稳定性分析

1. 稳定性分析 陈 平 中国人民解放军理工大学 二OO四年七月十七日

2. 第一部分 基本理论 一、压杆稳定的概念 压杆的稳定，是指受压杆件平衡状态的稳定性。

3. 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡到非直线的平衡状态，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡到非直线的平衡状态，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。

4. 二、临界压力 使压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力称为临界压力或临界力。

5. 欧拉公式的适用范围： （1）材料应力在比例极限范围内； （2）小挠度压杆。

6. 三、临界应力与柔度 临界应力： 惯性半径： 长细比（柔度）：

7. 长细比（柔度）： 柔度集中反映了压杆的长度、约束、截面尺寸和形状等因素。 根据柔度的数值，可将压杆分为大柔度杆（细长杆）、中柔度杆（中长杆）和小柔度杆（短粗杆）。 由于各类压杆临界应力的计算公式不同，因此在讨论压杆的稳定性时往往应首先计算其柔度。

8. 四、临界应力总图 临界应力σcr是随着柔度λ而变化的，将其函数关系绘出，就是所谓的临界应力总图。

9. 两段式临界应力总图

10. 三段式临界应力总图

12. 五、压杆的稳定性计算 压杆的稳定性计算通常有两种方法： （1）稳定安全因数法 （2）稳定折减因数法

13. （1）稳定安全因数法 式中：n ——压杆的工作安全因数； nst ——规定的稳定安全因数； P、σ——杆件的工作压力和压应力。 使用时必须先计算柔度以确定临界力或临界应力的计算方法。

14. 式中： 为稳定因数（折减因数）。 使用时也必须先计算柔度，查相应的规范中的表格得到 ，但不用去研究此时压杆属于哪一类。 （2）稳定折减因数法

15. 六、压杆稳定性计算的三类问题 （1）稳定校核 （2）确定荷载 （3）设计截面

16. 由于临界应力的大小与压杆的柔度有关，而截面尺寸未定时无法确定其柔度，就无法选定计算临界应力的公式，也无法去查折减因数表。因此，无论用哪种方法设计压杆截面，都要用试凑法反复计算才能得到理想的截面。由于临界应力的大小与压杆的柔度有关，而截面尺寸未定时无法确定其柔度，就无法选定计算临界应力的公式，也无法去查折减因数表。因此，无论用哪种方法设计压杆截面，都要用试凑法反复计算才能得到理想的截面。 （1）稳定安全因数法 （2）稳定折减因数法

17. 由于压杆失稳是一种整体性破坏行为，故杆件的局部削弱如打孔等对杆件的截面积影响不大，因此在进行稳定性计算时仍按未削弱时的截面尺寸计算。 当然，如果局部削弱较大，则应对此局部进行强度校核。

18. 七、提高压杆稳定性的措施 可以这样认为，提高压杆的稳定性，基本上就是设法减小其弯曲变形。 1、选择合理的截面形状 I、i 2、改变压杆的约束条件 μ、L 3、合理选择材料 σs、E

19. 第二部分 例题分析 一、基本题 十、(本题10分) 如附图1．10所示，①杆，②杆均为圆截面，直径相同，d＝40 mm，弹性模量E＝200 GPa，材料的许用应力 [σ]＝120 MPa，适用欧拉公式的临界柔度为90，并规定稳定安全因数nst＝2，试求许可载荷[F]。（北航大2002）

20. 5．一两端铰支的圆截面细长压杆，具临界力为Fcr1，若将其直径增大1倍，其他条件保持不变，其临界力为Fcr2，则Fcr2／Fcr1的值为( )。 (A)4 (B)8 (C)16 (D)不能确定 （西交大2002）

21. 一、(15分)附图1．12所示两端固定压杆，E＝210 GPa，σp＝200 MPa，σs=235 MPa，a＝304 MPa，b＝1．12 MPa，截面有矩形、圆形和空心圆形3种，但其横截面面积均为5 000 mm2，试求上述3种情形下压杆的临界压力Fcr。（西工大2002）

22. F 4．(15分)附图1．26所示托架，CD杆为No．14工字钢，AB为圆管，外径D＝50 mm，内径d＝40 mm。两杆材料均为Q235钢，比例极限σp＝200 MPa，屈服极限σs＝240 MPa，弹性模量E＝200 GPa，a＝304 MPa，b＝1．12 MPa，强度安全因数n＝1．5，稳定安全因数nst＝2，试求此托架所能承受的最大载荷Fmax(已知No．14工字钢抗弯截面模量Wy＝16．1 cm3，Wx＝102 cm3，截面面积A=21．5 cm2)。（西交大2002）

