的一个子集扩张成为X的一个 拓扑的方法.

36. P(X),即S是X的一 定理2.2.13 设X是一个集合,S 个子集族,如果 满足条件 ,则X有唯一的拓扑 以S为子基,并且若令 S, ,即B是 的一个基. 则 证明:先验证 是一个基,只需验证 满足定理 2.2.6中条件(1)— (2).

37. (1) 对每个x∈X,由于X= 因此存在A∈ 使得x∈A,又显然 B ,因此存在A∈B使得x∈A. (2) 设B1，B2∈B,则存在{S1,…,Sn} S , S , 使得 而且 令 ，显然B3∈B, 因此 是X上的一个拓扑基,因而 是这个拓扑的一个 子基.X的 为子基的拓扑的唯一性由定理2.2.7以及 是一个 生成的拓扑基即可证.

38. 1. 设 ， 的邻域系 ① 试分别写出点 . ② 分别写出一个邻域基 ，并且使得该邻域基 包含元素最少. 2. 设X是一个集合，则X的子集族B和 是X的同 一个拓扑的两个基的充分必要条件是 和 满足条件： ~ 使得 (1) 如果 ,则存在 . Î Í x B B B使得 (2) 如果 ,则存在 . 习 题 §2.2

39. 3. 证明实数集合R有一个拓扑 以集族 为它的一个基,并且(1) 将 明确地表示出来. (2) 设 {( )中的闭包. (实数集合R的这个拓扑 通常称为右手拓扑) ,求A在拓扑空间 4. 证明例2.2.9中定义的集族B＇= 是R上的一个拓扑基,(将这个基生成的拓扑空间称为下 限拓扑空间,记作Rl)

40. 5. 证明例2.2.10中定义的集族B＇ 是实数集合R上的一 个拓扑基, (由这个基生成的拓扑空 间称为R上的K-拓扑 拓扑空间,记作RK) ， 6. 在实数集R上定义集族 = 证明 是R上的一个拓扑基,由 生成的拓扑空间就是 R上的标准拓扑.

41. ，证明集族 7. 设B是拓扑空间X的一个基， 是 点的一个邻域基.

42. §2.3 度 量 拓 扑 重点：度量空间的定义 难点：由度量诱导的拓扑的理解

43. 定义2.3.1 设X是一个集合, 是从X的 二重笛卡尔积到R的映射,如果d满足下列性质(1)— (3),那么称d是集合X上的一个度量. (1) 对于任意(x,y)∈ ,d(x,y) ,而且d(x,y)=0当且 当且仅当(x,y) (2) 对于任意(x,y)∈ , d(x,y)= d(y, x) (3) (三角不等式) 对于任意x,y,z∈X, d(x,z) d(x,y)+ d(y, z).

44. 定义2.3.2设 是X上的一个度量,对 称d(x,y)为X中两点x,y之间的距离,对实数 称 即到x点的距离小 于 的全部点的集合,是X中以x为中心的 一球.在 不引起歧义的情况下, 一球可简记为 而省去 表示距离的下标.

45. 定理2.3.1设 是X上的一个度量.令 即 是由X上的全体 球构成的集族,则 是X的一个拓扑基,且对 是x在这个拓扑空间中的一个邻 域基. 证明:对 令 我们只需证明 满足定理2.2.4中条件(1)—(2),

46. 由于d(x,x)=0,(定义2.3.1),因此对 (1) 对于每个 任意实数 必有 (2) 对任意 任意 取 显然有

47. 定义2.3.3设 是X上的一个度量,则我们称 由定理2.3.1中的集族 生成的 拓扑叫X上由度量d诱导的拓扑.记作 定义为 例2.3.1设X是一个集合, 容易验证(由读者自己完成)d是X上的一个度量,即d满 足定义2.3.1中条件(1)—(3).由于对每个 因此每一个单点集是开集,因此由

48. d诱导的拓扑 是X上的离散拓扑. 例2.3.2设R 是实数集合, 定义为对 (即x与y差的绝对值)由 绝对值的性质有: (1) 对 且 的充要条件是 (2) 对 (3) 对

49. 由于 因此 因此d是R上的距离,这就是数学 分析中定义的实数轴上两点间的距离. 在R 上由d诱导的拓扑 的一个拓扑基为: 显然,由于 而 因此R上由d诱导的拓扑和例

50. 2.2.2中的实数集合的通常拓扑是一致的. 我们称 为R上的通常度量. 例2.3.3数学分析中我们曾在平面上给出了两点间距离: 离: 对 事实上,这个距离就是 的一个度量,这个度量叫 的通常度量(图2.3.3), 因此这个度量d在 给出了一个由它诱导的拓扑 我们称这个拓扑是 上的通常拓扑.