利率 期限结构：动态模型

1. 利率期限结构：动态模型 厦门大学金融系陈蓉 2011/11/1

2. >> 利率期限结构：动态模型 动态利率模型概述 仿射利率期限结构模型 HJM分析框架与无套利模型 动态利率模型参数的估计与校准

3. 为何需要动态模型？ • 普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换，由当前静态利率期限结构的信息即可定价 • 利率期权产品：还需要利率波动的信息 • 动态模型：DTSMs

4. >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

5. 动态利率模型的建模对象 • 无风险的瞬时即期利率 • instantaneous spot rate or short rate • 瞬时远期利率 • Instantaneous forward rate • Why？ • 只要瞬时利率的变化规律已知，就可以推知任意到期期限的即期利率的动态过程

6. 利率期限结构与瞬时利率 • 贴现因子（零息票债券）与瞬时利率 • 即期利率与瞬时利率

7. 利率期限结构与瞬时远期利率 • 贴现因子（零息票债券）与瞬时远期利率 • 即期利率与瞬时远期利率

8. 动态利率模型的基本设定 • 瞬时利率在现实测度下的SDE • 重要工具I：随机过程、SDE、漂移率、波动率、布朗运动 • 不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波动率设定的不同

9. 瞬时利率动态过程模拟

10. 动态利率模型的分析框架 • 重要工具II：Itô-Doeblin引理 • 根据Itô-Doeblin引理，当瞬时利率服从伊藤过程时，无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源dz(t)表示

11. 偏微分方程方法I • Partial Differential Equation（PDE）方法，也称无套利（no arbitrage）方法 • 通过构造无风险组合，而无风险组合在无套利条件下只能获得无风险利率推导得到结论

12. 偏微分方程方法II • 用两个无风险债券构造组合W • 选择权重W1、W2使得

13. 偏微分方程方法III • 无套利思想 • 整理可得 • 由于债券是任意选取的，因此对于任意债券有 • 我们称之为瞬时利率的市场风险价格

14. 偏微分方程方法IV • PDE • 对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交易证券，都满足上述风险价格公式和PDE • 给定不同的边界条件，即可求解证券价格。 • 解析解 • 数值解：随机过程复杂或是产品设计复杂的情形 • 必须以无套利为前提

15. 等价鞅测度法I • 重要工具III：测度转换、等价测度、鞅、Girsanov theorem、资产定价基本定理 • 在无套利条件下，存在一个市场风险价格值使得不同测度下的的风险源满足 • 则风险中性测度下的利率产品价格满足

16. 等价鞅测度法II • 如果该产品是可交易资产，则 • 新测度的特点 • 无论实际风险多大，利率产品价格对数的漂移率均为无风险利率：风险中性测度 • 只要波动率不是随机的，转换测度时波动率不变

17. 等价鞅测度法III • 新测度的另一个重要特点：鞅测度 • 可交易资产当前的价格等于该产品T时刻的价值在风险中性测度下按无风险利率贴现至t时刻的期望值。

18. PDE方法VS鞅方法 • PDE方法：运用无套利条件构建PDE方程，求解后用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格 • 鞅方法：在市场风险价格存在的前提下，通过市场风险价格实现风险中性测度的转换，利率产品的定价通过求风险中性期望实现 • 一致性： • 无套利＝市场风险价格存在＝风险中性测度存在 • discounted Feynman-Kac theorem

19. Discount Feynman-Kac Theorem 如果随机变量X(t)满足伊藤过程 给定满足条件 的函数h(X)。定义 则f(x,t)满足以下偏微分方程 其边界条件为

20. 动态利率模型与静态利率模型 • 建模目的 • 建模重点 • 静态：高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度 • 动态：经济意义 • 复杂性和信息含量 • 估计参数需要的数据

