因子分析と共分散構造分析における理論と応用について

1. 科学研究費シンポジウム： 因子分析と共分散構造分析に関する諸問題 平成13年11月9～10日　於：統計数理研究所 Organized by Professor Manabu Sato 因子分析と共分散構造分析における理論と応用について 狩野　裕 大阪大学人間科学部 kano@hus.osaka-u.ac.jp

2. Missing Data in SEM 欠測値のあつかい

3. 今までの方法 • Listwise Deletion • 一つでも欠測のあるｵﾌﾞｻﾞﾍﾞｰｼｮﾝは，分析から外して分析する • Pairwise Deletion • 相関係数を計算する際，そのペアにだけ欠測のないｵﾌﾞｻﾞﾍﾞｰｼｮﾝをすべて用いる • Imputation • 欠測値を何らかの方法による推定値でおきかえて欠測のないデータセットにする • 平均 • EM algorithmによる最尤推定値 • 回帰分析

4. 今までの方法は • Listwise Deletion (LD) • 最も一般的な方法 • 捨てられるデータがもったいない．．．統計的推測の精度が低くなる • 欠測が多いと分析できないことがある • MCARである必要 • Pairwise Deletion (PD) • 相関行列Sの統計的分布が不明 • Sが正定値行列でないことがある • 分析方法はLSぐらいしかない • SE，カイ２乗値・適合度指標，LM検定・ワルド検定などが信頼できない • MCARである必要

5. 今までの方法は＿続 • Imputation • 汎用ソフトで実行可能 • データの分布，相関行列の分布が不明 • Mean Imputation (MI) • 分散が小さくなりすぎる • 分散や共分散を正確に推定できないこの方法はＳＥＭには致命的 • EMによる最尤推定 • MARでよい • 平均ベクトルや相関行列を推定することが最終目的の場合はOK

6. 統計理論から • Missing Completely At Random (MCAR) • どの値が欠測するかは完全にランダムである • LD, PDは，このときのみ使える • Missing At Random (MAR) • どの値が欠測するかはデータに依存してもよいが，欠測値には依存しない • FIMLの適用が薦められる • Nonignorable Missing • どの値が欠測するかが欠測した値に依存する • 欠測のメカニズムにモデリングが必要

7. MAR: Missing At Random • Rubin (1976)によって定義

8. ＭＡＲとFIML

9. MARについての補足

10. １ １ ２次元データの例 欠　測

11. 欠測の分布

12. 入学者のみr’=0.3 不合格者 合格者 MARの例 卒論 受験生全員r=0.6 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 入学試験

13. r‘から r への修正公式

14. 多変量正規母集団での推測_1

15. 多変量正規母集団での推測_2

16. ＳＥＭでの推測 • ＳＥＭではObserved Data Likelihood に基づく推測をMethod of Full-Information Maximum Likelihood (FIML)と呼んでいる • AMOS4, EQS6, LISREL8.5, M-plus2, Mx • 欠測のパターンが限られている場合，多母集団の同時分析に帰着 • 欠測が一つの変数にしか起こらない場合は２つの母集団

17. FIMLについて • 計算時間がかかる • 収束しない場合がある • GFIなど，出力しにくい統計量がある • 欠測が多いと最尤法のよさがでないかも

18. 例：６つの心理テストデータ • n=73の完全データを分析 • 30%の欠測値でのFIML • MCAR but LDではデータがなくなる • Wordmeanが低い人のSentenceデータが欠測しているものを作成し分析 • MAR • FIML と LD • Wordmeanが低い人のWordmeanデータが欠測しているものを作成し分析 • Nonignorable missing • FIML と LD

19. n=73, p=6 完全データ（欠測値なし） 分析１：６つの心理テスト

20. n=73, p=6 ランダムに欠測（MCAR） 各変数について約30％の欠測 全データでの欠測率=120/438 欠測のない個体＝7 出展：AMOSマニュアル 分析２：６つの心理テスト

21. 分析１：完全データの分析結果

22. 分析２：MCARデータの分析結果

23. FIML vs LD • MAR または Nonignorable missing のときにFIMLとLDを比較する • 欠測が多くないならば，LDは実行可能なので • 分析 • 「Sentence」に約30％の欠測があったとき，LDとFIMLのパフォーマンスを比較する • 分析３．．． MAR • 分析４．．． Nonignorable missing

24. 分析３のデータ • 欠測のパターン：MAR • Wordmeanが13点以下の被験者を欠測に • 欠測数=24(/73) • Sentence の平均19.3⇒21.6

25. 分析４のデータ • 欠測のパターン：Nonignorable • Sentenceが17点以下の被験者を欠測に • 欠測数=24(/73) • Sentence の平均19.3⇒22.1

26. 分析３:MAR FIML LD

27. 分析４:Nonignorable FIML LD

28. 分析結果のまとめ：推定値の比較

29. 分析結果のまとめ：SEの比較

30. まとめ • 分析３から • LDでも一変数に関する欠測であれば，因子分析モデルに関しては適合は良いようである • 推定値には無視できないバイアスが生じている • LDは特に因子相関にバイアスが生じている • 分析４から • FIMLは理論的にはMAR用の解析方法であるが，nonignorable の場合でもよいパフォーマンスを示している • FAの場合は，他の観測変数からの欠測の予測精度が高いのかも • LDの推定精度は低い

31. 計画による欠測 • データ • 2020名の黒人の父親にインタビューし，職業と教育歴を尋ねた • ３週間後に2020名からランダムに抽出された384名に再度，職業と教育歴を尋ねた • 欠測のパターン．．．MCAR • 384名だけで分析してもよいが，残りのサンプル（1672名）を上手く活かせないか？ • MARであり，欠測のパターンが少ない場合は，多母集団の同時分析が有効 • 解析はAllison(1987)・Wothke(1999) による

32. データ 完全データ 欠測データ

33. 完全データの分析：非標準解

34. 完全データの分析：標準解

35. 多母集団の同時分析：非標準解 完全データのグループ 欠測データのグループ

36. 多母集団の同時分析：標準解 完全データのグループ 欠測データのグループ

37. specification • 平均構造を導入 • 平均構造をいれないと，母集団ごとに異なった平均を当てはめることになる • 対応するすべての母数を等置する • FIMLで分析すると • いくつかの適合度指標が定義しにくい

38. 比較 • 完全データのみの分析と多母集団の同時分析との比較 • 推定値に大きな差はない • 多母集団の同時分析は精度が高い • 標準誤差が大幅に小さい

39. まとめ • Missing data, nonresponse data などは無視するのではなく，積極的に分析に取り入れる時代になった • とりあえずは，MAR(Missing At Random) • 欠測する確率が当該変数の値に依存しない • 潜在変数にも依存しない • 当該変数以外の観測変数には依存してもよい • FA では，条件MARが崩れていてもFIMLでそれなりに分析できるかも • 欠測を予測できる変数があるかどうか • 経時データの分析にも有効

40. （脱落のある）経時データ • 普通の分散分析 • セル度数が不揃いの分析 • Type II, III 平方和 • 実験データのFIML • 欠測のあるＳＥＭ • Latent Curve Analysis • 初回のデータが脱落のpredictorになりえる

41. Further Topic • MCARの検討 • Nonignorable case のモデル化 • ＳＥＭの既存の理論すべてが，missing のある場合に拡張できるであろう • 多くの場合はすでにやられている • 非正規性，ニ値データ • 多母集団・平均構造，多段サンプリング

42. Thank you for your attention