23. 三、(20分)两端球铰支杆AB和横梁BCD，材料均为Q235钢，E＝206 GPa，σp=200 MPa，[σ]=160MPa，AB杆长1.5 m，横截面为50 mm× 60 mm的矩形截面。BCD杆长2 m，中点C处有一可动铰支座，D端受弯矩Me作用，其横截面为150 mm× 200 mm的矩形截面，放置方位如附图1．42所示，规定的稳定安全因数nst＝3，求弯矩Me的许可值。（浙江大学2001）

24. 7．刚性杆AB，A端铰支，C、D处与两根抗弯刚度均为EI的细长杆铰接，如图示。试求当结构由细长杆失稳而毁坏时，载荷F的临界值。7．刚性杆AB，A端铰支，C、D处与两根抗弯刚度均为EI的细长杆铰接，如图示。试求当结构由细长杆失稳而毁坏时，载荷F的临界值。

25. 2．图示结构，AB为刚性杆，①是a×a的正方形截面钢杆，②是直径为d的圆截面钢杆，已知a=30mm，d＝20mm，钢杆的弹性模量E＝200GPa，比例极限σp＝200MPa，屈服极限σs＝230MPa。在刚性杆的B端，有集中力F作用。试求构架倒塌时的F值。2．图示结构，AB为刚性杆，①是a×a的正方形截面钢杆，②是直径为d的圆截面钢杆，已知a=30mm，d＝20mm，钢杆的弹性模量E＝200GPa，比例极限σp＝200MPa，屈服极限σs＝230MPa。在刚性杆的B端，有集中力F作用。试求构架倒塌时的F值。

26. A D B P K l l 二、刚体系统 3、（全国第三届，四）图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为K，试导出它的临界荷载Pcr。

27. 8．图(a)所示为由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力F的作用，钢丝绳的横截面面积为A，弹性模量为E，钢丝绳的初拉力为F0。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界载荷Fcr。8．图(a)所示为由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力F的作用，钢丝绳的横截面面积为A，弹性模量为E，钢丝绳的初拉力为F0。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界载荷Fcr。

28. P H h α α 2、（全国第二届，9）由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力P，钢丝绳的横截面面积为A，弹性模量为E，钢丝绳的初拉力为零。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界荷载Pcr。

29. 19．图(a)所示结构，AB是刚性杆，AC是线弹性杆，AC杆抗拉(抗压)刚度为EA。求此桁架的临界载荷Fcr。19．图(a)所示结构，AB是刚性杆，AC是线弹性杆，AC杆抗拉(抗压)刚度为EA。求此桁架的临界载荷Fcr。

30. 12．求图(a)所示结构的临界压力Fcr。已知各杆均为刚性杆，弹簧1、2的抗拉(压)刚度均为k。12．求图(a)所示结构的临界压力Fcr。已知各杆均为刚性杆，弹簧1、2的抗拉(压)刚度均为k。

31. P P B B C C EI EI A A 图（a） 图（b） 三、基本微分方程 （全国第一届，9）已知图（a）所示平面刚架，A端固定，B端为辊轴支座，C为刚结点，当C点受垂直力P作用时：（1）试求失稳时特征方程的形式及临界荷载值；（2）若B端改为固定铰支座时（如图（b）所示），其失稳模式与情况（a）有何不同？其临界荷载值可增加多少？

33. 179．如图179a，某均质实心圆柱高L，下端固定，为保持在自重作用下不失稳，直径不能小于某一值。如改成内外径之比为α的空心柱，且保持高度和稳定安全系数不变，从稳定安全考虑，可节省材料多少? (蒋持平，北京航空航天大学。原第330题，2001，No．4。)

34. 3．图(a)所示刚架，水平梁BC的抗弯刚度为EI1，长度为L1；两立柱的抗弯刚度为EI，长度为L，立柱下端为铰支。整个刚架顶端可以有侧向位移，试求出求临界荷载的最终方程。3．图(a)所示刚架，水平梁BC的抗弯刚度为EI1，长度为L1；两立柱的抗弯刚度为EI，长度为L，立柱下端为铰支。整个刚架顶端可以有侧向位移，试求出求临界荷载的最终方程。

35. 一底端固定而顶端由一刚度为β的线性弹簧所支撑的立柱，如图所示。若已知β=3EI/L3，试证：立柱的临界压力Pcr所满足的特征方程为：一底端固定而顶端由一刚度为β的线性弹簧所支撑的立柱，如图所示。若已知β=3EI/L3，试证：立柱的临界压力Pcr所满足的特征方程为： 其中k2=P/EI，EI是截面抗弯刚度。 (北京大学2001年)