21. >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

22. 实用主义标准 • 名义利率是否非负 • 收益率曲线的静态特征：形状、长端水平等 • 利率动态特征： • 均值回归 • 分布特征：肥尾、非对称 • 利率期限结构长短端变动不一致 • 利率波动率特征： • 利率的波动率与利率水平有关 • 利率波动率期限结构形状 • 简单快捷

23. >> 动态利率模型概述 动态利率模型的基本框架 动态利率模型的评价标准 动态利率模型的分类与演进

24. 传统分类 • 均衡模型与无套利模型 • 均衡模型：参数的非时变性 • Merton模型 • Vasicek模型 • CIR模型等 • 无套利模型：无套利条件下得到的时变参数 • Ho-Lee模型 • Hull-White模型等 • 从单因子到多因子 • Hull-White双因子模型 • Longstaff-Schwartz模型

25. 两个重要的动态利率模型框架 • 仿射模型 • 把收益率曲线表示成状态变量的线性函数，能获得债券和期权价格的解析解，易于在实务中进行校准，应用价值高 • HJM模型 • 无套利模型的基本框架：从瞬时远期利率的随机过程出发，推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件 • LIBOR市场模型：应用最广泛

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27. >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

28. Merton模型I • 基本形式 • Merton模型下的资产价格与利率期限结构

29. Merton模型II • λ为常数时，现实测度下瞬时利率仍然服从Merton模型， • 基本性质 • 可能出现负利率 • Merton模型无法刻画利率期限结构的基本静态特征 • 长期利率趋于负无穷 • 只能刻画开口向下的抛物线形状

30. Merton模型III • 基本性质（续） • 动态特征的缺陷 • 不存在均值回归特征，当T趋于无穷时，利率的均值和方差都将趋于无穷大 • 利率波动率特征不符合现实 • 单因子意味着利率期限结构的平移

31. >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

32. Vasicek模型I • 基本形式：均值回归模型 • 现实测度：

33. Vasicek模型II • Vasicek模型下的资产价格与利率期限结构

34. Vasicek模型III • 改善 • 均值回归 • T趋于无穷时，长期利率收敛于 • 参数取值不同，得到不同的即期利率期限结构形状 • 短期利率波动率大于长期利率波动率

35. Vasicek模型IV • 缺点 • 仍有可能出现负利率 • 长期利率应该是时变的，而非一个常数 • 利率期限结构形状不够丰富 • 无法刻画驼峰状的利率波动率；利率波动率与利率水平无关 • 单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。

36. Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型I • 基本形式

37. Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型II • H-W模型下的资产价格与利率期限结构

38. Vasicek模型拓展：Hull-White 单因子模型III • 基本性质 • 无套利 • 简单 • 但并未改善Vasicek模型的缺陷

39. Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型I • 基本形式 • 可以证明

40. Vasicek模型拓展：Hull-White 双因子模型II • 基本性质 • 引入两个具有相关性的风险源：分别影响短期利率和长期利率 • 波动率期限结构形状更为复杂多变 • 参数估计与校准困难

41. >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

42. CIR模型I • 基本形式：均值回归模型 • 现实测度：

43. CIR模型II • CIR模型下的零息债价格与利率期限结构

44. CIR模型III • CIR模型下的零息债期权价格

45. CIR模型IV • 均值回归 • T趋于无穷时，长期利率收敛于 • 利率非负 • 即期利率波动率为 • 仍然是单因子模型

46. Longstaff-Schwartz模型I • 状态变量所服从的随机过程 • 利率与波动率与状态变量的关系

47. L-S模型II • 利率与波动率的动态过程

48. >> 仿射利率期限结构模型 Merton模型 Vasicek模型 CIR模型 仿射模型的一般形式

49. 仿射模型的基本形式 • 瞬时利率 • 风险中性测度下状态向量所服从的过程 • 瞬时利率是状态向量的仿射函数；状态向量的漂移率和方差率也是状态向量的仿射函数

50. 仿射模型下的零息债价格与利率期限结构 • 仿射模型下零息票债券的价格 • 参数满足