รากที่ n ในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

1. รากที่ n ในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

2. บทนิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ a ≥ 0 รากที่สองที่เป็นบวกของ a เรียกว่า “ ค่าหลักรากที่สองของ a ” เขียนแทนด้วย ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า 1. ค่าหลักของรากที่สองของ 144 คือ 2. ค่าหลักของรากที่สองของ 7 คือ 3. ค่าหลักของรากที่สองของ คือ

3. รากที่ 3 ของจำนวนจริง บทนิยาม : ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง b เป็นรากที่ 3 ของ a ก็ต่อเมื่อ b3 = a จากบทนิยามได้ข้อสังเกตว่า 1. a = 0 รากที่ 3 ของ 0 เท่ากับ 0 แน่นอน 2. a > 0 รากที่ 3 ของ a ออกมาเป็นบวกแน่นอน 3. a < 0 รากที่ 3 ของ a ออกมาเป็นลบแน่นอน เนื่องจากค่าราที่ 3 ของ a ออกมา 1 ค่าเสมอ ก็ถือว่าเป็นค่าหลักของรากที่ 3 ของ a ด้วย ใช้สัญลักษณ์เป็น

4. รากที่ n ของจำนวนจริง บทนิยาม : ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 b เป็นรากที่ n ของ a ก็ต่อเมื่อ bn = a แยกพิจารณา เมื่อ n เป็นเลขคู่ หรือ คี่ ดังนี้

5. ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 1. รากที่ 4 ของ 16 คือ -2 และ 2 2. รากที่ 5 ของ -243 คือ -3 3. รากที่ 7 ของ 128 คือ 7 4. รากที่ 7 ของ 128 คือ 7 5. รากที่ 6 ของ 125 คือ และ 6. รากที่ 8 ของ -625 คือ ไม่มี ในระบบจำนวนจริง

6. ค่าหลักของรากที่ n บทนิยาม : ให้ a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 1. ถ้า a ≥ 0 และ n เป็นจำนวนคู่ ค่าหลักของรากที่ n ของ a ก็คือ รากที่ n ของ a ที่เป็นบวก เขียนแทนด้วย 2. ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ n เป็นจำนวนคี่ ค่าหลักของรากที่ n ของ a ก็คือ รากที่ n ของ a เขียนแทนด้วย ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า 1. ค่าหลักของรากที่ 4 ของ 81 คือ = 3 2. ค่าหลักของรากที่ 5 ของ -32 คือ = -2

7. ข้อตกลง และสิ่งที่ต้องรู้เกี่ยวกับค่าหลักของรากที่ n ของ a 1. เราจะเรียกเครื่องหมาย ว่า “ เครื่องหมายกรณฑ์ ” และเรียก n ว่า เป็นอันดับของกรณฑ์ 2. ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่หารากที่ n ได้ เราจะอ่าน ว่า กรณฑ์ที่ n ของ a หรือค่าหลักของรากที่ n ของ a 3. ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่หารากที่ n ได้ จะได้ว่า

8. คุณสมบัติของรากที่ n ของจำนวนจริง 1. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงที่มีรากที่ n แล้ว 2. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงที่มีรากที่ n และ b ≠ 0 แล้ว 3. ถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ n ≥ 2 แล้ว 3.1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ 3.2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกคู่

9. ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงหาค่าของ 2 . 1 . 4. ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ เป็นจำนวนจริง และ m เป็นจำนวนเต็มที่ m ≥ 2 และทำให้ เป็นจำนวนจริงแล้ว ตัวอย่างที่ 4 กำหนด a เป็นจำนวนจริง จงหาค่าของ 1. 2. 3.

10. ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ 1. 2. 3. 4. 5. ตัวอย่างที่ 6 ถ้า a ≥ 0 และ b ≥ 0 จงจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่ายของ 1. 2.

