Đề thi Toán Rời Rạc HUTECH 2024 có đáp án PDF

1. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Đề thi toán rời rạc Hutech có lời giải Đề số: 62 Câu 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽn đường tròn nhỏ nằm ở miền trong đường tròn đã cho sao cho mọi cặp đường tròn nhỏđều cắt nhau nhưng không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Các đường tròn này chia miền trong của đường tròn (O, R) thành Tn phần. 1)Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của Tn. Tính T10. 2)Tính T10trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua 1 điểm. Trả lời: 1)*Tìm công thức Tn: Gọi Tn là số phần mặt phẳng được tạo ra bởi n đường tròn Theo điều kiện ban đầu ta có: Tn = Tn-1 + 2 ( n-1 ) Ta suy ra: T1 = 2 = 2 + 2.0 T2 = 2 + 2.1 T3 = 4 + 2.2 = 2 + 2 (1+2) T4 = 8 + 2.3 = 2 + 2 (1+2+3) T5 = 14 + 2.4 = 2 + 2 (1+2+3+4) …… Tn= 2 + 2 [ 1+2+3+…+ (n-1) ] <=> Tn = 2 + 2. n (n−1) 2 <=>Tn = 2 + n (n-1) https://ttnguyen.net/

2. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN *Tính T10 : T10 = 2 + 10 (10-1) = 92. 2)Tính T10trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua 1 điểm: Theo điều kiện ban đầu thì ta có: Tn = Tn-1 + n Ta suy ra: T1 = 2 = T0 + 1 = 1+1 T2 = 4 = T1 + 2 = 1+1+2 T3 = 7 = T2 + 3 = 1+1+2+3 T4 = 11 = T3 + 4 = 1+1+2+3+4 T5 = 16 = T4 +5 = 1+1+2+3+4+5 ….. Tn = Tn-1+ n = 1+1+2+3+ … +n <=> Tn = 1 + n ( n+1 ) 2 Tính T10: T10 = 1 + 10 (10+1) = 56 2 Câu 2: Bỏ ngẫu nhiên 6 bức thư vào 6 phong bì đề sẵn địa chỉ. Hỏi có bao nhiêu cách bỏthư trong các trường hợp sau đây: 1)Không có bức thư nàođúng địa chỉ 2)Có 3 bức thư đúng địa chỉ và 3 bức thư sai địa chỉ Trả lời: Bỏ 6 bức thư vào 6 phong bì có ghi sẵn địa chỉ https://ttnguyen.net/

3. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Gọi Dn là số cách bỏ 6 bức thư sao cho không bức thư nào đúng địa chỉ. Cách bỏ thư thỏa mãn yêu cầu bài toán số mất thứ tự: Ta có: D1 = 0 D2 = 1 D3 = 2 = (3 – 1).(1 + 0) D4 = 9 = (4 – 1).(2 + 1) …… Dn = (n – 1).( Dn-1 + Dn-2 ) Vậy ta có công thức truy hồi: Dn = (n – 1).( Dn-1 + Dn-2 ) 1)Sốcách để bỏ 6 bức thư không có bức thư nào đúng địa chỉ là: D6 = (6 – 1).(D5 + D4) = 5.(44 + 9) = 265 (cách) 2)Sốcách để 3 bức thư đúng địa chỉ và 3 bức thư sai địa chỉ là: C36 . D3 = C36 . 2 = 40 (cách) Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp chỗcho 5 gia đình, mỗi gia đình có 3 người quanh một bàn tiệc tròn có 15 chiếc ghế sao cho những người trong một gia đình thì ngồi gần nhau? Giải bài toán trên trong trường hợp 15 ghếđược xếp thành 1 dãy ngang. Xếp bàn tròn: Số cách xếp gia đình thứ nhất là: 15. 3! = 90 (cách) Mỗi cách sắp xếp gia đình đầu tiên sẽ có số cách: 4! 3! 3! 3! 3! (cách) Nên cách sắp xếp những gia đình còn lại là: 15.3!4!(3!)4 (cách) Xếp bàn thẳng: Coi mỗi gia đình là 1 nhóm Nên ta có số cách sắp xếp 5 nhóm là: 5! (cách) Trong mỗi nhóm lại có số cách sắp xếp là: 3! (cách) https://ttnguyen.net/

4. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Nên cách sắp xếp các thành viên là: 5! . (3!)5 (cách) Câu 4: Cho A ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chứng minh rằng trong số các tập con gồm 4 chữ số của A có ít nhất 8 tập có tổng các chữ số là phần tử của chúng bằng nhau. Trả lời: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Số tập con gồm 4 phần tử của A là: C49 = 126 (tập) Tập có tổng các chữ số lớn nhất là: Smax = 6 + 7 + 8 + 9 = 30 Tập có tổng các chữ số nhỏ nhất là: Smin = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 126 tập con có tổng các chữ số là các phần tử của chúng lấy giá trị từ 10 đến 30, gồm 21 giá trị khác nhau. Ta loại trừ tập có tổng là 10, 11 là 2 tập có tổng là giá trị nhỏ nhất, không còn tập gồm 4 số nào có thể bằng một trong hai giá trị trên nên ta loại 2 giá trị 10 và 11. Tương tự, 2 tập có tổng là 29, 30 là 2 tập có tổng là giá trị lớn nhất, không còn tập gồm 4 số nào có thể bằng một trong hai giá trị trên, nên ta loại 2 giá trị 29, 30 ra khỏi vùng xét. Với tập con có tổng bằng 12, ta có thểtìm được các cặp 4 sốnhư sau : có 2 cặp thỏa mãn là : (1; 2; 3; 6) với (1; 2; 4; 5) Với tập con có tổng bằng 28, cũng chỉ có 2 cặp là : (9; 8; 7; 4) với (9; 8; 6; 5) Ta cũng loại 4 giá trị trên ra khỏi vùng xét. Như vậy, số tập con còn lại là: 126 - 8 = 118 (tập) Với 118 tâp con có tổng các chữ số từ13 đến 27 gồm 15 giá trị khác nhau Theo định lí Dirichlet sẽ có ít nhất ]118 15[ = 8 https://ttnguyen.net/

5. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Vậy sẽ có ít nhất 8 tập con có tổng các chữ số bằng nhau. Câu 5: 1, Cho đồ thịvô hướng, đủ, có 9 đỉnh. Hỏi: A, Có bao nhiêu đồ thị bộ phận? B, Có bao nhiêu đồ thịcon là đồ thị Euler? C, Có bao nhiêu đồ thịcon không là đồ thị Euler? 2, Áp dụng thuật toán Kruskal,tìm cây bao trùm ngắn nhất trên đồ thịdưới đây: a a Bài giải: 1, Đồ thịđã cho là đồ thịvô hướng, đủ,có 8đỉnh nên ta có số cạnh là: C29 = 36(cạnh) A, Sốđồ thị bộ phận của đồ thịđã cho có từ0 đến 27 cạnh là: 35 ?=0 i36 = 236 -1 r =∑ ? B,Sốđồ thịcon là đồ thị Euler là: t = C39 + C59 + C79 =246 C,Sốđồ thịcon không là đồ thị Euler là: u = C29 + C49 + C69 = 246 2, - Đồ thịA là Euler, vì A là đồ thị liên thông và tất cảcác đỉnh có bậc là bậc chẵn. Chu trình Euler được biểu diễn theo đường mũi tên trên hình vẽ A. -Đồ thị B, C không phải là Euler hoặc nửa Euler. https://ttnguyen.net/

6. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN -Đồ thịD là đồ thị nửa Euler, vì D là đồ thị liên thông và có đúng 2 đỉnh bậc lẻ tại đỉnh a và b. Chu trình nửa Euler được biểu diễn theo đường mũi tên như hình D. Câu 6: Cho hàm đại số logic F(x, y, z) = (x|y) (y↓z) 1)Lập bảng giá trị của hàm F(x, y, z) 2)Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủđịnh. 3)Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x, y, z) với các cổng NOT,AND và OR Bài giải: a)Bảng chân lý: x y z (x|y) (y↓ z) (x|y) (y↓ z) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 H1 = ?̅ ˄⋀ ? ̅ ˄⋀?̅ T1 = ? ˅⋁? ⋁˅ ?̅ T2 = ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ? T3 = ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?̅ H2 = ? ˄⋀ ? ̅ ⋀?̅ T4 = ?̅ ˅⋁?⋁ ˅ ?̅ H3 = ? ⋀ ˄?⋀ ˄?̅ H4 = ? ⋀ ˄? ⋀˄ ? b)Dạng hội chuẩn tắc: F(x, y, z) = T1˄⋀ T2˄⋀ T3˄⋀T4 = (? ˅⋁? ⋁˅ ?̅) ˄⋀(? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?) ˄⋀( ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?̅) ˄⋀(?̅ ˅⋁?⋁ ˅ ?̅) = (? ˅⋁? ⋁˅ ?̅) ˄⋀(? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?) ˄⋀( ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?̅) ˄⋀(?̅ ˅⋁?⋁ ˅ ?̅) = (?̅⋀˄? ̅ ⋀?) ˄⋀ (?̅⋀?˄⋀?̅) ˄⋀ (?̅⋀?⋀?) ˄⋀ (?˄⋀? ̅⋀?) c)Thiết kế mạch logic: F(x, y, z) = (? ˅⋁? ⋁˅ ?̅) ˄⋀(? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?) ˄⋀( ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?̅) ˄⋀(?̅ ˅⋁?⋁ ˅ ?̅) https://ttnguyen.net/

7. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Mạch logic: ? ˅⋁? ⋁˅ ?̅ X Y z ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ? X Y z F(x, y, x) ? ˅⋁? ̅ ⋁˅ ?̅ X Y z ?̅ ˅⋁?⋁ ˅ ?̅ X Y z AND OR Câu 7: Áp dụng thuật toán Dijkstra, tìm đường đi ngắn nhất từS đến Z trên đò thị dưới đây: 1 4 7 3 S 6 Z 9 6 8 2 5 https://ttnguyen.net/

8. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Bài làm Gọi L là đường đi ngắn nhất từS đến Z Ta gán 0 cho đỉnh S => λ (S) = 0. + Trong các đỉnh không thuộc L = {S} và kề với S có 4 đỉnh 1,2,3,5. Ta có: λ (1) = min { λ (s) + l(s,1)} = min {0 + 8} = 8. λ (2) = min { λ (s) + l(s,2)} = min {0 + 6} = 6. λ (3) = min { λ (s) + l(s,3)} = min {0 + 15} = 15 λ (5) = min { λ (s) + l(s,5)} = min {0 + 22} = 22 Ta có: λ (2) nhỏ nhất nên 2  L.  L = {S,2}. + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 2 có 2 đỉnh là 3,5 λ (3) = min { λ (2) + l(2,3)} = min{6+6} = 12 λ (5) = min { λ (2) + l(2,5)} = min{6+14} =20 Ta có: λ (3) nhỏ nhất nên 3  L  L = {S,2,3} + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 3 có 3 đỉnh là 4,5,6 λ (4) = min { λ (3) + l(3,4)} = min{12+8} = 20 λ (5) = min { λ (3) + l(3,5)} = min{12+7} = 19 λ (6) = min { λ (3) + l(3,6)} = min{12+17} =29 Ta có: λ (5) nhỏ nhất nên 5  L  L = {S,2,3,5} + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 5 có 3 đỉnh là 6,8,9 λ (6) = min { λ (5) + l(5,6)} = min{19+9} = 28 λ (8) = min { λ (5) + l(5,8)} = min{19+18} = 37 λ (9) = min { λ (5) + l(5,9)} = min{19+26} =45 https://ttnguyen.net/

9. TOÁN RỜI RẠC-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Ta có: λ (6) nhỏ nhất nên 6  L  L = {S,2,3,5,6} + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 6 có 3 đỉnh là 7,8,9 λ (7) = min { λ (6) + l(6,7)} = min{28+8} = 36 λ (8) = min { λ (6) + l(6,8)} = min{28+8} = 36 λ (9) = min { λ (6) + l(6,9)} = min{28+16} =44 Ta có: λ (7) = λ (8) và nhỏ nhất nên xét 2 trường hợp Th1: λ (7) + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 7 có 2 đỉnh là 9 và Z λ (9) = min { λ (7) + l(7,9)} = min{36+7} = 43 λ (Z) = min { λ (7) + l(7,Z)} = min{36+22} = 58 Th2: λ (8) + Trong các đỉnh không thuộc L mà kề với 8 có 2 đỉnh là 9 và Z λ (9) =min { λ (8) + l(8,9)} = min{36+9} = 45 λ (Z) = min { λ (8) + l(8,Z)} = min{36+25} = 61 Ta có: λ (7) đến 9 và Z nhỏhơn L(8) đến 9 và Z => 7  L  L = {S,2,3,5,6,7} Nhìn vào Th1 ta có L(9) nhỏ nhất nên 9  L  L = {S,2,3,5,6,7,9} + Các đỉnh kề với 9 mà không thuộc L : Z λ (Z) = min { λ (9) + l(9,Z)} = min{43+15} = 58 = min {L(7) + l(7,Z)} = min{36+22} Vậy, đường đi ngắn nhất từS đến Z là: S,2,3,5,6,7,9,Z hoặc S,2,3,5,6,7,Z với độ dài là 58 https://ttnguyen.net/