36. 四、多种失稳模式 图示材料试验机架，立柱上、下两端固定在可视为刚体的横梁和底座上，在横梁上作用由夹头传来的荷载P，试根据立柱的稳定性确定P的极限值。已知立柱用低碳钢制成，材料的弹性模量E=200GPa。（立柱满足欧拉公式的使用条件）

37. （江苏省第三届，6）

38. 五、超静定问题（荷载） 一、(20分)由三根细长杆组成附图1．54所示平面对称结构，三杆材料相同，材料的弹性模量E，截面均为圆形，直径均为d，C端为固定端，其余为铰接。AC杆长度为L，确定点A处载荷F的临界值(仅考虑结构所在平面内的破坏情形)。（天津大学2002）

39. 6．(14分)由6根钢圆杆组成的正方形结构，如附图1．39所示，图中E处两杆相互无约束。结构连接处均为光滑铰链，正方形边长a＝1 m，各杆的直径都为d＝50 mm，通过汁算，说明图中哪根杆首先失稳?并求此时结构所受外载F。圆杆材料为Q235钢，其弹性模量E＝200 GPa，比例极限σp=200 MPa，屈服极限σs＝240MPa，材料常数a＝314 MPa，b=1．12 MPa。（华中科大 02）

40. 5．直径为d的圆截面杆①、②、③两端铰接，与刚性平板相连，平板上加有一力偶Me，三杆材料相同，弹性模量均为E，如图(a)所示。已知L=30d，λp＝1，求此结构失稳时的Me值。5．直径为d的圆截面杆①、②、③两端铰接，与刚性平板相连，平板上加有一力偶Me，三杆材料相同，弹性模量均为E，如图(a)所示。已知L=30d，λp＝1，求此结构失稳时的Me值。

41. 3．(15分)附图1．52所示一结构，系由两根悬臂梁与杆BC连接而成。设两梁的截面相同，主惯性矩为I，杆BC的横截面面积为A，梁和杆的材料相同，弹性模量为E。当AB梁作用均布载荷q时，试求：3．(15分)附图1．52所示一结构，系由两根悬臂梁与杆BC连接而成。设两梁的截面相同，主惯性矩为I，杆BC的横截面面积为A，梁和杆的材料相同，弹性模量为E。当AB梁作用均布载荷q时，试求： (1)BC杆的内力；． (2)若压杆BC在图示平面内丧失稳定时，此时的载荷q应为多少?（上交大2002）

42. 六、超静定问题（温度） 三、(10分)题图4．3所示①、②两杆材料相同，弹性模量均为E；两杆截面都是方形，边长分别为3a和a。已知L＝70a，为避免失稳，试求此结构温度t可升高的最大值。设材料的线膨胀系数α＝1．25×10-5 ℃-1，并且适用欧拉公式的柔度临界值是100。（天津大学1999）

43. 七、超静定问题（装配） 9．两根相同截面(b×t)的矩形截面细长杆1和2，两端用铰相联，现将一端固定在天花板上，另一端欲悬挂一重量为P的重物。设原杆l由钢制成，弹性模量为E1，杆长为L；杆2由铝制成，弹性模量为E2，长度比杆1长ΔL。试分析ΔL对杆挂重物端的竖向位移影响。设杆件处于线弹性阶段。

44. 八、冲击问题 5．(16分)直径为d的圆截面直角刚架ABC与CD杆(圆截面，直径为d0)铰接于点C，如附图1．73所示。今有一重为F的物体，由高度H处自由下落冲击点B，试校核CD杆的安全。已知材料为Q235钢，σb＝380MPa，σs＝240 MPa，σp＝200 MPa，E＝200 GPa，G＝80 GPa，d＝50 mm，d0＝10 mm，L＝l m，F＝200 N，H＝20 mm，安全因数n＝2，稳定安全因数nst＝3。（同济2002）

45. 2．(15分)梁柱结构如题图3．7所示，A，B，C处均为铰接，当重物F＝2．88kN从高度h＝6cm处自由下落到AB梁上时，试校核立柱BC的稳定性。已知：(1)AB梁：弹性模量E＝200 GPa，截面惯性矩I＝100 cm4，梁长L＝2 m。(2)BC柱：弹性模量E1＝72 GPa，截面面积A1＝1 cm2，截面惯性矩Il＝625 cm4，柱长a=1 m，欧拉公式适用的临界柔度λp＝62．8，中柔度杆的临界应力公式σcr＝a-bλ，式中a=373 MPa，b＝2．15 MPa，中柔度杆的经验计算公式适用的临界柔度λs＝36．3，稳定安全因数nst＝3。（上交大2001）