11. การหาผลบวก ผลต่าง ผลคูณและผลหารของกรณฑ์ การหาผลบวก ผลต่างของกรณฑ์ ต้องเป็นกรณฑ์เดียวกัน และค่าภายในกรณฑ์ก็ต้องเหมือนกันจึงนำเอาสัมประสิทธิ์ หน้ากรณฑ์มาบวกลบกันได้เลย จำ ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ 1. 2.

12. การหาผลคูณ ผลหารของกรณฑ์ 1. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงที่มีรากที่ n แล้ว จำ ถ้า อันดับของกรณฑ์ไม่เท่ากัน ต้องทำให้เป็นกรณฑ์อันดับเดียวกันก่อน 2. ถ้า a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง เป็นจำนวนจริงแล้ว 2.1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่ 2.2 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ และ a ≥ 0

13. ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลคูณของ 2. 1. 3. 4. 5. 6.

14. เทคนิค การหาผลหารของกรณฑ์ เทคนิคที่ 1 : ส่วนมีกรณฑ์เพียงตัวเดียว เช่น ทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ โดยนำ คูณข้างบนและข้างล่างจะได้ ตัวอย่าง 9 จงหาผลหารของ (ทำส่วนไม่ติดกรณฑ์) 1. 2. 3. 4.

15. จากตัวอย่างที่ 9 ข้อ 4 สรุปได้ว่า การทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ ของ ทำส่วนให้ไม่ติดกรณฑ์ต้องคูณด้วย ตัวอย่าง 10 จงทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ 1. 2. 3. 4.

16. เทคนิคที่ 2 : ส่วนมีกรณฑ์อันดับที่ 2 2 พจน์ บวก หรือลบกัน เช่น แก้โดยใช้หลักการที่ว่า และ (น+ล)(น-ล) = น2 – ล2 ซึ่งเรียกคู่ของ (น+ล) กับ (น-ล) ว่าเป็นคู่สังยุค กัน ดังนั้นการทำตัวส่วนไม่ติดกรณ์ นั้นทำได้โดยคูณคู่สังยุคของตัวส่วนท้งข้างบนและข้างล่าง

17. จงทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ ตัวอย่างที่ 11 1. 2. เทคนิคที่ 3 : ส่วนมีกรณฑ์อันดับที่ 3 แก้โดย ใช้หลักผลบวกหรือผลต่าง กำลัง 3 ที่ว่า น3-ล3 = (น-ล)(น2 + นล + ล2) น3+ล3 = (น+ล)(น2 - นล + ล2) โดยนำ (น-ล) หรือ (น+ล) คูณทั้งเศษ และส่วน

18. ตัวอย่างที่ 12 จงทำตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ 1. 2.

19. การหารากที่ 2 ของนิพจน์ที่อยู่ในรูป ตัวอย่างที่ 13 วิธีทำ

20. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ บทนิยาม : ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ a เป็นจำนวนจริงที่มีรากที่ n แล้ว บทนิยาม : ให้ m,n เป็นจำนวนเต็มโดยที่ n > 0 ที่ (m,n) = 1 ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้หาค่า ได้ จะได้ว่า โดยที่ m ≥ 0 และ a≠ 0

21. บทนิยาม : ถ้า m,n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ หาค่าได้ แล้ว จากบทนิยาม แสดงว่า ตัวอย่างที่ 14 จงหาค่าของ

22. สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะสมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ให้ m,n เป็นจำนวนตรรกยะ และ am , an , bn เป็นจำนวนจริงจะได้ 1. aman = am+n 2. 3. 4. 5.

23. โจทย์หาค่าเลขยกกำลัง แบบที่ 1 การหาค่าเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน เช่น ให้หา แก้โดยการจัด □ ให้เป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น n ให้ได้ ถ้าทำได้ จำ ตัวอย่างที่ 15 จงหาค่าของเลขยกกำลังต่อไปนี้ 1. 2.

