Tài liệu ôn thi Toán Rời Rạc Đại học khoa học tự nhiên

1. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Đề thi toán rời rạc khoa học tự nhiên có lời giải Đề 32 Câu 1:Cho 26 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần trong các trường hợp sau đây: 1)Không có 2 đường thẳng song song và không có 3 đường thẳng đồng quy. 2)Có và chỉcó 6 đường thẳng song song với nhau, mọi đường không đồng quy. 3)Có và chỉcó 6 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm, mọi đường không song song. Trả lời: 1)Xây dựng công thức truy hồi: Ta vẽ (n - 1) đường thẳng có vị trí tổng quát, số phần mặt phẳng được tạo ra lúc này bằng T(n - 1), vẽthêm đường thẳng thứ n cắt (n - 1) đường thẳng đã cho tại (n - 1) giao điểm khác nhau, các giao điểm này chia đường thẳng vẽ thêm thành n phần. Mỗi phần đường thẳng nằm trên một phần mặt phẳng tạo nên từ n – 1 đường thẳng ban đầu và chia đôi phần mặt phẳng. Có nghĩa là tạo thêm n phần mặt phẳng nữa. Gọi Tn là số mặt phẳng cần tìm. Vậy ta có: Tn = Tn – 1 + n Ta biết : T0 = 1 nên T1 = T0 + 1 = 1 + 1 T2 = T1 + 2 = 1 + 1 + 2 T3 = T2 + 3 = 1 + 1 + 2 + 3 https://ttnguyen.net/ Page 1

2. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ….. Tn = Tn – 1+ n = 1 + 1 + 2 + 3 +…..+ n Tn = 1 + T26 = 1+ = 352 ( mặt phẳng ) 2) Có và chỉcó 6 đường thẳng song song với nhau, mọi đường không đồng quy, ta có: 26 đường thẳng số mặt phẳng tối đa có thể tạo ra là: T26 = 1 + = 352 (mặt phẳng) Ta có 6 đường thẳng song song với nhau: -Nếu 6 đường thẳng này ở dạng tổng quát có thể tạo ra tối đa T6 = 22 mặt phẳng. -Nhưng trên thực tế6 đường thẳng này song song với nhau chỉ tạo ra được 7 mặt phẳng: Số mặt phẳng thỏa mãn đề bài là: 352 – ( 22 – 7 ) = 337 ( mặt phẳng ). 3)Có và chỉcó 6 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm, mọi đường không song song. Ta có 6 đường thẳng đồng quy với nhau: -Nếu 6 đường thẳng này ở dạng tổng quát có thể tạo ra tối đa T6 = 22 mặt phẳng -Số mặt phẳng thực tế tạo ra là: 12 mặt phẳng https://ttnguyen.net/ Page 2

3. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Số mặt phảng thỏa mãn đề bài là: 352 – ( 22 – 12 ) = 342 (mặt phẳng). Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, lấy 17 điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất 1 tam giác mà trung điểm của các cạnh của nó cũng có tọa độ nguyên. Trả lời: Ta chia các điểm nguyên thành 8 nhóm: Nhóm 1: ( c, c, c ) Nhóm 5: ( l, l, l ) Nhóm 2: ( c, c, l ) Nhóm 6: ( l, l, c ) Nhóm 3: ( c, l, c ) Nhóm 7: ( l, c, l ) Nhóm 4: ( c, l, l ) Nhóm 8: ( l, c, c ) Trong đó: Nhóm 1: hoành độ, tung độ và cao độđều là số chẵn. Nhóm 2: hoành độ, tung độ là số chẵn; cao độ lẻ. Nhóm 3: hoành độ, cao độ là số chẵn; tung độ lẻ. Nhóm 4: hoành độ chẵn; tung độvà cao độ là số lẻ. Nhóm 5: hoành độ, tung độvà cao độđều là số lẻ. Nhóm 6: hoành độ, tung độ là số lẻ; cao độ chẵn. Nhóm 7: hoành độ, cao độ là số lẻ; tung độ chẵn. Nhóm 8: hoành độ lẻ; tung dộvà cao độ là số chẵn. Theo định lý Dirichlet có ít nhất = 3 điểm thuộc cùng 1 nhóm. có ít nhất 1 tam giác mà trung điểm của các cạnh của nó cũng có tọa độ nguyên. đpcm. ( Ta biết rằng nếu M là trung điểm của A và B thì: xM = ( xA + xB ) yM = ( yA + yB ) Nếu A, B thuộc cùng 1 nhóm thì xA+ xB và yA+ yBđều là số chẵn, vậy trung điểm của chúng có tọa độ nguyên, đpcm ) Câu 3: Có bao nhiêu con số gồm 5 chữ sốtrong các trường hợp sau đây: 1)Các chữ số không lặp hoặc có lặp không quá 3 lần. https://ttnguyen.net/ Page 3

4. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN 2)Các chữ số tạo thành 1 dãy tăng hoặc 1 dãy giảm. Trả lời: Ta có các số tự nhiên từ0, 1, 2,…, 9. 1)Tổng quát sẽ có 9 x 104 số có 5 chữ số Ta xét: -Các chữ số lặp 5 lần 9 số -Các chữ số lặp 4 lần : +) lập 4 chữ số 0 có 4 số +) lập 4 chữ số khác 0: Ta chọn số cần lặp: 9 cách chọn. Chọn số khác lặp có 8 số ( số 0 xét riêng ) Có 8 x 9 x 5 (cách) Lặp 4 sốtrong đó có 1 số 0: Có 9 số cách chọn số lặp. Số 0 có thểở 4 vị trí khác nhau Có 9 x 4 = 36 (cách) Tổng lặp 4 chữ số có : 9 x 8 x 5 + 9 x 4= 9x 44 (cách) Như vậy số cách lặp chữ số không quá 3 lần sẽ có: 9 x 104– 9 x 44 – 9 = 89595 ( số thỏa mãn ) 2)- Chọn ra 5 chữ số có 5 chữ số từ0 đến 9 để tạo ra 1 dãy tăng dần thì chỉ có ?9 5 cách. Mỗi 1 lần lấy ra 5 số chỉ có 1 số thỏa mãn. -Để tạo ra thành 1 dãy giảm dần sẽ có thêm 1 số0 được chọn mỗi lần lấy cũng chỉ có 1 số thỏa mãn số cách chọn là ?10 5 cách. 5+ ?10 5 Vậy số cách thỏa mãn đề bài là ?9 Câu 4: Có 5 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho : 1)Chỉ có 1 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau ? 2)Tất cả 5 bộ quần áo đếu sai kích thước ? https://ttnguyen.net/ Page 4

5. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trả lời: Xếp các bộ quần áo: Gọi Dn là số cách sắp xếp các bộ quần áo sao cho không có bộ nào có quần và áo cùng kích thước, cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài chính là số mất thứ tự. Ta có: D1 = 0 D2 = 1 D3 = 2 = (3-1)*(1+0) D4 = 9 = (4-1)*(2+1) .......... Dn = (n-1)*(Dn-1 +Dn-2) Vậy ta có công thức truy hồi Dn = (n-1)*(Dn-1 + Dn-2) 1)Cách chia chỉ có 1 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau là : Chia quần áo: -Số cách chọn ra một bộ quần áo đúng kích thước là : C15 =5 cách -Còn bốn bộ quần áo còn lại ta sắp xếp sao cho không có bộ nào đúng kích thước với nhau chính là D4 = 9 cách Số cách sắp xếp quần áo =5*9 =45 cách 2)Cách chia tất cả 5 bộ quần áo đều sai kích thước . Chia quần áo: Số cách chia tất cả 5 bộ quần áo đều sai kích thước là : D5 = (5-1)*(D4 + D3) =4*(9+2)= 44 cách. Câu 5: 1)Cho đồ thịvô hướng, đủ, có 8 đỉnh. Hỏi: A, Có bao nhiêu đồ thị bộ phận ? B, Có bao nhiêu đồ thịcon là đồ thị Euler ? https://ttnguyen.net/ Page 5

6. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN C, Có bao nhiêu đồ thịcon không là đồ thị Euler ? 2)Các đồ thị sau có phải Euler hay nửa Euler không ? Nếu có tìm chu trình (đường đi) Euler: b a b a a b a b e e e Trả lời: 1)A, Số cạnh của đồ thị là m = C2 = 28 ( cạnh ) Sốđồ thị bộ phận là các đồ thị có từ 0 →27 cạnh t = ∑ Ci = 228– 1 B, Sốđồ thịcon là đồ thị Euler là sốđồ thị con có một số lẻđỉnh: t = C3 + C5 + C7 = 27– C1 = 27– 8 = 120 C, Sốđồ thị con không phải là đồ thị Euler là sốcác đồ thị con có một số chẵn đỉnh: t = C2 + C4 +C6 = 27– ( C0 + C8 ) = 27– 2 = 126 2)*Đồ thị A là đồ thị Euler ( vì tất cảcác đỉnh của đồ thịđều có bậc là chẵn ). Có chu trình ( đường đi ) Euler là: ( a,b )  ( b,e )  ( e,c )  ( c,d )  ( d,e )  ( e,a ) *Đồ thịB không là đồ thịEuler và cũng không là đồ thị nửa Euler ( vì đồ thị không phải tất cảcác đỉnh đều là bậc chẵn hay đồ thịcũng không có đúng 2 đỉnh bậc lẻ ). Không có chu trình ( đường đi ) Euler. *Đồ thịC không là đồ thịEuler và cũng không là đồ thị nửa Euler ( vì đồ thị không phải tất cảcác đỉnh đều là bậc chẵn hay đồ thịcũng không có đúng 2 đỉnh bậc lẻ ). Không có chu trình ( đường đi ) Euler. c c c c d d d d e A B C D https://ttnguyen.net/ Page 6

7. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN *Đồ thịD là đồ thị nửa Euler ( vì đồ thị nửa Euler là đồ thịcó đúng 2 đỉnh bậc lẻ, cụ thểtrong đồ thịD có đỉnh a, b đều là bậc 3, còn các đỉnh khác là bậc chẵn ). Có chu trình là : ( a,d )  ( d,c )  ( c,b )  ( b,a )  ( a,c )  (c,e )  ( e,b ) Câu 6:Cho hàm đại số logic F(x,y,z) = ( x | y ) → ( y ↓ z ). 1)Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z). 2)Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủđịnh. 3)Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND, OR. Trả lời: 1)Bảng giá trị của hàm F(x,y,z) là: x y z x↓y y z F(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 T = x ν y ν z 2)Hội chuẩn tắc là: F(x,y,z) = T = x ν y ν z Đưa F về dạng chỉ có dấu hội và phủđịnh là: F(x,y,z) = x ν y ν z = x ᴧ y ᴧ z 3)Thiết kế mạch logic là: x y x ν y ν z z https://ttnguyen.net/ Page 7

8. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN OR Câu 7: Áp dụng thuật toán Dijkstra , tìm đường đi ngắn nhất từS đến Z trên đồ thị dưới đây: 1 4 7 3 S 6 Z 9 5 2 8 Trả lời: Áp dụng thuật toán Dijkstra ta có: λ(S) = 0 λ(1) = 7 λ(2) = 9 λ(3) = min { 7+8 , 0+16, 9+8 } = 15 λ(4) = min { 7+15, 0+22, 15+8 } = 22 λ(5) = min { 15+9, 9+16 } = 24 λ(6) = min { 22+9, 15+18, 9+26, 24+8 } = 31 λ(7) = min { 22+19, 31+9 } = 40 λ(8) = min { 31+8, 24+17 } = 39 https://ttnguyen.net/ Page 8

9. TOÁN RỜI RẠC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN λ(9) = min { 40+8, 31+17, 39+8 } = 47 λ(Z) = min { 40+25, 47+16, 39+24 } = 63 Độdài đường đi ngắn nhất từS đến Z là 63. Tìm đường đi ta được: T* = ( S, 1, 4, 6, 8, Z ) T* = ( S, 4, 6, 8, Z ) T* = ( S, 1, 4, 6, 8, 9, Z ) T* = ( S, 4, 6, 8, 9, Z ) https://ttnguyen.net/ Page 9