Zeitreihenanalyse
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Zeitreihenanalyse M.Wagner. Einführung. Zeitreihe: (zeitabhängige) Folge von Datenpunkten Datenpunkte können 1- oder auch d- dimensional sein Typische Zeitreihen weisen regelmäßiges (Trend, Saison) & zufälliges Verhalten auf.

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Presentation Transcript

Einf hrung
Einführung

  • Zeitreihe:

    • (zeitabhängige) Folge von Datenpunkten

    • Datenpunkte können 1- oder auch d- dimensional sein

    • Typische Zeitreihen weisen regelmäßiges (Trend, Saison) & zufälliges Verhalten auf

monatlichen Zeitreihe der Anzahl der tödlichen Verkehrsunfälle in Deutschland Anfang 1991

Statistisches Bundesamt, Wiesbaden


Einf hrung1
Einführung

  • Zeitreihe:

    • Zeitlich komplex

      Komplexe Strukturen werden beschrieben durch

      Frage:

    • Beispiel: Verkehr


Einf hrung2
Einführung

  • Zeitreihe:

    • Räumlich komplex:

      Komplexe Strukturen können durch lokale Unordnung beschrieben werden, z.B. durch skalenabhängige Größen

      Inkrement q(l,x)

    • Beispiel: Turbulenz, Finanzmarkt


Einf hrung3
Einführung

  • Fokker-Planck-Gleichung

    D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix

    Beschreibt die zeitliche Entwicklung der Übergangswahrscheinlichkeit

Zeitreihenanalyse

Billeter/Vlach


Einf hrung4
Einführung

  • Langevin Gleichung

    D(1): Driftvektor; D(2): Diffusionsmatrix

    Beschreibt die Entwicklung einer möglichen Trajektorie

Brown‘sche Bewegung


Stochastische prozesse
Stochastische Prozesse

  • Aus der Langevin-Gleichung erhält man

    mit X(t): Zustandsvektor des d-dimensionalen Phasenraums {x}

    N: (nichtlineare) Funktion

  • Integration über kleine, aber endliche Zeitinkremente t liefert

    Problem: t zwar klein, aber immer noch groß gegen Fluktuationen G


Stochastische prozesse1
Stochastische Prozesse

  • Mit dem Zentralen Grenzwertsatz folgt:

    mit h(t): gaußverteilte, statistisch unabhängige Zufallsvariable mit Mittelwert 0

  • Es bleibt also:


Stochastische prozesse2
Stochastische Prozesse

  • Markov-Prozesse

    • Wichtige Klasse von stochastischen Prozessen

    • Wahrscheinlichkeit d. zukünftigen Zustandes unabhängig von der Vergangenheit des Systems

    • Wahrscheinlichkeit hängt nur von der Gegenwart ab

    • Damit ergibt sich für die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung f:

    • Kenntnis der Übergangswahrscheinlichkeiten zusammen mit der Anfangswahrscheinlichkeitsverteilung reicht aus, um die N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen


Stochastische prozesse3
Stochastische Prozesse

  • Bisher: Übergangswahrscheinlichkeit für infinitesimale Zeitdifferenzen ti - ti-1 = t

  • Frage: Übergangswahrscheinlichkeiten p(x,t | x‘,t‘) für t – t‘ >> t

  • Lösung: direkt aus der Fokker-Planck-Gleichung


Stochastische prozesse4
Stochastische Prozesse

  • Es gilt:

  • Definition:


Stochastische zeitreihenanalyse
Stochastische Zeitreihenanalyse

  • Ziel: das zugrundeliegende deterministische System in Form von DGL zu bestimmen

    • In der Regel nicht möglich

  • Analyse von Zeitreihen von Stochastischen Systemen mit Markov-Eigenschaften wie folgt:

    • Überprüfen der Markov-Eigenschaften

    • Bestimmen der Übergangswahrscheinlichkeiten

    • Rekonstruktion der Daten


Stochastische zeitreihenanalyse1
Stochastische Zeitreihenanalyse

  • Markov-Eigenschaften überprüfen

    • Im Allgemeinen schwer

    • Für kleine Inkremente t sind Markov-Eigenschaften oft verletzt

      • Rauschen korreliert

      • Messrauschen zerstört Markov-Eigenschaften

    • Dennoch gibt es verschiedene Methoden

      • Direkte Bestimmung

      • Überprüfen der Chapman-Kolmogorov Gleichung (notw. Bed.)


Stochastische zeitreihenanalyse2
Stochastische Zeitreihenanalyse

  • Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung

    • Driftvektor & Diffusionsmatrix sind 1. & 2. Moment der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung

    • Diese lassen sich wie folgt direkt aus den experimentellen Daten bestimmen:

      • Daten im d-dimensionalen Phasenraum darstellen

      • Phasenraum in kleine, aber endliche d-dimesionale Volumina a um xa unterteilen

      • Bestimme alle x(tj+1) - x(tj) für jede Partition a


Stochastische zeitreihenanalyse3
Stochastische Zeitreihenanalyse

  • Bestimmen der bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilung

    • Nun lassen sich Driftvektor und Diffusionsmatrix am Ort xa direkt bestimmen

    • Wie wir wissen, gilt:

    • Entsprechend für D(2)