24. ตัวอย่างที่ 16 จงหาค่าของ แบบที่ 2 การหาค่าเลขยกกำลังด้วยการดึงตัวร่วม วิธีทำ

25. แบบที่ 3 การหาค่าเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังด้วยสูตรกำลังสองสัมบูรณ์ ผลต่างกำลังสอง ผลบวก และผลต่างกำลังสาม ตัวอย่างที่ 17 ถ้า a > 0 และ an – a-n = 3 แล้ว a2n – a-2nมีค่าเท่าใด ตัวอย่างที่ 18 ถ้า a > 0 และ a + a-1 = 5 แล้ว a3 + a-3มีค่าเท่าใด สูตรลัด แล้ว แล้ว

26. ตัวอย่างที่ 19 กำหนด 2-2x = 25 จงหาค่าของ 23x + 1 แบบที่ 4 การหาค่าของเลขยกกำลังด้วยการใช้ สมบัติของเลขยกกำลังต่าง ๆ กำหนด 32x = 22y=6-2zจงหาค่าของ ตัวอย่างที่ 20

27. โจทย์แก้สมการเลขยกกำลัง แบบที่ 1 ถ้าตัวแปรอยู่ที่ฐานของเลขยกกำลัง และ a เป็นจำนวนจริง แก้สมการโดยทำให้เลขชี้กำลังของ p(x) เป็น 1 ให้ได้ ด้วยการยกกำลัง ทั้งสองข้าง แล้วก็หาค่าตัวแปร x ต่อไปได้เลย ตัวอย่างที่ 21 จงแก้สมการ

28. แบบที่ 2 ถ้าตัวแปรอยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์ที่สอง เมื่อแก้หาค่าตัวแปร แล้ว ก่อนตอบต้องตรวจคำตอบทุกครั้ง นั่นคือ ต้องทำให้ค่าภายในกรณฑ์ที่สองทุกเทอมมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างที่ 22 จงแก้สมการ จงแก้สมการ ตัวอย่างที่ 23

29. แบบที่ 3 ถ้าตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง a f(x) = a g(x) ,a > o และ a ≠ 1 สรุปได้ว่า f(x) = g(x) ตัวอย่างที่ 24 จงแก้สมการต่อไปนี้ 1. 2.

30. การหาค่ารากที่ n การหาค่ารากที่สอง 1. โดยวิธีแยกตัวประกอบ จัดกลุ่มเป็นจำวนยกกำลังสอง 225 = 3355 = (35)2 = 152 ดังนั้น รากที่สองของ 225 คือ 15 และ -15 2. โดยวิธีแบ่งช่วง นำเสนอ 2 วิธีย่อย ตามขั้นตอนดังนี้ 2.1 วิธีที่ 1 แบ่ง เป็น 10 ช่วง ขั้นที่ 1 หาจำนวนจริงสองจำนวนเรียงกัน ที่กำลังสองของจำนวนจริงทั้งสองนั้นมีค่าน้อยกว่า และมากกว่าจำนวนที่ต้องการหารากที่สอง เช่นต้องการหาค่าหลักรากที่สองของ 5 จำนวนจริงสองจำนวนจะเป็น 2 และ 3

31. โดยที่ 22 = 4 และ 32 = 9 แสดงว่า มีค่าอยู่ระหว่าง 2 กับ 3 หาจำนวนจริงที่มากกว่า 2 แต่น้อยกว่า 3 ที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 5 โดยแบ่งเป็น 10 ช่วง ดังนี้ ขั้นที่ 2 (2.1)2 = 4.41, (2.2)2 = 4.84 , พิจารณาจาก 2.1 , 2.2 , 2.3 , …., 2.9 จะได้ว่า (2.3)2 = 5.29 ดังนั้น มีค่าอยู่ระหว่าง 2.2 กับ 2.3 หาจำนวนจริงที่มากกว่า 2.2 แต่น้อยกว่า 2.3 ที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 5 โดยแบ่งเป็น 10 ช่วง ดังนี้ ขั้นที่ 3 พิจารณาจาก 2.21 , 2.22 , 2.23 , …., 2.29 จะได้ว่า (2.21)2 = 4.8841, (2.22)2 = 4.9284, (2.23)2 = 4.9729 , (2.24)2 = 5.0176

