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Vereinfachende Annahmen: Unabhängigkeit der Stochastik von EaD, PD und LGD Erwarteter Verlust beim Schuldner i: PowerPoint Presentation
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Portfolioverlustverteilung Erwarteter und unerwarteter Verlust eines Schuldners. Vereinfachende Annahmen: Unabhängigkeit der Stochastik von EaD, PD und LGD Erwarteter Verlust beim Schuldner i: Im folgenden bezeichne die Zufallsvariable L die stochastische Verlustquote. Es gilt: L = 1 – d

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Presentation Transcript
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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter und unerwarteter Verlust eines Schuldners

  • Vereinfachende Annahmen:
    • Unabhängigkeit der Stochastik von EaD, PD und LGD
  • Erwarteter Verlust beim Schuldner i:
  • Im folgenden bezeichne die Zufallsvariable L die stochastische Verlustquote.
  • Es gilt: L = 1 – d
  • Es gilt:
  • Es gilt:
  • Es gilt:
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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter und unerwarteter Verlust eines Schuldners

  • Preis einer risikobehafteten Anleihe
  • Mögliche zufällige Rückzahlung (diskontiert auf Zeitpunkt t)
  • Es gilt (mit ):
  • Unerwarteter Verlust: Definition als Varianz der (diskontierten) möglichen zufälligen Rückzahlung

(Vgl. Ong)

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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene

  • Ein Portfolio bestehe aus N risikobehafteten Assets indiziert mit i = 1,2, ..., N
  • Erwarteter Verlust auf Portfolioebene
    • Der Expected Loss auf Portfolioebene ergibt sich additiv aus dem Expected Loss auf Schuldnerebene.
  • Unerwarteter Verlust auf Portfolioebene
    • Hierfür werden Gewichte für die einzelnen Assets eingeführt, die den Anteil am Gesamtportfolio beschreiben:
    • Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist definiert als Wurzel aus der Varianz des Portfolioexposures
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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene

  • Für den unerwarteten Verlust gilt bei deterministischem LGD (sL2 = 0):
  • Die Größe rij bezeichnet die Ausfallkorrelation zwischen Asset i und Asset j.
  • Näheres zur Ausfallkorrelation im weiteren Verlauf der Vorlesung
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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene

  • Herleitung der Formel für den unerwarteten Verlust (Notation: ; LGD determinist.):
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Portfolioverlustverteilung

Erwarteter Verlust und unerwarteter Verlust auf Portfolioebene

  • Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene setzt sich nicht additiv aus dem unerwarteten Verlust der einzelnen Assets zusammen. Da die Ausfallkorrelationen typischerweise deutlich kleiner als 1 sind, gilt:
  • Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist also deutlich kleiner als die Summe der individuellen unerwarteten Verluste.
  • Ursache sind Diversifikationseffekte auf Portfolioebene.
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Gesucht ist eine Größe auf Schuldnerebene, die sich bei Summation über alle Assets des Portfolios zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene addiert.
  • Die Größe wird als Risikobeitrag bezeichnet.
  • Da das Quadrat des unerwarteten Verlustes auf Portfolioebene der Varianz des Portfoliowerts entspricht, wird die Zerlegung von ULP in die einzelnen Risikobeiträge auch als Varianzzerlegung bezeichnet.
  • Zur Berechnung der einzelnen Risikobeiträge wird folgende Definition des Risikobeitrags verwendet („Eulersche Kapitalallokation“):
  • Der Risikobeitrag ist ein Sensitivitätsmaß. Das Verhältnis von Risikobeitrag eines Assets i zum unerwarteten Verlust eines Assets i gibt an, um wie viele GE sich der unerwartete Verlust des Portfolios ändert, wenn sich der unerwartete Verlust des Assets i um eine Geldeinheit erhöht.
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Berechnung des Risikobeitrags aus der Formel für ULP
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Der Risikobeitrag ist ein Maß für das undiversifizierte Risiko eines Assets im Portfolio.
  • Anschaulich kann der Risikobeitrag eines Assets als kleinste Einheit des Kreditrisikos eines Assets i im Portfolio betrachtet werden. Die Summe dieser Einheiten beschreibt das Gesamtrisiko des Portfolios, den ULP.
  • Problem: In der Praxis ist es schwierig, paarweise Ausfallkorrelationen für alle Schuldner eines Portfolios zu ermitteln.
    • Für ein Portfolio von N=100 Schuldnern existieren theoretisch N(N-1)/2=4950 paarweise Ausfallkorrelationen.
  • In der Praxis unterstellt man häufig bei der Kreditrisikomodellierung eine Struktur der Ausfallkorrelationen, die von Sektoren (Branchen, Regionen), nicht aber von einzelnen Schuldnern abhängt.
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Hierzu geht man aus von:
  • Man führt zwei Sektorindizes a und b ein.
  • Man verwendet das Ersetzungsschema
    • k => ind a
    • i => ind b
  • Es resultiert eine Beziehung für den Risikobeitrag, die von den Inter-Sektor-Korrelationen abhängt (Kreditnehmer k in Sektor a):
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Beispiel:
    • Exposure 1:
      • EAD1 = 8.250.000
      • PD1 = 0,15%
      • sPD1 = 3,87%
      • LGD1 = 50%
      • sLGD1 = 25%
      • EL1 = 6.188
      • U~L1 = 178.511
    • Exposure 2:
      • EAD2 = 1.740.000
      • PD2 = 4,85%
      • sPD2 = 21,48%
      • LGD2 = 35%
      • sLGD2 = 24%
      • EL2 = 29.537
      • U~L2 = 159.916
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Portfolioverlustverteilung

