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专题七 曲线的性质和轨迹问题

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tyler-hill
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专题七 曲线的性质和轨迹问题

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  1. 专题七 曲线的性质和轨迹问题

  2. 【考点搜索】

  3. 【考点搜索】 1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质; 2.求曲线的方程的常见方法: ① 待定系数法,即先确定方程的形式,再确定方程的系数; ② 定义法,即根据已知条件,建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; ③ 代入法; ④ 参数法.

  4. 【课前导引】

  5. 【课前导引】 1. 已知F1、F2是双曲线 的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

  6. [解析] 设的中点为P,依题意,

  7. [解析] 设的中点为P,依题意, [答案] D

  8. 2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设A、B为两个定点,k为非零常数, ,则动点P的轨迹为 双曲线; ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB, O为坐标原点,若 则动点P的轨迹为椭圆;

  9. ③方程 的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线 相同的焦点. 其中真命题的序号为_________(写出所有真命题的序号)

  10. [解析] ① 的轨迹可能是双曲线的一支,也可能是一条射线,也可能无轨迹;② 的轨迹是圆;计算知③④正确。

  11. 【链接高考】

  12. y B P x F1 O F2 A 【链接高考】 [例1]

  13. y B P x F1 O F2 A (1)设椭圆的离心率为,证明 (2)证明: (3)设 求椭圆的方程.

  14. y B P x F1 O F2 A [解析]

  15. y B P x F1 O F2 A ( 另:由ab=c2知:

  16. y B P x F1 O F2 A (2) 由(1)有

  17. y B P x F1 O F2 A

  18. y B P x F1 O F2 A

  19. y B P x F1 O F2 A 故所求椭圆的方程为

  20. y B P x F1 O F2 A 故所求椭圆的方程为 [说明] 本题采用了待定系数法求轨迹方程.

  21. [例2] 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0), 的垂心H分有向线段 所成的比为 (1) 分别求出点A和点H的轨迹方程;

  22. [解答] 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1, y1), 则D的坐标为(x1, 0), 由H分有向线段 此即点H的轨迹方程.

  23. (2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦 点, 设H(x, y), 且 数列, 则

  24. [说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.

  25. y B F l A x O P [例3] 如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.

  26. y B F l A x O P [解答] (1)设切点A、B坐标分别为

  27. y B F l A x O P 所以△APB的重心G的坐标为

  28. y B F l A x O P

  29. y B F l A x O P 由于P点在抛物线外,

  30. y B F l A x O P

  31. y B F l A x O P ∴∠AFP=∠PFB.

  32. 方法2:

  33. 所以d1=d2,即得∠AFP =∠PFB.

  34. 所以P点到直线AF的距离为:

  35. 同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.

  36. 同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. [说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.

  37. y P x B A [例4] 如右图, 已知⊙A: (x+2)2+y2 = ⊙B: (x2)2+y2 = , 动圆P与⊙A、⊙B都相外切. (1)动圆圆心P的轨迹方程; (2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2,求k的取值范围.

  38. y P x B A [解答] (1)依题意,PAPB= 故P的轨迹是双曲线的右支,a=1,c=2, 其方程为:

  39. (2)联立方程组 在[1, +)有两不同的解,

  40. [例5] A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB, 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积; 2. 求证:直线AB过定点; 3. 求弦AB中点P的轨迹方程; 4. 求△AOB面积的最小值; 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.

  41. [解答] (1)设A(x1, y1),B(x2, y2),中点P(x0, y0), ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1,∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1,y22 = 2px2 ∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2.

  42. (2)∵ y12=2px1,y22=2px2 ∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)

  43. ∴ AB过定点(2p, 0),设M(2p, 0).

  44. (3)设OA∶y = kx,代入y2=2px 得: x=0, 同理, 以代k得B(2pk2, -2pk) .

  45. 即 y02 = px0-2p2, ∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2