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Kapitel 4 Geometrische Abbildungen. Inhalt. 4.1 Kongruenzabbildungen 4.2 Spiegelungen 4.3 Alle Kongruenzabbildungen. 4.1 Kongruenzabbildungen.
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Inhalt 4.1 Kongruenzabbildungen 4.2 Spiegelungen 4.3 Alle Kongruenzabbildungen
4.1 Kongruenzabbildungen Wir betrachten Abbildungen a der Punktmenge in sich. Dabei hat jeder Punkt einen Bildpunkt a(P). Wenn klar ist, was a ist, schreiben wir auch einfach P‘ statt a(P). Definition. Eine Abbildung a der Punktmenge der Ebene in sich heißt Kongruenzabbildung (auch Bewegung oder Isometrie ), wenn für je zwei Punkte P, Q gilt: a(P)a(Q) = PQ (oder einfach P‘Q‘ = PQ). In Worten: Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung, die den Abstand je zweier Punkte erhält.
Beispiele Beispiele: Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen (an einer Geraden), Punktspiegelung, ... sind Kongruenzabbildungen. Keine Kongruenzabbildung ist: – zentrische Streckung,– nur ein Punkt wird (echt) bewegt,– nur die vier Ecken eines Quadrats werden (echt) bewegt,– nur das Innere eines Quadrats wird (echt) bewegt,– ... Ziel: Wir wollen alle Kongruenzabbildungen kennenlernen!
Eigenschaften einer Kongruenzabbildung In der Definition einer Kongruenzabbildung haben wir nur sehr wenig gefordert; zum Beispiel nicht, dass eine Kongruenzabbildung – eine bijektive Abbildung ist,– die Zwischenbeziehung erhält,– Strecken auf Strecken abbildet,– Halbgeraden auf Halbgeraden abbildet,– Geraden auf Geraden abbildet,– Winkel auf Winkel abbildet,– Winkel auf Winkel desselben Maßes abbildet, – ... Aber: Diese Eigenschaften gelten! Wir werden sie beweisen!
Kongruenzabbildungen sind bijektiv 4.1.1 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung ist eine bijektive Abbildung. Beweis. Sei a eine beliebige Kongruenzabbildung. a ist injektiv: Seien P, Q Punkte mit a(P) = a(Q). Dann ist 0 = a(P)a(Q) = PQ. Also muss PQ = 0 sein. D.h. P = Q. a ist surjektiv: Sei Y ein beliebiger Punkt. Wir müssen zeigen, dass Y ein Urbild hat. Dazu brauchen wir einen raffinierten Trick! Es gibt zwei Punkte P und Q so, dass ihre Bilder P' und Q' nicht auf einer gemeinsamen Geraden mit Y liegen. (Sei DPQR ein Dreieck. Dann ist auch DP'Q'R' ein Dreieck, und Y liegt nicht auf allen drei Geraden PQ, QR, RP. O.B.d.A. nicht auf P'Q'.)
Beweis, 2. Teil Sei p := YP' und q = YQ'. Dann gibt es außer Y noch genau einen Punkt Y* mit der Eigenschaft Y*P' = p und Y*Q' = q. Also gibt es genau zwei Punkte X und X*, die von P den Abstand p und von Q den Abstand q haben. Worauf werden X und X* unter a abgebildet? Da a eine Kongruenzabbildung ist, gilt: a(X)a(P) = XP = p. Entsprechend folgt: a(X)a(Q) = XQ = q. Also muss a(X) = Y oder a(X) = Y* sein. Entsprechendes gilt für das Bild von X*. Da a injektiv ist, können nicht X und X* auf Y* abgebildet werden. Also muss einer dieser Punkte auf Y abgebildet werden.
Hintereinanderausführung von Kongruenzabbildungen 4.1.2 Satz.(a) Die Hintereinanderausführung (Verkettung) von zwei Kongruenzabbildungen ist wieder eine Kongruenzabbildungen. In Formeln: Wenn a und b Kongruenzabbildungen sind, so ist auch ab eine Kongruenzabbildung. (b) Die zu einer Kongruenzabbildung inverse Abbildung ist wieder eine Kongruenzabbildung. In Worten: Wenn a eine Kongruenzabbildung ist, so ist auch a–1 eine Kongruenzabbildung. Beispiel: Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Kongruenzabbildung.