Risikobeiträge zum unerwarteten Verlust auf Portfolioebene

  • Beispiel (Forts.):
    • Portfolio = Exposure 1 + Exposure 2:
      • r = 3,00%
      • ELP = EL1 + EL2 = 35.724
      • RC1 + RC2 = ULP = 243.212
      • U~L1 + U~L2 >> ULP = 338.427
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Portfolioverlustverteilung

Übergang vom Asset-Wert zum Verlust

  • Im folgenden wird nur noch der stochastische Verlust aus einer Asset Position i betrachtet, der definiert ist als
  • Der quadrierte unerwartete Verlust auf Schuldner- und Portfolioebene kann analog zur bisherigen Vorgehensweise als Varianz der stochastischen Verlustvariablen definiert werden.
  • Da der Übergang von der Asset-Wert-Variablen zur Verlustvariablen lediglich eine konstante Verschiebung darstellt, können die Ergebnisse für den unerwarteten Verlust auf Schuldner- und Portfolioebene unverändert weiterverwendet werden.
  • Der potenzielle Verlust aus einem Portfolio mit n verschiedenen Kreditengagements kann durch die Zufallsvariable

dargestellt werden.

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Portfolioverlustverteilung

Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung

  • Die zufällige Portfolioverlustvariable hat mögliche Realisationen zwischen
    • falls sämtliche Schuldner nicht ausfallen und
    • falls sämtliche Schuldner ausfallen und Li deterministisch.
  • Für die Risikoanalyse ist insbesondere die Verlustverteilung, d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen von Bedeutung (neben den von der konkreten Verteilung unabhängigen Größen EL, UL und RC).
  • Sie ist u.a. Grundlage für die Berechnung von Risikomaßen wie dem Value-at-Risk.
  • Ist normalverteilt, so ist die Verteilung vollständig durch ELP und ULP, also durch die erwarteten und unerwarteten Verluste der einzelnen Schuldner sowie die paarweisen Ausfallkorrelationen beschrieben.
  • Bei anderen Verteilungen reichen diese Größen zur vollständigen Charakterisierung der Verteilung i.a. nicht aus.
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Portfolioverlustverteilung

Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen

  • Grundsätzlich wird im folgenden von einem LGD von 100% ausgegangen.
  • Im folgenden werden drei Annahmen betrachtet:
    • A1: stochastische Unabhängigkeit der Ausfallvariablen
    • A2: Homogenität der Ausfallbeträge: EAD1 = EAD2 = ... = EADn
    • A3: Homogenität der Ausfallwahrscheinlichkeiten: PD1 = PD2 = ... = PDn
  • Fall a) A1, A2 und A3 sind erfüllt
    • ObdA wird unterstellt: EADi = 1 und PDi = p für i = 1, ..., n
    • Der Verlust ist in diesem Spezialfall eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p
    • Dabei gilt:
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Portfolioverlustverteilung

Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen

  • Fall a) [Forts.]
    • Die Binomialverteilung kann für hinreichend großes n durch eine Normalverteilung approximiert werden:
    • Die Güte der Approximation ist um so schlechter, je weiter p von 0,5 entfernt ist.
    • Da für Anwendungen im Bereich der Kreditrisikomessung deutlich kleinere Werte von p typisch sind, bietet sich eine alternative Approximation durch die Poisson-Verteilung an:
  • Fall b) A1 und A2 sind erfüllt
    • Bei inhomogenen Ausfallwahrscheinlichkeiten ist eine Summe unabhängiger, aber nicht identisch verteilter Zufallsvariablen mit
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Portfolioverlustverteilung

Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen

  • Fall b) [Forts.]
    • Die Frage, ob die Portfolioverlustvariable näherungsweise normalverteilt ist, ist auch für sehr große n nicht trivial zu beantworten.
    • Aus der asymptotischen Statistik ergibt sich, dass für eine zunehmende Anzahl der Summanden mit einer asymptotischen Normalverteilung dann gerechnet werden kann, wenn keiner der Summanden dominierend wird.
    • Im vorliegenden Fall ist die Existenz von Schranken c und d mit 0 < c < Pdi <= d < 1 für alle Wahrscheinlichkeiten eine hinreichende Bedingung für die Verteilungskonvergenz der Summe gegen die Normalverteilung. Als Approximation bietet sich daher bei großer Anzahl von Summanden eine Normalverteilung mit den Parametern E( ) und var( ) an. Falls alle Wahrscheinlichkeiten klein sind, bietet sich die Approximation durch eine Poissonverteilung mit dem Parametern l=E( ) an.
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Portfolioverlustverteilung

Eigenschaften der Portfolioverlustverteilung unter bestimmten Annahmen

  • Fall c) A1 und A3 sind erfüllt
    • Bei stochastischer Unabhängigkeit, homogenen Ausfallwahrscheinlichkeiten und inhomogenen Ausfallbeträgen ergibt sich für den Verlust eine Linearkombination von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit
    • Die formalen Bedingungen, unter denen sich asymptotisch eine Normalverteilung einstellt, bedeuten anschaulich, dass keiner der Ausfallbeträge die anderen dominiert.
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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen

  • Annahme der Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist eine starke Idealisierung
  • Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist ggfs. näherungsweise im Retail-Geschäft (Kreditkartenforderungen, Baufinanzierungen, Verbraucherkredite) gerechtfertigt
  • Unabhängigkeit der Ausfallereignisse ist gerade im Wholesale-Geschäft nicht gegeben.
  • Konzentrationsrisiken (z.B. Branchen, Regionen) und Dominoeffekte (z.B. Lieferanten-Abnehmer-Beziehungen) führen dazu, dass positiv korrelierte Ausfälle beobachtet werden.
  • Negative Ausfallkorrelationen sind eher von theoretischer Natur (Beispiel: Konkurrenzsituation im Oligopol, wo der Ausfall eines Konkurrenten die Ertragssituation der übrigen Konkurrenten verbessert).
  • Alternative zur Unabhängigkeitsannahme: Spezifikation spezieller Abhängigkeitsstrukturen
    • Beispiel: Modell mit bedingter Unabhängigkeit der Ausfallvariablen
    • Beispiel: Modell mit einem Vektor kontinuierlicher Bonitätsvariablen
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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: bedingte Unabhängigkeit

  • Ansatz: Modellierung positiver Ausfallkorrelation für den Fall homogener Ausfallbeträge und homogener Ausfallwahrscheinlichkeiten
  • Grundidee: Die Ausfallwahrscheinlichkeit (zu unterscheiden von der Ausfallindikatorvariable!) ist selbst eine variable Größe, deren Variabilität auf konkrete Einflussfaktoren (z.B. Konjunkturvariablen oder unbeobachtbare Risikofaktoren (latente Variablen)) zurückzuführen ist.
  • Bedingt auf diese Einflussfaktoren werden die Ausfallindikatorvariablen als stochastisch unabhängig angenommen.
  • Über die gemeinsame Reaktion auf sich ändernde Einflussfaktoren ergibt sich positive Korrelation der Ausfallindikatorvariablen.
  • Die Ausfallwahrscheinlichkeit hängt in diesem Ansatz von einer Zufallsvariablen X ab, die stellvertretend für die Einflussfaktoren steht.
  • Durch die Abhängigkeit von X ist die Ausfallwahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable PD(X) mit dem Erwartungswert mPD = E(PD(X)) und der Varianz sPD2 = var(PD(X)).
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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: bedingte Unabhängigkeit

  • Für jede einzelne Ausfallvariable sind sowohl die bedingten Verteilungen

für verschiedene Realisationen x von X als auch die unbedingte Verteilung

Bernoulliverteilungen mit den Parametern PD(x) bzw. mPD.

