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第四章 投影变换

第四章 投影变换. 南昌理工学院 机械制图教研室. 目 录.  4.1 概述.  4.2 点的换面. 4.2.1 点的一次换面. 4.2.2 点的两次换面.  4.3 线的换面. 4.3.1 直线的一次换面. 举例 1. 举例 2. 4.3.2 直线的两次换面. 举例 3.  4.4 平面的换面. 4.4.1 平面的一次换面. 举例 4. 举例 5. 4.4.2 平面的两次换面. 举例 6. 结束放映. 举例 7. 4.1 概 述.

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第四章 投影变换

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Presentation Transcript

  1. 第四章 投影变换 南昌理工学院 机械制图教研室

  2. 目 录  4.1 概述  4.2 点的换面 4.2.1 点的一次换面 4.2.2 点的两次换面  4.3 线的换面 4.3.1 直线的一次换面 举例1 举例2 4.3.2 直线的两次换面 举例3  4.4 平面的换面 4.4.1 平面的一次换面 举例4 举例5 4.4.2 平面的两次换面 举例6 结束放映 举例7

  3. 4.1 概 述 投影变换即设法改变空间几何元素与投影面的相对位置，以改变其投影而达到简化图解和图示的目的。投影变换中常用的方法之一是换面法。本章总的要求是：深刻理解换面法的基本原理，并能用以解决空间的点、线、面及其相互关系的基本的度量和定位问题。通过本章的学习，还将提高投影分析、空间分析和解题的能力。

  4. a1  a1 V1 ● V1 ax1 X1 — H O1 X1 ax1 V 新投影体系 旧投影体系 X— H H V1 X1 4.2 点的换面 4.2.1 点的一次换面 (1)换V 面 A 点的两个投影：a,a1 a  A 点的两个投影 a，a ax V o X a H V A   a  ax  X a H

  5. a1 ● H V1 X1 新旧投影之间的关系 a  一般规律： a1 a V A V ax   O X V1  H ax a O1 ax1   X a ax1 H X1 1)点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。aa1X1 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。a1ax1=aax

  6. . O1 a  a1  ax V X H H1 a V X1  (2)换H 面 ax1 O

  7. 求新投影的作图方法： 作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。

  8. X2 a2 ax2 H2  V1 a1  ax1 X1 V1 X1— H 先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系: V1 X2— H2 再把H面换成平面H2，H2V1，得到新投影体系: 4.2.2 点的两次换面 ⑴ 新投影体系的建立 按次序更换 V a  A  ax X  a H

  9. # O2 X1 H1 a2 V1 *  * ax2 . . ax1 # H2 V2 O1 X2  a1 ⑵ 求新投影的作图方法 a  二次换面作图步骤： 1）定出新投影轴O1X1； V ax 2）根据点的换面规律，求出新投影a1； X o 3）作新投影轴O2X2； H 4）根据点的换面规律，求出新投影a2; a  5）a2即为变换后的新投影。 作图规律：a2a1X2轴；a2ax2=aax1

  10. 4.3 直线的换面 4.3.1 直线的一次换面 1.把一般位置直线变换为新投影面平行线 能反映直线的实长和对投影面的倾角。

  11. 2.把投影面平行线变换为新投影面的垂直线 把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。

  12. ［例1］已知水平线AB 的两投影， 试把它变为投影面垂直线。

  13. ［例2］已知正平线AB的两投影， 试把它变为投影面垂直线。

  14. 4.3.2 直线的两次换面 把一般位置直线变换为投影面垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以需要经过两次换面。 第一次：将一般位置直线变为新投影体系中的投影面平行线。 第二次：将投影面平行线变为另一投影体系中的投影面垂直线。

  15. ［例3］已知直线AB 的V 投影和端点A 的H 投影， 其实长为30mm，试完成该直线的H 投影。 分析: 由于一次换面可把一般位置直线变换为投影面平行线，利用已知直线AB =30 ，先求出新投影a1b1，然后再返回求出其旧投影ab 。

  16. b21 b11 H1 X1 V 30 bx1 ax1 O1 b1 b2 作图步骤： 30 1）在V 面适当位置作O1X1∥ab； 2）求得点A 的H1投影a 1； a1 b 3）以a1为圆心，以为30 mm 半径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b11、b21，连a1b11 , a1b21 ，即为实长 ； a bx V X O H ax 4）过b 作直线垂直于OX轴，并量取b1bx=b11bx1,b2b x=b21bx1 ， 连ab1、ab2, 即为所求(两个解答)。 a

  17. 4.4 平面的换面 4.4.1 平面的一次换面 （1） 把一般位置平面变换成投影面垂直面 例如：求平面△ABC 对H面的倾角α. 思考：如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？ 两次

  18. 能否只进行一次变换？ 在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。

  19. d c1 c V V1 C a1（d1） d H X1 . d b1 a b V1 A D ● ● c1 d1 B c d a O1 b H a1(d1） ● X1 ［例4］求平面△ABC 对H面的倾角α. b a c V O X H a b c X α

  20. b1 O1 a1  d1 c1 d V X H H1 V X1 d ［例5］求平面△ABC的 角。 作图过程： b 在平面内取一条正平线AD。 a 将AD变换成新投影面的垂直线。 c O b a c

  21. （2）把投影面垂直面变换为投影面平行面 试求正垂面△ABC的实形 右图表示了把正垂面△ABC变换成V/H1体系中H1 的平行面的作图方法。 注意：新投影轴O1X1平行于直线bac。

  22. a2 ● b2 O3 ● X1 . ● H c2 V1 . ● a1 （b1） H2 ● c1 V1 X2 O1 4.4.2 平面的两次换面 第一次：把一般位置平面换为投影面垂直面， 第二次：再把投影面垂直面换为投影面平行面。 c 如图所示： a b O V X H a b 先换V 面 再换H 面 c

  23. a2  b2 b1 V2 X2 d H1 a1 O１ d1 c2 c1 O２ d V H1 X1 ［例6］试求平面△ABC 的实形和 角。 先换H 面 实形 再换V 面 d2 b a c V X Ｏ b H a c

  24. ［例7］已知一般位置平面ABC的V、H投影， 试求内切圆中心的投影。

  25. 分析: 因为ABC为一般位置平面，为求其内切圆中心的投影，应先用两次换面求出ABC的实形，然后在实形上求出内切圆中心，最后返回求出内切圆中心的投影。 作图步骤： 1）换V 面，把ABC变换为正垂面； 2）换H 面，把ABC变换为水平面； 3）在实形a2b2c2上求出内切圆中心的投影g2； 4）返回求得内切圆中心的投影g、g 。

  26. 本 章 结 束 机械制图教研室

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