Beweis Beweis. (a) Zu zeigen: Wenn a und b Kongruenzabbildungen sind, dann ist auch die Abbildung ab (“erst b, dann a”) eine Kongruenzabbildung. Für je zwei Punkte P und Q gilt: ab(P) ab(Q) = a(b(P))a(b(Q)) = b(P)b(Q) = PQ. Also ist ab eine Kongruenzabbildung. (b) Wir betrachten zwei beliebige Punkte P und Q. Wir bezeichnen mit P* und Q* die Urbilder von P und Q unter a. Dann gilt a–1(P)a–1(Q) = P*Q* = a(P*)a(Q*) = PQ. Also ist a–1 eine Kongruenzabbildung.
Kongruenzabbildungen erhalten Zwischenbeziehung 4.1.3 Hilfssatz. Jede Kongruenzabbildung erhält die Zwischenbeziehung. Beweis. Sei a eine Kongruenzabbildung. Sei Z ein Punkt zwischen P und Q. Es ist zu zeigen, dass dann auch a(Z) zwischen a(P) und a(Q) liegt. Dies folgt so: Da Z zwischen P und Q liegt, folgt PZ + ZQ = PQ, also auch a(P)a(Z) + a(Z)a(Q) = PZ + ZQ = PQ = a(P)a(Q). Dies bedeutet, dass a(Z) zwischen a(P) und a(Q) liegt.
Kongruenzabbildungen erhalten alles 4.1.4 Korollar. Jede Kongruenzabbildung führt Strecken in Strecken, kollineare Punkte in kollineare Punkte, Strahlen in Strahlen, Geraden in Geraden, Halbebenen in Halbebenen und Winkel in Winkel über. Beweis. Sei a eine Kongruenzabbildung. Wir zeigen einige der Aussagen. 1. Strecken. Sei PQ eine Strecke, also PQ = {Z Z liegt zwischen P und Q}. Aufgrund von 4.1.3 folgt a(PQ) = {a(Z) Z liegt zwischen P und Q} = {a(Z) a(Z) liegt zwischen a(P) und a(Q)} = a(P)a(Q). Also bildet a die Strecke PQ auf die Strecke a(P)a(Q) ab.
Fortsetzung des Beweises 2. „kollinear“. Seien P, Q, R drei kollineare Punkte. Dann liegt einer, sagen wir: Q, zwischen den beiden andern. Nach dem schon Bewiesenen liegt dann das Bild von Q zwischen den Bildern von P und R. Insbesondere liegen die Bilder a(P), a(Q), a(R) auf einer gemeinsamen Geraden. 3. Geraden. Sei g = PQ eine Gerade. Behauptung: Das Bild jedes Punktes R von g liegt auf der Geraden a(P)a(Q). (Da P, Q und R kollinear sind, sind auch a(P), a(Q) und a(Z) kollinear. Insbesondere liegt a(Z) auf der Geraden a(P)a(Q).) Wir halten fest: a(PQ) = a(P)a(Q) für je zwei Punkte P, Q.
Kongruenzabbildungen erhalten Winkelmaße 4.1.5 Satz. Sei a eine Kongruenzabbildung. Dann führt a jeden Winkeln in einen Winkel mit dem gleichen Maß (also einen kongruenten Winkel) über. Beweis. Sei ASB ein Winkel. Wir betrachten die Dreiecke DASB und Da(A)a(S)a(B). Da a eine Kongruenzabbildung ist, sind entsprechende Seiten dieser Dreiecke kongruent. Nach SSS sind also auch entsprechende Winkel dieser Dreiecke kongruent. Insbesondere sind ASB und a(A)a(S)a(B) kongruent.
4.2 Spiegelungen Definition.Eine Spiegelung an einer Geraden g ist eine Abbildung s = sg der Punkte der Ebene in sich, die wie folgt definiert ist: sg(P) = P, falls P auf g liegtsg(P) = P’, falls P nicht auf g liegt; dabei ist P’ so bestimmt, dass g das Mittellot von P und P’ ist. Konstruktion des Bildes eines Punktes P g einer Spiegelung sg: Fälle das Lot h von P auf g. Suche denjenigen Punkt P’ auf h, der von g denselben Abstand wie P hat, aber auf der P gegenüberliegenden Seite von g liegt.
Spiegelungen sind selbstinvers 4.2.1 Hilfssatz. Jede Spiegelung s ist zu sich selbst invers; das heißts–1=s. Mit anderen Worten: Wenn man eine Spiegelung zwei mal hintereinander ausführt, ergibt sich die Identität. Man sagt dazu auch, eine Spiegelung hat “Ordnung 2”. Der Beweis folgt direkt aus der Definition.
Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen 4.2.2 Satz. Jede Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Daraus folgt: Jede Spiegelung erhält Strecken, Geraden, Winkelmaße, ... Beweis. Sei s = sg eine Spiegelung an der Geraden g. Seien P und Q zwei beliebige Punkte, und P’, Q’ ihre Bilder. Wir haben zu zeigen: PQ = P’Q’. 1. Fall: P, Q g. Dann ist P’ = P und Q’= Q. Also gilt PQ = P’Q’.
Beweis, 2., 3., 4., Fall 2. Fall: h = PQ steht senkrecht auf g. Dann ist h das Lot durch P bzw. Q auf g. Nach Def. von s ist dann P’, Q’ h, und es folgt P’S = PS und Q’S = QS. wobei S = g h ist. Es folgt PQ = P’Q’. 3. Fall: PQ parallel zu g. Dann ist PQQ'P' ein Rechteck; also ist PQ = P'Q', da im Rechteck gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. 4. Fall: P g, Q g. Dann liegt P auf dem Mittellot g von Q und Q'. Nach dem Mittellotsatz gilt also PQ = PQ' = P'Q' .
Beweis, 5. Fall 5. Fall. P, Q g, PQ ist nicht senkrecht und nicht parallel zu g. Sei S = PQ g. Nach Fall 4 ist dann PS= P'S, QS = Q'S.Ferner ist PQ = SQ– SP. Wenn S, P' und Q' auf einer gemeinsamen Geraden liegen, ist entsprechend P'Q'= SQ'– SP'; also folgte PQ = P'Q'. Es bleibt zu zeigen, dass P', Q' und S kollinear sind. Sei X der Mittelpunkt von P, P' und Y der von Q, Q‘. Dann ist g = XY. Die folgenden Winkel sind kongruent: XSP', XSP (SWS); XSP, YSQ; YSQ, YSQ' (SWS). Also sind XSP' und YSQ' kongruent. Daraus folgt nach dem Geodreicksaxiom, dass S, P' und Q' kollinear sind.
4.3 Klassifikation aller Kongruenzabbildungen • Ziel:Wir wollen alle Kongruenzabbildungen übersichtlich beschreiben! • Methode:Wir unterschieden die Kongruenzabbildungen bezüglich ihrer „Fixpunkte“. Definition.EinFixpunkteiner Kongruenzabbildung aist ein Punkt P mit a(P) = P. • Zum Beispiel ist bei einer Spiegelung an der Achse g jeder Punkt auf g ein Fixpunkt, während alle anderen Punkte keine Fixpunkte sind.
Zwei Fixpunkte 4.3.1 Haupthilfssatz. Wenn eine Kongruenzabbildung azwei verschiedene Fixpunkte P und Q hat, dann ist jeder Punkt der Geraden PQ ein Fixpunkt. Beweis. Sei X ein beliebiger Punkt der Geraden PQ. Sei X‘ = a(X). Zu zeigen: X‘ = X. Dann hat X‘ den Abstand XP von P. Also gibt es für X‘ zwei Möglichkeiten: Entweder ist X‘ = X oder X‘ liegt auf der anderen Seite von P. Aber X‘ hat den Abstand XQ von Q. Also muss X‘ = X sein.
Strategie Methode: Wir gehen bei der Klassifikation schrittweise vor. Sei a eine Kongruenzabbildung. • Wenn a drei nichtkollineare Fixpunkte hat, ist a die Identität. Also brauchen wir nur noch Kongruenzabbildungen mit kollinearen Fixpunkten zu betrachten! • Wenn a (mindestens) zwei (kollineare) Fixpunkte hat, ist a eine Spiegelung. • Wenn a genau einen Fixpunkt hat, ist a ein Produkt von genau zwei Spiegelungen. • Wenn a keinen Fixpunkt hat, ist a ein Produkt von zwei oder drei Spiegelungen.
