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1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 . 2. 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式 .

1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 . 2. 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式 . 3. 通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明 . 4. 掌握正弦定理、余弦定理 , 并能解决一些简单的三 角形度量问题 . 5. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题. 学案 11 三角变换与解三角形. 1.(2009· 江西 ) 若函数

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1. 同角三角函数的基本关系式 , 正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式 . 2. 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式 .

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  1. 1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切、1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切、 余切的诱导公式. 2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角 的三角函数公式. 3.通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化 简、求值与证明. 4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三 角形度量问题. 5.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题. 学案11 三角变换与解三角形

  2. 1.(2009·江西)若函数 则f(x)的最大值为 ( ) A.1 B.2 C. D. 解析 当x= 时,函数取得最大值为2. B

  3. 2.(2009·广东)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分 别为a,b,c,若a=c= 且∠A=75°,则b等于 ( ) A.2 B. C. D. 解析 因sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°cos 30°= 由a=c= 可知,∠C=75°, 所以∠B=30°,sin B= . 由正弦定理得 A

  4. 3.(2009·全国Ⅱ)已知△ABC中,tan A= ,则 cos A等于 ( ) A. B. C. D. 解析 D

  5. 4.(2009·全国Ⅰ)若 则函数y=tan 2xtan3x 的最大值为____. 解析 -8

  6. 题型一 已知三角函数求值 【例1】(2009·广东)已知向量a=( ,-2)与b=(1, )互相垂直,其中 (1)求 的值； 解(1) ∵a与b互相垂直,∴a·b=

  7. 【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题 时，首先根据条件限定某些角的取值范围,由范围进 而确定出三角函数值的符号,还应注意公式的正用与 逆用及变形应用,根据条件还要注意适当拆分角、拼 角等技巧的应用.

  8. 变式训练1已知 (1)求sin x的值； 解

  9. 题型二 三角函数与解三角形 【例2】(2009·四川)在△ABC中,A,B为锐角,角A, B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A= sinB= (1)求A+B的值； (2)若a-b= 求a,b,c的值. 解 (1)∵A、B为锐角,sin B= ∴cos B= 又cos 2A=1-2sin2A=

  10. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

  11. 【探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关【探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关 系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力.在求解三角形的面积时， 应注意面积的表达式有几种不同表达方式，应灵活 选择.

  12. 变式训练2在△ABC中,sin(C-A)=1,sin B= (1)求sin A的值； (2)设AC= ,求△ABC的面积. 解

  13. (2)如图所示,由正弦定理得 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

  14. 题型三 向量与解三角形 【例3】(2009·湖南)在△ABC,已知 求角A,B,C的大小. 解　设BC=a,AC=b,AB=c，

  15. 【探究拓展】解答这一类问题,首先要保证向量运算【探究拓展】解答这一类问题,首先要保证向量运算 必须正确,否则,反被其累,要很好的掌握正、余弦定 理的应用的条件及灵活变形,方能使问题简捷解答.

  16. 变式训练3 (2009·江西)在△ABC中,A、B、C所对 的边分别为a、b、c， (1)求C； (2)若 求a,b,c. 解

  17. 题型四 解三角形与实际问题 【例4】(2009·海南)如图,为了解某海域海底构造， 对海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量.已 知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B 处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,求 ∠DEF的余弦值.

  18. 解 作DM∥AC交BE于N,交CF于M. 在△DEF中,由余弦定理得 【探究拓展】对几何中的计算问题,往往通过正、余 弦定理把几何问题转化成三角函数问题,再通过解三 角函数达到求解三角形问题的目的.

  19. 变式训练4如图所示,扇形AOB,圆 心角∠AOB=60°,半径OA=2,在弧 AB上有一点P,过点P做平行于OB 的直线交OA于点C,设∠AOP= 求△COP面积的最大值及此时 的值. 解 因为∠AOB=60°且CP∥OB,所以∠OCP=120°, 则在△OCP中， OP2=OC2+CP2-2·OC·CP·cos 120° =OC2+CP2+OC·CP， 又因OC2+CP2≥2OC·CP,所以OP2≥3OC·CP,

  20. 又OP=OA=2,即OC·CP≤ 所以S△COP= OC·CP·sin 120° = OC·CP≤ 即(S△COP)max= 此时OC=CP， 又∠OCP=120°,所以 =∠AOP=30°.

  21. 【考题再现】 (2009·山东)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若 且C为锐角,求sin A.

