Referentin: Nanja Lockemann Betreuer: Prof. Dr. Plümer

1. s t GIS Seminar SS 2002 Routenplanung und Navigation Referentin: Nanja Lockemann Betreuer: Prof. Dr. Plümer 27.06.2002

2. Überblick • Routenplanung in GIS – Weiterentwicklungen des • Algorithmus von Dijkstra (Nanja Lockemann) • Verkehrsnetze in GIS: Das GDF-Modell (Silvia Becker) • Räumliche Orientierung in der menschlichen • Wahrnehmung (Stephan Seiler) Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

3. Gliederung 1. Motivation 2. Der Dijkstra Algorithmus 2.1 Die Person E. W. Dijkstra 2.2 Der Algorithmus nach Dijkstra 2.3 Voraussetzungen und Eigenschaften 2.3 Beispiel 3. Erweiterungen des Algorithmus nach Dijkstra 3.1 beidseitiger Dijkstra Algorithmus 3.2 HISPA Heuristik (Hierarchical shortest path) 3.3 A* - Algorithmus Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

4. Motivation Wie komme ich am schnellsten von a nach b ? oder anders: Wie finde ich den kürzesten Weg zwischen zwei Knoten eines gewichteten Graphen ? Problem tritt in vielen praktischen Anwendungen auf: (Transportproblemen, Projektmanagement, DNA Sequenzzierung, Routenplanung) Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

5. Die Person E. W. Dijkstra • 1951 Examen in Mathematik und Physik • 1956 Doktor in theoretischer Physik • 1959 Einführung des Dijkstra Algorithmus • 1962 Professor der Mathematik an der TH in Eindhoven • Tätigkeiten u.a. an der Universität in Leyden und in Amsterdam Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

6. Der Algorithmus nach Dijkstra • Problemstellung in der Sprache der Graphentheorie: • Finde für einen Startknoten „s“ und einen Endknoten „t“ eines gewichteten Graphen „G“ mit der Knotenmenge „V“, der Kantenmenge „E“ und der Kostenfunktion „e“ (definiert auf Kanten), einen Pfad zwischen „s“ und „t“ mit minimalen Kosten. • kürzeste Pfade in einem Graphen lassen sich mittels Dijkstra Algorithmen ermitteln Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

7. Voraussetzungen und Eigenschaften • Der Algorithmus von Dijkstra ist nicht für Graphen mit negativen Kanten geeignet. Er ist daher z. B. für Straßengraphen einsetzbar. • worst case Laufzeit: O ( E + V log V ) mit V = Knotenmenge, E = Kantenmenge Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

8. Beispiel 10 6 7 6 7 12 3 1 s 15 4 5 2 5 8 11 24 13 Ziel Start Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

9. Probleme bei der Routenplanung • die kürzeste Strecke ist nicht unbedingt die schnellste Strecke, • dies bedeutet, dass mehrere Attribute pro Kante eingefügt werden • müssen, nicht nur beispielsweise die Entfernung [km], sondern • zusätzlich auch die Zeit [min]. • Hierarchie / Gis Datenbanken • bei Routenplanung liegen komplexe Graphen vor (viele Knoten • und Kanten) • hohe Laufzeiten Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

10. Probleme bei der Routenplanung • Dijkstra nutzt die geometr. • Informationen der Kanten • und Knoten nicht aus, es • werden also, wenn man • den kürzesten Weg von F • nach HH bestimmt, alle • Knoten innerhalb des • Kreises bearbeitet • es wird auch nicht die • Richtung beachtet, von wo • nach wo ich fahre Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

11. Probleme bei der Routenplanung • Erweiterungen des Algorithmus • beidseitiger Dijkstra • heuristische Verfahren (HISPA Heuristic) • A* Algorithmus Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

12. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus Beidseitiger Dijkstra Algorithmus • verwendet geometrische Informationen, das bedeutet, dass der Weg nach Süden nur noch halb so weit mitbestimmt wird • worst case: keine Verbesserung • Bei der Knotenwahl wird der Knoten ausgewählt, bei dem die Summe von dem bestem bisher gefundenen Weg und dem Euklidischem Abstand des Knotens zum Zielknoten minimal ist Problem: - der tatsächliche Verlauf von Wegen bleibt unberücksichtigt - die Topographie wird auch nicht beachtet Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

13. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus 10 6 4 7 3 1 s1 s2 2 5 8 11 Start Start Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

14. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus HISPA Heuristik (Hierarchical shortest path) • sucht kürzeste Wege von zwei Endknoten (z.B. Stadt) zu Knoten der obersten Hierarchieebene (z.B. Autobahnkreuz) in einem Umkreis mit geg. Radius r • findet keine optimalen, sondern näherungsweise Lösungen • Praxisbeispiel und kurze Darstellung der theoretischen Grundlagen Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

15. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

16. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

17. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus 10 6 1 7 3 4 s t 2 5 11 8 Ziel Start Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

18. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus A*-Algorithmus • 1986 von R. Sedgewick und J. Vitter für euklidische Netzwerke vorgeschlagen • Euklidische Netzwerke machen es möglich, die durchschnittliche Leistung des Dijkstra Algorithmus zu verbessern • lässt sich auch für Straßengraphen verwenden • die Idee bei der Suche nach dem kürzesten Weg vom Startknoten zum Zielknoten ist es, über die Richtung des Knotens t zu leiten Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

19. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus • dies geschieht so, indem der nächste Scheitel x, den der Algorithmus festgestellt hat aus der Länge des kürzesten Weges von s zu x und dem euklidischen Abstand zwischen s und t geschätzt wird • diese Entfernungsschätzung von Startknoten zu Zielknoten („future costs“) wird somit aus geometrischen Informationen gewonnen • der Suchbereich wird somit also schmäler • Berechnung der „future costs“ erfordert aber zusätzlichen rech-nerischen Aufwand (längere Laufzeiten als Dijkstra´s Algorithmus) Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

20. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus • 1998 wurde von R. Jacob, M. Marathe und K. Nagel eine Modifizierung des A*-Algorithmus auf Straßengraphen untersucht, der A*-Algorithmus mit overdo • die future costs werden dabei mit einem overdo-Faktor multipliziert, dies beschleunigt zwar die Rechenzeit des Algorithmus, führt aber zu einem heuristischen Verfahren Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

21. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus • für kleine overdo-Faktoren (1 bis 1,5) findet der Algorithmus den optimalen Pfad oder Routen mit nur geringen Abweichungen • deutliche Laufzeitverbesserung bei einem Faktor von 1,5 im Vergleich zu Dijkstra´s Algorithmus • steigert sich für größere overdo-Faktoren immer mehr, dies führt dann in der Regel zu Pfaden von schlechter Güte • Grund ist dafür, dass der Algorithmus für große Faktoren die geometrische Entfernung der Nachbarknoten des zuletzt markierten Knotens zum Zielknoten als einziges Auswahl-kriterium für den nächsten Knoten auf dem Pfad aufweist Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

22. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus • dadurch ist der Pfad die Folge von „nächsten“ Nachbarn, was dazu führt, dass eine falsche Abzweigung im späteren Verlauf des Algorithmus nicht mehr korrigiert werden • unter bestimmten Voraussetzungen an den Graphen, die bei Straßennetzen in der Regel erfüllt sind, wurde eine theoretische Schranke für den overdo-Faktor hergeleitet, so dass der Algorithmus für größere Werte das beschriebene Verhalten zeigt • für die Praxis ergibt sich daraus ein zu erwartender Wert von höchstens fünf für diese Schranke Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

23. Erweiterungen des Dijkstra Algorithmus 1 1 1 2 2 2 s t 1 2 2 Geschätzte Strecke Reale Strecke Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002

24. the end Weiterentwicklungen des Algorithmus von Dijkstra Nanja Lockemann 27.06.2002