Drei (nichtkollineare) Fixpunkte ... 4.3.2 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung a drei nichtkollineare Fixpunkte hat, dann ist a = id. Mit anderen Worten: Es gibt keine Kongruenzabbildung id, die drei Fixpunkte hat, die nicht auf einer Geraden liegen. Beweis. Zu zeigen: Jeder Punkt ist ein Fixpunkt! Seien P, Q, R drei nichtkollineare Fixpunkte. Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt auf den Geraden PQ, QR, RP ein Fixpunkt. Dann liegt jeder Punkt X auf einer Geraden g mit mindestens zwei Fixpunkten. Wieder nach 4.3.1 ist jeder Punkt auf g ein Fixpunkt. Also ist X ein Fixpunkt.
Kollineare Fixpunkte 4.3.3 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung a id mindestens zwei Fixpunkte besitzt, dann ist a eine Spiegelung. Beweis. Wegen aid liegen nach 4.3.2 alle Fixpunkte auf einer Geraden g. Nach 4.3.1 ist dann jeder Punkt von g ein Fixpunkt. Sei P ein Punkt außerhalb von g, und sei P‘ sein Bild. Zeige: (1) Die Spiegelung s = sg mit Achse g führt P in P‘ über.(2) Die Verkettung as hat als Fixpunkte alle Punkte auf g und (mindestens) den Punkt P.(3) Es folgt as = id. Und also ist a = s–1 = s eine Spiegelung. Details: Übungsaufgabe.
Nur ein Fixpunkt 4.3.4 Satz. Wenn eine Kongruenzabbildung genau einen Fixpunkt hat, dann ist sie ein Produkt von genau zwei Spiegelungen. Beweis. Sei P der (einzige) Fixpunkt der Konguenzabbildung a. Sei Q ≠ P ein Punkt, und sei Q' = a(Q). Dann gilt PQ'= PQ. Sei s die Spiegelung an der Winkelhalbierenden von QPQ’. Dann ist sa eine Kongruenzabbildung, die P und Q als Fixpunkte hat. Also ist sa eine Kongruenzabbildung mit zwei Fixpunkten P und Q. Nach 4.3.2 und 4.3.3 gibt es zwei Möglichkeiten:1. sa = id. Dann ist a = s–1 = s eine Spiegelung: Widerspruch!2. sa = t, die Spiegelung an PQ. Dann ist a = s–1t = st ein Produkt von zwei Spiegelungen.
Gar kein Fixpunkt 4.3.5 Satz. Jede Kongruenzabbildung ohne Fixpunkt ist Produkt von höchstens drei Spiegelungen. Beweis. Sei P ein beliebiger Punkt, und sei P’ = a(P).Mit Hilfe einer Spiegelung s kann man P' auf P abbilden. Dann ist sa eine Kongruenzabbildung mit mindestens einem Fixpunkt, also nach 4.3.2. 4.3.3, 4.3.4 ein Produkt von höchstens zwei Spiegelungen. Also ist a ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen. 4.3.6 Hauptsatz. Jede Kongruenzabbildung läßt sich als Produkt von höchstens drei Spiegelungen darstellen.
Verschiebungen (Translationen) Definition.EineVerschiebungbildet jeden Punkt so ab, dass er in eine bestimmte Richtung (Verschieberichtung) um eine bestimmte Strecke der Länge d abgebildet („verschoben“) wird. Jede Verschiebung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis). 4.3.7 Satz. Jede Verschiebung a ist ein Produkt von zwei Spiegelungen, deren Achsen parallel sind. Beweis. Sei g eine Gerade senkrecht zur Verschieberichtung. Jeder Punkt mit Abstand d/2 von g wird auch durch s = sg auf a(P) abgebildet (u.u.). Also ist sa eine Kongruenzabbildung, deren Fixpunkte eine Gerade bilden, also eine Spiegelung. Also ist a Produkt von zwei Spiegelungen.
Drehungen (Rotationen) Definition.EineDrehungbildet jeden Punkt so ab, dass er auf dem Kreis um das Zentrum Z um einen gewissen Winkel abgebildet („gedreht“) wird. Jede Drehung ist eine Kongruenzabbildung (ohne Beweis). 4.3.8 Satz. Jede Drehung a ist ein Produkt von zwei Spiegelungen, deren Achsen durch das Zentrum gehen. Beweis. Sei g eine Gerade durch das Zentrum Z. Die Punkte P einer Geraden durch Z werden durch s = sg auf a(P) abgebildet (u.u.). Also ist sa eine Kongruenzabbildung, deren Fixpunkte eine Gerade bilden, also eine Spiegelung. Also ist a Produkt von zwei Spiegelungen.