  22. 【解题示范】 f(x)取得最大值,[f(x)]最大值= f(x)的最小正周期 故函数f(x)的最大值为 最小正周期为  6分

  23. 因此sin A=sin[ -(B+C)]=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C

  24. 1.解三角形常见类型及解法:(1)已知一边和两角，用1.解三角形常见类型及解法:(1)已知一边和两角，用 正弦定理求解,在有解时只有一解;(2)已知两边和夹 角,用余弦定理或正弦定理求解,在有解时只有一解; (3)已知三边,用余弦定理求解，在有解时只有一解; (4)已知两边和其中一边的对角，用余弦定理或正弦 定理求解,可有两解、一解或无解. 2.应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步 骤:(1)分析:理解题意,分清已知与待求,并画出示意 简图;(2)建模：根据条件与所求的目标,把已知量与 待求量尽量集中在有关三角形中,建立解斜三角形的

  25. 数学模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的数学模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形,求得数学模型的解；(4)检验:检验上述所 求解是否有实际意义，进而得出实际问题的解. 3.在△ABC中常用关系：(1)a＞b＞c A＞B＞C sin A＞sin B＞sin C;(2)A、B、C成等差数列 B=60°;(3)2b=a+c或b2=a·c 0°＜B≤60°.

  26. 一、选择题 1.函数f(x)=sin2x+ sin xcos x在区间 上的最 大值是 ( ) A.1 B. C. D. 解析 C

  27. 2.(2009·辽宁)已知 等于 ( ) A. B. C. D. 解析 D

  28. 3.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,则x的取值范 围是 ( ) A.1＜x＜5B. C. D. 解析　①若3是最大边,则32＜x2+22,即　＜x≤3, ②若x是最大边,则x2<32+22,即3≤x＜　 . 由上可知 B

  29. 4.已知a、b、c是△ABC的三条对应边,若满足(a+b+c)4.已知a、b、c是△ABC的三条对应边,若满足(a+b+c) ·(a+b-c)=3ab,且sin A=2sin Bcos C,那么△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 因为(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab, 则 所以∠C=60°, 又sinA=2sin Bcos C,则sin A=sin B,即∠A=∠B. ∴△ABC为等边三角形. D

  30. 5.在△ABC中,若(sin A+sin B):(sin B+sin C): (sin C+sin A)=4:5:6,则∠C的值为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知:(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6, 则a:b:c=5:3:7,令a=5k,b=3k,c=7k (k＞0), C

  31. 6.在△ABC中,若有一个内角不小于120°,则最长边 与最短边之比的最小值是 ( ) A. B. C.2 D. 解析 设∠C≥120°,则c为最大边,设a为最小边， 则A≤B,所以A+B=180°-C,∴A∈(0, ], B

  32. 二、填空题 7.(2009·湖南)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则 的值等于____,AC的取值范围为___________. 解析 由正弦定理:

  33. 答案 2 8.在△ABC中,∠C=60°,a、b、c分别为A、B、C的对 边，则 =_____. 解析 由余弦定理可知:a2+b2=c2+ab, 1

  34. 9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D上9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D上 任意的x1,x2,…,xn,都有: 现已知y=sin x在[0, ]上是凸 函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值 是____. 解析 由题意可知： 所以sin A+sin B+sin C的最大值是

  35. 10.在△ABC中，AC=2BC,若AB=3,则△ABC的最大面 积为____. 解析 如图,作CD⊥AB或其延长线于D， 设BC=m,CD=h,BD=t, 则4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,∴m2=2t+3, 当且仅当t=1时,(S△ABC)max=3. 3

  36. 三、解答题 11.(2009·全国Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长 分别为a、b、c,cos(A-C)+cos B= b2=ac,求B. 解 由cos(A-C)+cos B= 得cos(A-C)-cos(A+C)= cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C- sin Asin C)= sin Asin C= 又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C, 故sin2B= sin B= 或sin B= (舍去), 于是B= 或B= 又由b2=ac知b≤a或b≤c,所以B=

  37. 12.(2009·江西)在△ABC中,角A、B、C所对的边分 别为a,b,c.且 sin(B-A)=cos C. (1)求A,C； (2)若S△ABC= 求a,c. 解 (1)因为 所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos C ·sin B,即sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B- sin Ccos B, 得sin(C-A)=sin(B-C). 所以C-A=B-C或C-A= -(B-C)(不成立)，

  38. 返回

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