32. ดังนั้น มีค่าอยู่ระหว่าง 2.23 กับ 2.24 ขั้นที่ 4 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 3 มาแบ่งออกเป็น 10 ช่วง เช่นเดียวกับขั้นที่ 2 และ 3 ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ค่ารากที่สองของจำนวนที่ ต้องการหารากที่สองตามตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการ หาจำนวนจริงที่มากกว่า 2.23 แต่น้อยกว่า 2.24 ที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าใกล้เคียง 5 โดยแบ่งเป็น 10 ช่วง ดังนี้ พิจารณาจาก 2.231 , 2.232 , 2.233 , …., 2.239 จะได้ว่า (2.234)2 = 4.990756 (2.235)2 = 4.995225 , (2.236)2 = 4.999696, (2.237)2= 5.004169 ถ้าต้องการตอบเป็นทศนิยมสามตำแหน่ง ดังนั้น มีค่าประมาณ 2.236

33. 2.2 วิธีที่ 2 แบ่ง เป็น 2 ช่วง ขั้นที่ 1 หาจำนวนจริงสองจำนวนเรียงกัน ที่กำลังสองของจำนวนจริงทั้ง สองนั้นมีค่าน้อยกว่า และมากกว่าจำนวนที่ต้องการหารากที่สอง เช่นต้องการหารากที่สองของ 5 จำนวนจริงสองจำนวนจะเป็น 2 และ 3 โดยที่ 22 = 4 และ 32 = 9 แสดงว่า มีค่าอยู่ระหว่าง 2 กับ 3 ขั้นที่ 2 นำจำนวนเต็มทั้งสองที่หาได้ในขั้นที่ 1 มาหาค่าเฉลี่ย และเนื่องจาก จะได้ ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2 แต่ไม่ถึง 2.5

34. ขั้นที่ 3 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 2 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2 แต่ไม่ถึง 2.25 ขั้นที่ 4 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 3 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.125 แต่ไม่ถึง 2.25

35. ขั้นที่ 5 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 4 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.1875 แต่ไม่ถึง 2.25 ขั้นที่ 6 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 5 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.219 แต่ไม่ถึง 2.25 ขั้นที่ 7 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 6 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.235 แต่ไม่ถึง 2.25

36. ขั้นที่ 8 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 7 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.235 แต่ไม่ถึง 2.243 ขั้นที่ 9 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 8 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.235 แต่ไม่ถึง 2.239 ขั้นที่ 10 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 8 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ดังนั้น มีค่าประมาณมากกว่า 2.235 แต่ไม่ถึง 2.237

37. ขั้นที่ 11 นำจำนวนทั้งสองที่หาได้จากขั้นที่ 10 มาหาค่าเฉลี่ย จะได้ และเนื่องจาก ถ้าต้องการค่าของรากที่สองของ 5 ที่มีทศนิยมสามตำแหน่ง ก็ไม่ต้องทำขั้นต่อไป ดังนั้น มีค่าประมาณ2.236 ข้อสังเกต ได้ว่า ถ้าแบ่งเป็น 10 ช่วงจะได้ผล เร็วกว่าแบ่งเป็น 2 ช่วง

