§15-7 波函数 薛定谔方程

1. 波函数（ ）：量子力学中用以描述粒子运动状态的数学表达式。 §15-7 波函数 薛定谔方程 15-7-1 波函数 自由粒子：不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子。 自由粒子的波函数：

2. 波函数的复指数形式： 式中的 E 和 p 分别为自由粒子的能量和动量。 概率密度：单位体积内粒子出现的概率。 粒子在空间体元中出现的概率：

3. 态叠加原理：假设 是粒子体系的n个可能状态，那么，它们的线性组合态也是一种可能的状态。 波函数的归一化条件： 波函数所要求的标准条件： 单值、连续、有限、归一化

4. 15-7-2 薛定谔方程的一般形式 建立自由粒子的薛定谔方程：

5. 粒子在势场 中运动，则有 自由粒子能量与动量关系： 因为 一维自由粒子的薛定谔方程：

6. 势场中的一维薛定谔方程： 势场中的三维薛定谔方程： 称为梯度算符 称为拉普拉斯算符

7. 15-7-3 一维定态不含时薛定谔方程 如果势场只是坐标的函数，而与时间无关。 则 分离变量后可得

8. （E为一个确定的能量值） 解得 （c为积分常量） 结论：若势场与时间无关，则粒子具有确定的能量值。 定态：能量不随时间变化的状态。

9. 称为一维定态波函数 一维定态薛定谔方程： 概率密度： 结论：定态粒子在空间的概率分布不随时间改变。

10. 0 < x < a x ≤ 0，x ≥ a §15-8 一维定态问题 15-8-1 一维无限深势阱 势函数为 定态薛定谔方程：

11. 因为阱壁无限高 ，所以有 （x ≤ 0，x ≥ a） 令 方程解 边界条件： 边界条件：

12. 结论：在无限深势阱中，粒子的能量只能取分立值。结论：在无限深势阱中，粒子的能量只能取分立值。 基态能级的能量： 激发态能级的能量： 归一化条件： 得

13. 波函数： 概率密度： 结论：在 n 很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图像。

14. 势垒 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 15-8-2 一维势垒 隧道效应 隧道效应： 粒子穿透势垒的现象。 一维方势垒问题： 势函数

15. ， （1） ， （Ⅰ） 令 （Ⅲ） 一维定态薛定谔方程： 设粒子质量为m，能量为E（E < E0） 方程解

16. （2）0≤ x ≤ a ， 令 在边界连续 方程解 由波函数连续性条件

17. Ⅱ Ⅲ Ⅰ 表示粒子在势垒右侧出现的概率密度。 表示粒子在势垒左侧出现的概率密度。 结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能。 设

18. 透射系数：粒子穿透势垒的概率。

19. 例9 能量为30 eV的电子遇到一个高为40 eV的势垒，试估算电子穿过势垒的概率。⑴ 势垒宽度为1.0nm； ⑵ 势垒宽度为0.1nm。 解： （1）

20. 估算时可以忽略G： 几乎就不能穿透势垒！ （2） 电子穿透势垒的概率很大，接近于4%。

21. 探针 样品表面 15-8-3 扫描隧道显微镜

22. 微观领域中分子的振动、晶格的振动、 ，都可以近似地用简谐振子模型来描述 。 一维简谐振子的经典模型 15-8-4 一维简谐振子 一维简谐振子的势函数： 其中 m —— 振子质量，—— 固有频率，x —— 位移

23. 相应的定态薛定谔方程为 ： 基态波函数解： 其他激发态波函数均包含因子： 满足方程的简谐振子能量：

24. 基态能量： 零点能 激发态能量： 相邻能级的间距：

25. 高能态（n→∞）的概率分布过度到经典概率分布。

26. §15-9 氢原子结构 15-9-1 氢原子的薛定谔方程 氢原子体系的势函数： 氢原子的定态薛定谔方程：

28. 分离变量法求出方程解： 结论：方程的解可以表示成三个各自具有一个独立变量的函数的乘积。 讨论： 讨论的依据：① 波函数单值、有限、连续 ② 边界条件

29. 结论： 是一个关于变量 r 的多项式与一个指数函数 （ 为正数）的乘积。 （2） 和 必须满足周期性条件 （3） 波函数 有限 是一个包含 和 指数项的多项式。 （1） 在较远处（r 较大）:

30. 15-9-2 角动量量子化 三个量子数 1. n—— 主量子数 表征能量量子化 能量的本征值： • 能量是量子化的； • 当 n 时，En连续值。

31. 轨道角动量大小的可能取值： 处于l = 0, 1, 2, 3, 状态的电子分别称为s, p, d, f, 电子。 2. l —— 轨道量子数 表征角动量量子化 即 结论：第n能级，可以有n个不同的角动量 L 值。

32. 表征轨道角动量的取向 3. —— 磁量子数 轨道角动量的z分量： 结论：对于给定的 l 值，ml可以有（2l + 1）个取值。

33. 15-9-3 氢原子中电子的概率分布 在氢原子中的空间体积dV内发现电子的概率

34. 径向概率分布： 当 n = 1时，lmax = 0， 峰值位置：r = r1 当 n = 2时， lmax = 1，峰值位置： r = 4r1

35. 当 n = 3时， lmax = 2， 峰值位置： r = 9r1 玻尔预言氢原子轨道半径： 结论：量子力学认为电子在玻尔轨道上的那些点出现的概率最大，但是也有可能出现在别处。

36. 无外磁场 有外磁场 §15-10 电子的磁矩 原子的壳层结构 塞曼效应：在磁场中一些光谱线会发生分裂的现象。 15-10-1 电子的轨道磁矩 电子环电流： 轨道磁矩：

37. 电子的角动量： 轨道磁矩矢量式： 旋磁比： 玻尔的量子化条件： 玻尔磁子：

38. 电子磁矩与磁场的相互作用能： 电子轨道磁矩沿 z 轴的分量式

39. 结论：能量 E 与磁量子数ml有关。 在外磁场作用下，原来的一个能级将分裂成（2l + 1）个能级 。

40. 斯特恩—盖拉赫实验 15-10-2 电子的自旋 银原子束经过非均匀磁场后分裂成两束，在照相底片上留下两条感光条纹。

41. 奇数条纹 如果磁矩 的空间取向呈量子化 按照经典电磁学理论 费浦斯和泰勒实验: 基态的氢原子（l = 0） 实验结果：氢原子束分裂为两束。 1925年，乌伦贝克和哥德斯密特曾经提出：电子除了具有轨道角动量外还具有内禀角动量。这是由于电子绕自身轴旋转所引起的，故称为自旋角动量，简称自旋。

42. 称为自旋磁量子数 自旋量子数：s 电子自旋角动量： 自旋角动量在外磁场方的分量：

43. 与 的关系： 因为 自旋磁矩的z分量： 结论：自旋电子在空间只有两种可能的取向。 费米子： 玻色子：

44. 15-10-3 原子的壳层结构 四个量子数： ⑴ 主量子数 n（n = 1，2，3，…）用于确定原子中电子能量的主要部分； ⑵ 轨道量子数 （l，l = 0，1，2，…，n-1），用于确定电子的轨道角动量； ⑶ 磁量子数 ml ， （ml = 0，±1，±2 ，…，±l ），用于确定轨道角动量的空间取向。 ⑷ 自旋量子数 ms ， （ms = ±1/2），用于确定自旋角动量的空间取向。

45. 泡利不相容原理： 在一个原子中不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态，即不可能具有相同的四个量子数。 给定的主量子数n： 轨道量子数 l 取值：0，1，2，…，n-1，共 n个 ； 磁量子数 ml 取值：0，±1,±2 ,…,±l , 共 2l + 1个； 自旋量子数 ms取值：1/2，-1/2，共2个。

46. n： 原子的壳层结构模型： 主壳层 次壳层

47. ml = 0 ml = -1，0，1 n = 1，l = 0 ml = 0 ms = 1/2 ，- 1/2 K壳层——s次壳层： 两个电子 n = 2，l = 0 ms = 1/2 ，- 1/2 L壳层—— s 次壳层： 两个电子 n = 2，l = 1 ， ms = 1/2 ，- 1/2 L壳层—— p 次壳层： 六个电子 L壳层共有八个电子。

48. 原子壳层和次壳层上最多可能容纳的电子数 l n

49. 值较大者相应的能级较高。 能量最小原理：在原子处于正常状态下，每个电子趋于占据最低的能级。 • 主量子数n越大，能级越高。 能级： • 当n一定时，轨道量子数l 越大，能级越高。 能级判断法则： 例：4s态 3d态 • 结论：电子首先占据 4s 态，再占据 3d 态。

50. 第一周期 氢原子（Z = 1） 氦原子（Z = 2） 第二周期 铍原子（Z = 4） 锂原子（Z = 3） 硼原子（Z = 5） 碳、氮、氧、氟和氖 氖原子（Z = 10） 氖：电子正好填满K和L壳层，因此最稳定。