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NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX

NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX. De la Maternelle au CM2. Sur les enjeux d’apprentissage. La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme, 2008)

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NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX

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Presentation Transcript

  1. NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX Roland Charnay - 2009 De la Maternelle au CM2

  2. Sur les enjeux d’apprentissage • La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme, 2008) • L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme, 2008) Roland Charnay - 2009

  3. Les limites de l’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES Roland Charnay - 2009 L’exemple de la multiplication par 10, 100…

  4. Nombre entier : "écrire deux 0" à droite • 24 x 100 = 2 400 • Nombre décimal : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite • 2,345 x 100 = 234,5 • 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et apparition de 0 !) Roland Charnay - 2009

  5. 2,3 x 10(évaluation 6e 2001) • 23 64 % • 20,3ou2,30ou20,3020 % • La virgule "frontière" et "écrire un 0" • 2305 % • La virgule "absente" et "écrire un 0" • 35,2 x 100(évaluation 6e 2001) • 3 52047 % • 3500,2ou 35,200ou3 500,20015 % • La virgule "frontière" • 35215 % • Que faire quand la virgule "disparaît" ? Roland Charnay - 2009

  6. Comment justifier 23,45 x 10 = 234,5 ? • Interpréter 23,45, par exemple : 2 dizaines + 3 unités + 4 dixièmes + 5 centièmes • Savoir que multiplier 23,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de sa décomposition" par 10 • Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)… • Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) • Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) Roland Charnay - 2009

  7. Conclusion… • Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" • Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place • C'est la même chose pour les entiers et pour les décimaux ! Roland Charnay - 2009 24 x 100 2 dizaines 4 unités 2 milliers 4 centaines 35,2 x 100 3 dizaines 5 unités 2 dixièmes 3 milliers 5 centaines 2 dizaines

  8. , Roland Charnay - 2009

  9. Un apprentissage complexe… pour tout concept Problèmes qu'il permet de résoudre Langage - analogique - verbal - symbolique Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Roland Charnay - 2009 Propriétés - utilisées implicitement - explicitées

  10. Triple code et « petits nombres » Roland Charnay - 2009 4 quatre

  11. Triple code et numération Roland Charnay - 2009 Trente-quatre 34

  12. Triple code et decimaux Roland Charnay - 2009 1 Un et trois dixièmes et quatre centièmes 1,24

  13. PLANDes repères sur… Roland Charnay - 2009 La notion de nombre, de la maternelle au CP La numération des nombres entiers La numération des nombres décimaux Le calcul mental

  14. LA NOTION DE NOMBRE Roland Charnay - 2009 De la Maternelle au CP

  15. Importance de la "comptine" orale et du dénombrement L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures… Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos Roland Charnay - 2009

  16. L'acquisition de la comptine Quelques étapes de 2 à 6 ans Grande variabilité selon les enfants (donc valeurs moyennes) • 4 ans et demi : récitation jusqu'à seize • 5 ans et demi : récitation jusqu'à quarante Mais savoir réciter n'est ni connaître complètement ni savoir utiliser Roland Charnay - 2009

  17. Connaître la "comptine" • Vers 6 ans • A partir de 1 jusqu'à… • A partir de … jusqu'à… • A rebours (décompter) • Utilisation pour dénombrer et traiter des questions d'augmentation et de diminution Roland Charnay - 2009 A partir de 6-7 ans • Compter et décompter n nombres à partir de … • Compter ou décompter de … à …, en comptant les nombres énumérés

  18. DénombrementPlusieurs compétences à développer • Subitizing • Quantités repères : constellations, doigts… • Comptage un par un(3 principes importants) • Correspondance nombre – objet • Dernier nombre dit • Indépendance du parcours des objets • Estimation Roland Charnay - 2009

  19. Dénombrement par comptage un à unquelques repères Roland Charnay - 2009

  20. Quatre objectifs importants pour la GS • A quoi servent les nombres ? • Exprimer les quantités pour les mémoriser • Repérer et exprimer des positions dans une liste • Traiter des problèmes "arithmétiques" (sans l'objectif de travailler le calcul) • Suite oraledes nombres: stabilisation • Dénombrement : différentes méthodes • Correspondance suite orale - suite écrite, par le biais de la bande numérique Roland Charnay - 2009

  21. 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq 1 2 3 4 5 6 7 un deux trois quatre cinq • Trouver l’écriture chiffrée associée à un mot-nombre Roland Charnay - 2009 • Trouver le mot-nombre associé à une écriture chiffrée

  22. Les nombres outil pour mémoriser… …des quantités aspect cardinal • Réaliser une collection équipotente à une collection donnée • Compléter une collection pour la rendre équipotente… • Comparer des collections … des positions dans une liste rangée aspect ordinal • Indiquer une position • Replacer un objet à sa position • Comparer des positions Roland Charnay - 2009

  23. A quoi servent les nombres ?Garder la mémoire des quantités (un exemple) • Un problème de référence • Préparer juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot • Un type de problème • à faire vivre • en maternelle au CP • D’après Cap maths CP 2008 Roland Charnay

  24. Un problème qui évolue… • Les gommettes sont proches du robot • Les placer. • Les préparer sur un plateau avant de les placer. • Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot • Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles). • Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot. • Les demander oralement • Les commander par écrit 2008 Roland Charnay