38. 3. โดยวิธีตั้งหาร ดำเนินการดังนี้ ขั้นที่ 1 แบ่งกลุ่มตัวเลขของจำนวนที่ต้องการหารากที่สองโดยส่วนของจำนวนเต็มแบ่งจากขวาไปซ้ายส่วนของทศนิยมแบ่งจากซ้ายไปขวากลุ่มละ 2 ตัว เช่น ต้องการหารากที่สองของ 3 15 . 42 6 ขั้นที่ 2ตั้งหารโดยการหาตัวเลข 2 ตัวที่เท่ากันคูณกันได้เท่ากับหรือน้อยกว่าตัวเลขที่อยู่กลุ่มซ้ายสุด หาเศษเหลือและชักเลขสองหลักในกลุ่มถัดไปลงมา ขั้นที่ 3เอา 2 คูณผลลัพธ์ที่ได้นำมาเป็นตัวต้นของตัวหารครั้งต่อไป โดยหาเลข 0 ถึง 9 มาต่อท้าย ให้ผลคูณของตัวหารทั้งหมดกับตัวต่อท้ายมีค่าเท่ากับหรือน้อยกว่าเศษเหลือและเลขสองหลักที่ชักลงมา

39. ขั้นที่ 4 ทำเช่นเดียวกันกับขั้นที่ 2 และ 3 ไปเรื่อย ๆ จนได้จำนวนที่เป็นรากที่สองที่มีทศนิยมตามต้องการ . 1 7 6 7 3 15 . 42 6 1 1 ดังนั้นรากที่สองของ 315.426 มีค่าประมาณ 17.8 และ -17.8 27 2 15 1 89 347 26 42 24 29 3546 2 13 60 2 12 76 84

40. 4. โดยวิธีดูจากตารางตรงช่อง การหาค่ารากที่ n เมื่อ n ≥ 2 ก็สามารถหาได้โดยวิธีที่กล่าวมา ( ยกเว้นวิธีตั้งหารยาว )

41. ตัวอย่างที่ 8 ในหนังสือหน้า 15 การหาอัตราเงินเฟ้อคำนวณจากราคาสินค้าโดยใช้สูตร ถ้า p = 80,000 บาท q = 500,000 บาท n =12 ปี จากสูตร จะได้

42. เนื่องจาก (1.165)3 1.581 นั่นคือ ค่าประมาณของ คือ 1.165 และจะได้ว่า สรุปได้ว่า อัตราเงินเฟ้อ ซึ่งประมาณจากราคาที่ดินซึ่งปัจจุบันมีราคา 500,000 บาท เท่ากับ 0.165 หรือ 16.5 %

43. ตัวอย่างที่ 9 ในหนังสือหน้า 16 สูตร การหาจำนวนเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย A คือ จำนวนเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย P คือ เงินต้นที่กู้ยืมจากธนาคาร r คือ อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี t คือ จำนวนปีที่กู้ โจทย์ ให้ P = 900,000 r = 8.5 % และ t = 2.5

44. จะได้ ดังนั้น จำนวนดอกเบี้ยที่ต้องจ่ายกับธนาคารเมื่อครบกำหนด 2 ปี 6 เดือน คื 1,103,400 – 900,000 = 203,400 บาท

45. ตัวอย่างที่ 10 ในหนังสือหน้า 17 ถ้า r คือ ความยาวของรัศมีของทรงกลมมีหน่วยเป็นเซนติเมตร และ V คือ ปริมาตรของทรงกลมมีหน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร สูตร หา รัศมี ของทรงกลม อยากทราบว่า ทรงกลมซึ่งมีปริมาตร 1,000 ลบ.ซม. จะมีรัศมียาวเท่าใด กำหนดให้ V = 1,000 ลบ.ซม. และ ให้

46. จะได้ หรือ ทำการหาค่าประมาณของ ได้ดังนี้ จาก 63 = 216 และ 73 = 343 แสดงว่า มีค่าอยู่ระหว่าง 6 และ 7 พิจารณา 6.1 , 6.2 , 6.3 , …., 6.8 , 6.9 เนื่องจาก (6.2)3 = 238.328 และ (6.3)3 = 250.047 ดังนั้น มีค่าระหว่าง 6.2 กับ 6.3 พิจารณา 6.21 , 6.22 , 6.23 , …., 6.28 , 6.29 เนื่องจาก (6.21)3 = 239.483 ดังนั้น รัศมีของทรงกลม มีความยาวประมาณ 6.2 เซนติเมตร