    • Ergebnis hängt entscheidend von der Größe der Partitionen ab

    • Möglichst klein -> bessere Auflösung

    • Die Daten sollten einen „Limes t -> 0“ erlauben


Anwendungen
Anwendungen

  • Verkehrsfluss

    • Viel-Teilchen-Problem

    • Theoretische Modelle basieren auf einem sog. fundamentalen Schema, das besagt q = Q(v)

    • Sehr viele Daten verfügbar

    • Gemessen werden Geschwindigkeit v & Frequenz q = pv

    • Messung an einer festen Stelle auf dem Highway

    • Annahme: Dynamik wird beschrieben durch stochastische DGL


Anwendungen1
Anwendungen

  • Bei Berücksichtigung der Daten aller drei Spuren:

    2 stabile Fixpunkt, 1 Sattelpunkt

  • Die Daten sind ein Indiz für für die Existenz des fundamentalen Schemas q = Q(v)

  • Betrachtet man nun ausschließlich Vans (rechte Seite des Highways): 1 Fixpunkt und:

  • Ab ca. 80 km/h ist ein metastabiles Plateau erreicht, welches eine quasi interaktionsfreie Dynamik beschreibt.

  • Verkehrsfluss

Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points.

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen2
Anwendungen

  • Verkehrsfluss

Deterministic dynamics of the twodimensional traffic states (q, v) given by the drift vector for (a) right lane of freeway with vans and (b) all three lanes.Bold dots indicate stable fixed points and open dots saddle points.

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen3
Anwendungen

  • Stromkreis mit Rauschen

    • Elektrischer Stromkreis mit chaotischem Verhalten

    • Dynamik wird beschrieben durch einen gedämpften Oszillator mit nichtlinearer Energiezufuhr und Rauschen

    • 100 000 Datenpunkte wurden analysiert und dann mit den errechneten verglichen.

    • Die Dynamik wird beschrieben durch


Anwendungen4
Anwendungen

  • Xi: Spannungsterm

  • Daten wurden analysiert

  • Die Dadurch bestimmte deterministische Dynamik entspricht einem Vektorfeld im 3 Dimensionalen Phasenraum

  • Für die Darstellung wurden 2d- und 1d-Schnitte gewählt

  • Stromkreis mit Rauschen

Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen5
Anwendungen

  • Stromkreis mit Rauschen

Trajectory for the Shinriki oscillator in the phase space without noise

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar

Cuts of the function D(1)(x) reconstructed from experimental data of

the electric circuit in comparison with the expected functions according to the known differential (eqn. (75),(76)). In part a the cut g1(X1,X2), g2(X1,X2,X3 = 0) is shown as a two-dimensional vector field. Thick arrows represent values determined by data analysis, thin arrows represent the theoretically expected values. In areas of the state space where the trajectory did not show up during the measurement no estimated values for the functions are obtained. Figure b shows the one dimensional cut g1(X1,X2 = 0). Crosses represent values estimated numerically by data analysis. Additionally, the affiliated theoretically curve is printed as well

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen6
Anwendungen

  • Skalen-Prozesse

    • Wahrscheinlichkeitsverteilung:

    • Oft multifraktales Verhalten

      • Haben die selbe Statistik

      • Wird durch multifraktale Skalierung beschreiben


Anwendungen7
Anwendungen

  • Turbulenz

    • Betrachte Inkremente

    • Statistische Beschreibung durch:

    • Für stationäre, homogene und isotrope Turbulenz:


Anwendungen8
Anwendungen

  • Von oben nach unten:

    • l = L0, 0.6L0, 0.35L0, 0.2L0 and 0.1L0

    • Intermittenz

    • Für große l gaußverteilt

    • Bei kleinen l treten heftige Ereignisse öfter auf

    • Ähnliches Verhalten bei Finanzmarktdaten

  • Turbulenz

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen9
Anwendungen

  • Wechselkurs-Inkremente Dollar-DM 1992 & 1993

  • q(t,t) =Y (t + t) − Y (t)

  • Von unten nach oben

    • t = 5120, 10240, 20480, 40960s

  • Bestimmung des zugrundeliegenden Prozesses ist ein ähnlich prominetes Rätsel, wie bei Turbulenz

  • Finanzmarkt

Complexity in the View of Stochastic Processes

authors: R. Friedrich, J. Peinke and M. Reza Rahimi Tabar


Anwendungen10
Anwendungen

  • Finanzmarkt

  • Berechnete Übergangswahrscheinlichkeiten stimmen gut mit den experimentellen Daten überein

  • Ab einer gewissen Schrittgröße können Turbulenz und Finanzmarkt-Dynamik als Markov-Prozess betrachtet werden

  • Drift und Diffusion sind Skalenabhängig und nichtstationär

  • Beschreibung von q(x,l) für festes l kein adäquates Mittel

Comparison of the numerical solution of the Fokker-Planck equation

for the conditional pdf p(q, l|q0, l0) denoted in this figure as p(v, r|v0, r0) with the

experimental data.

Cuts through p(v, r|v0, r0) for v0 = +σ∞ and v0 = −σ∞ respectively.

Open symbols: experimental data, solid lines: numerical solution of the Fokker-

Planck equation


Quellen
Quellen

  • Importance of Fluctuations:

    Complexity in the View of Stochastic Processes

    R. Friedrich, J. Peinke, M. Reza Rahimi Tabar

  • Zeitreihenanalyse

    Kreiß, Neuhaus

  • Zeitreihenanalyse

    Billeter, Vlach



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