  25. Le travail sur fiche ne remplace pas l'expérience… mais peut la prolonger. 2008 Roland Charnay

  26. Les nombres outil pour anticiper Aspect cardinal : quantités • Résultat d’une augmentation ou d’une diminution • Valeur de la transformation • Etat avant transformation • Résultat d’un partage Aspect ordinal : positions dans une liste rangée • Position après un déplacement (en avant ou en arrière) • Valeur du déplacement • Position avant déplacement Roland Charnay - 2009

  27. Dix dans la boîte Roland Charnay - 2009 - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

  28. Dix dans la boîte : 3 problèmes • Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup • Plusieurs solutions… dont les nombres • Connaître le contenu de la boîte • Vers l’addition • Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant • Vers le complément Roland Charnay - 2009

  29. Quelles procédures ? • Dessin et dénombrement • Recomptage mental ou aidé (doigts…) • Surcomptage mental ou aidé (doigts…) • Décomptage mental ou aidé (doigts…) • Double comptage de … à …mental ou aidé (doigts…) • Utilisation de résultats déjà connus Roland Charnay - 2009

  30. ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Roland Charnay - 2009 Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

  31. EN RESUME… GS • Donner du sens aux nombres (problèmes) • Consolider des compétences « techniques », par exemple relatives à la comptine, surtout orale CP • Travailler rapidement sur un domaine assez étendu • Poursuivre le travail sur le sens • Structurer et étendre les compétences techniques • Structurer les désignations écrites, puis orales Roland Charnay - 2009

  32. LA NUMERATION DES ENTIERS Roland Charnay - 2009 Repères pour le cycle 2 Valeur positionnelle Organisation des nombres

  33. Des réussites parfois trompeuses • Les compétences techniques sont évaluées • Lire / écrire des nombres 85 % à 95 % • Comparer / ranger des nombres 70 % à 90 % • Pourtant à l'entrée en sixième… • Ecris en chiffres 25 dizaines 41 % Roland Charnay - 2009

  34. Un premier temps au CPL'appropriation des régularités des suites écrites et orales… …jusqu'à 39, puis jusqu'à 59Dénombrer en comptant de dix en dix • Le repérage des régularités de la suite écrite • Des mots clés pour la suite orale : • vingt et trente, d'abord • vingt, trente, quarante et cinquante, ensuite (de dix en dix) • Des quantités de doigts jusqu'à trente-neuf Roland Charnay - 2009

  35. Un deuxième temps fondamentalla signification des chiffresLe grand ziglotron(Cap Maths CP) • Objectif : reconnaître la valeur de chaque chiffre dans l’écriture d’un nombre de deux chiffres • Problème : demander juste ce qu’il faut de « boutons » pour réparer le grand ziglotron(boutons vendus à l’unité ou par bandes de dix) Roland Charnay - 2009

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  37. Roland Charnay - 2009

  38. Roland Charnay - 2009

  39. Trois étapes (3 séances de 30 à 45 min)  ziglotron disponible, demande libre (peut être orale)  ziglotron disponible, mais 4 contraintes : - commande écrite (cf. illustration) - pas plus de 9 boutons isolés - le marchand donne ce qui est commandé - vérification différée  ziglotron non disponible (seul l’enseignant le possède), nombre de boutons inscrit sur le bon de commande). Roland Charnay - 2009

  40. Entraînement(sur fiche) Roland Charnay - 2009

  41. Suite chiffrée et valeur des chiffresExemple tiré de Cap Maths CE1Quantités, compteur et calculette • Objectif : comprendre l'organisation de la suite écrite des nombres de 3 chiffres • comprendre que avancer de 1, 10… revient à ajouter 1 unité, 1 dizaine… • comprendre que les groupements correspondent aux "changements de rang" • Problème : gérer les effets de l'ajout de 1, de 10, de 100 à l'aide de différents matériels. Roland Charnay - 2009

  42. Roland Charnay - 2009

  43. L'activité Matériel • 1 calculette pour certains élèves • 1 compteur pour d'autres • 10 cartes portant 10 perles ou 100 perles • 40 cartes portant 1 perle • 1 boîte Problèmes • Ajout de perles de 1 en 1 jusqu'à 37 • action sur la calculette • action sur le compteur • adéquation boîte-calculette-compteur • Ajouts de cartes portant soit 1, soit 10, soit 100 perles • Mêmes questions Roland Charnay - 2009

  44. Un problème intéressant(au cours du jeu) Comment faire pour que le contenu de la boîte et l'affichage du compteur coïncide avec l'affichage de la calculette ? Il y a déjà 28 perles dans la boîte (2 paquets de 10 et 8 perles). On ajoute 2 fois de suite une perle. - contenu de la boîte : 2 paquets de dix et 10 perles - affichage de la calculette : 30 - compteur : 028 029 ??? Roland Charnay - 2009

  45. Autre problème • Idem avec 92 dans la boîte (9 paquets de 10 perles et 2 perles) • Ajout d'un paquet de 10 perles… Roland Charnay - 2009

  46. Jeu identique avec des pièces et billets de 1, 10, 100 euros • Il favorise le passage des groupements aux échanges. Roland Charnay - 2009

  47. Entraînement… qui n'a de sens qu'après l'activité ! Roland Charnay - 2009

  48. LA NUMERATION DES DECIMAUX Roland Charnay - 2009 Quelques repères pour la mise en place Des fractions aux décimaux

  49. Introduction des fractionsd'après Cap Maths CM1 A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u Roland Charnay - 2009

  50. Egalité et raisonnement Roland Charnay - 2009

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