  • Durch die Annahme der bedingten Unabhängigkeit liegt zusammen mit der Verteilung von PD(x) auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausfallvariablen fest.
  • Insbesondere gilt:
  • Konzept der bedingten Unabhängigkeit ermöglicht Modellierung unbedingter positiver Korrelation. Dabei haben die auf jeden Zustand X = x bedingte Kovarianz und Korrelation den Wert Null.

(unbedingte Korrelation)

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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

  • Ausgangspunkt: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von n Ausfallindikatorvariablen ist schwierig zu spezifizieren, da diese eine große Zahl von Parametern enthält:
    • Einfache Ausfallwahrscheinlichkeiten
    • Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von zwei Krediten (normale Korrelation)
    • Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von drei Krediten
    • ...
    • Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von n Krediten
  • Die Angabe von Korrelationen legt nur die gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten und zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von jeweils zwei Krediten fest, definiert aber nicht die gemeinsame Verteilung von mehr als zwei Krediten.
  • Ansatz zur Modellierung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung von n Ausfallvariablen mit reduzierter Anzahl von Parametern: Verwendung kontinuierlicher normalverteilter Bonitätsvariablen
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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

  • Im Modell mit kontinuierlichen Bonitätsvariablen tritt das Ausfallereignis dann ein, wenn die Bonitätsvariable Bj eine bestimmte Ausfallschranke (default threshold) zj unterschreitet.
  • Dabei gilt:
  • Die Ausfallindikatorvariable hängt damit von Bj ab via:
  • Wenn die Bonitätsvariablen einer gemeinsamen multivariaten Normalverteilung folgen, so besitzen die Ausfallvariablen eine Abhängigkeitsstruktur, die vollständig durch die Parameter der multivariaten Normalverteilung fixiert ist.
  • Dadurch wird eine erhebliche Reduktion der Parameteranzahl erreicht.
  • Die Bonitätsvariablen sind in der Regel latente, nicht direkt beobachtbare Variablen, deren Korrelationsstruktur über die Korrelationsstruktur von Proxyvariablen geschätzt wird.
  • Beispiel: Im Kreditrisikomodell CreditMetrics von JP Morgan wird der sog. Asset-Wert-Ansatz verwendet: Dabei wird die geschätzte Korrelationsstruktur von Aktienkursrenditen genutzt, um die Korrelationsstruktur von latenten Bonitätsvariablen zu spezifizieren, durch welche simultane Ausfallwahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten für simultane Bonitätsänderungen erklärt sind.
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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

  • Asset-Return-Verteilung und Schwellenwerte für ein Unternehmen mit aktuellem Rating von BB

Stochastischer Asset-Return

ZBB

ZBBB

ZA

ZAA

ZD

ZCCC

ZB

Unternehmen

bleibt in BB

Downgrade

nach B

Upgrade

nach BBB

Default

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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

  • Beispiel: Zwei Schuldner; Schuldner 1 ursprünglich in Ratingklasse BBB mit Ausfallwahrscheinlichkeit 0,18%; Schuldner 2 ursprünglich in Ratingklasse A mit Ausfallwahrscheinlichkeit von 0,06%.

Wie hoch sind die Asset-Rendite-Schwellen für einen Ausfall und für die möglichen Ratingübergänge bei Schuldner 1 bzw. Schuldner 2?

  • Übergangswahrscheinlichkeiten und Asset-Rendite-Schwellen für Schuldner 1
  • Übergangswahrscheinlichkeiten und Asset-Rendite-Schwellen für Schuldner 2

Zdefault = N-1[PD] = N-1[0,0018] = -2,912

...

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Portfolioverlustverteilung

Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen

  • Beispiel:

Im Juli 1999 betrug die PD von Air Canada (Schuldner A) 2%, die von Delta Airlines (Schuldner B) 0,5%. Die aus historischen Daten ermittelte Korrelation der Asset-Renditen betrug 43%.

Wie hoch ist die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit beider Airlines und wie hoch ist die Ausfallkorrelation?

Die Asset-Return-Prozesse werden durch die bivariate standardisierte Normalverteilung mit Korrelation von 43% beschrieben:

Für die Ausfallkorrelation gilt: