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研究紹介 ネットワーク符号化

研究紹介 ネットワーク符号化. 安永憲司 2008 年 5 月某日. 目次. ネットワーク上の通信 ネットワーク符号化 線形ネットワーク符号化 ネットワーク符号化の利点・欠点 ランダム線形ネットワーク符号化 まとめ 参考文献. ネットワーク上の通信. ネットワーク上の各リンクは通信容量が決まっている ノードを経由して、ソースからシンクへ通信を行う ソースからシンクへの最大通信量は？. ソース. s. 2. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 2. t. シンク. ネットワーク上の通信.

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研究紹介 ネットワーク符号化

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Presentation Transcript

  1. 研究紹介ネットワーク符号化 安永憲司 2008年5月某日

  2. 目次 • ネットワーク上の通信 • ネットワーク符号化 • 線形ネットワーク符号化 • ネットワーク符号化の利点・欠点 • ランダム線形ネットワーク符号化 • まとめ • 参考文献

  3. ネットワーク上の通信 • ネットワーク上の各リンクは通信容量が決まっている • ノードを経由して、ソースからシンクへ通信を行う • ソースからシンクへの最大通信量は？ ソース s 2 2 1 1 1 1 1 2 2 t シンク

  4. ネットワーク上の通信 • 各ノードにおいて、入る通信量 ＝ 出る通信量とする • 最大フロー最小カット定理：最大通信量は最小カットに等しい • Ford-Fulkerson アルゴリズムで最大フローは求まる • 計算量：O(E ∙ mincut(s,t))E : リンク数mincut(s,t): s - t 間の最小カット ソース s 2(2) 1(2) 0(1) 1(1) 1(1) 1(1) 0(1) 2(2) 1(2) t シンク

  5. １対２通信 • ソースが１つシンクが２つ • マルチキャスト通信：ソースから複数のシンクへ同じ情報を伝える • 各ソース・シンク間での最大フローはわかるが、すべてのシンクへ同時に最大フロー通信は可能か？ • 問題：v3から v4へは x, yどちらかしか送れない x y ソース s y x v1 x y v2 v3 y x y v4 y y t1 t2 ２つのシンク 各リンクの容量は１とする

  6. １対２通信 • 解決方法：v3から v4へ x+yを送る • ネットワーク符号化：ノードにおいて演算を許す • ネットワーク符号化を利用したときの最大通信量は？ x y ソース s y x v1 x y v2 v3 x+y x y v4 x+y x+y t1 t2 ２つのシンク 各リンクの容量は１とする

  7. マルチキャスト通信における最大フロー最小カット定理マルチキャスト通信における最大フロー最小カット定理 • 定理 [ACLY00] ：１つのソースから複数のシンクへ同時に伝達可能な最大通信量は、各ソース・ノード間の最小カットの最小値

  8. 以下のネットワークにおけるマルチキャスト通信の最大通信量は？以下のネットワークにおけるマルチキャスト通信の最大通信量は？ ソース s 3 1 4 1 1 2 2 v1 v2 v3 v4 5 2 2 3 1 3 t2 t1 t3 ３つのシンク

  9. ネットワーク符号化 • 設定 • ネットワークはリンクの重複を許す有向グラフ G = (V, E)で表す • 各リンクの通信容量は１（単位時間でFq上のシンボル１つを伝達可能） • ソースノード s ∈ V, シンクノード集合 T ⊆ V • １つのメッセージは l個のシンボル集合 X1, X2, …, Xl でありsからすべての t∈Tへ送信 • 各ノードにおける出力は、入力シンボルの関数である

  10. ネットワーク符号化 • ネットワーク符号は各ノードにおける関数で決まる ソースノード Y1 = f1s(X1, X2, …, Xl) s Y2 = f2s(X1, X2, …, Xl) 中間ノード Y3 = f3s(X1, X2, …, Xl) Y1 Y2 Y = f v(Y1, Y2,…, Yl’) v シンクノード … Y1t X1 = f1t(Y1t, Y2t, …, Yl’t) 　・ 　　・ 　　・ Xn = fnt(Y1t, Y2t, …,Yl’t) Yl’ Y2t t … Yl’t

  11. 線形ネットワーク符号化 • 各ノードの符号化関数が Fq上の線形関数であるもの • このとき、ソースからシンク tへの通信は Y1t Y2t t … Yl’t Yt Gt X

  12. 線形ネットワーク符号化 • Gtのランクが lならば Xを求めることができる • 上記を満たすには、最大通信量が l以上であり qが十分に大きい必要がある • 定理 [LYC03][KM03]：マルチキャスト通信での最大通信量は、アルファベットサイズを十分に大きくした線形ネットワーク符号で達成可能 • 決定的アルゴリズム[JSC+05]

  13. F2上では解がないマルチキャスト通信 [RL05] x y ソース s 各リンクの容量は１ v1 v2 v3 v4 t1 t3 t4 t6 t2 t5 ６つのシンク

  14. F2上では解がないマルチキャスト通信 [RL05] x y ソース s d1x+d2y a1x+a2y 各リンクの容量は１ b1x+b2y c1x+c2y v1 v2 v3 v4 t1 t3 t4 t6 t2 t5 a1x+a2y b1x+b2y a1x+a2y c1x+c2y a1x+d2y b1x+d2y b1x+b2y c1x+c2y b1x+b2y d1x+d2y c1x+c2y d1x+d2y

  15. F2上では解がないマルチキャスト通信 [RL05] x y ソース s d1x+d2y a1x+a2y 各リンクの容量は１ b1x+b2y c1x+c2y v1 v2 v3 v4 t1 t3 t4 t6 t2 t5 a1 a2 b1 b2 a1 a2 c1 c2 a1 a2 d1 d2 b1 b2 c1 c2 b1 b2 d1 d2 c1 c2 d1 d2 ６つ行列がすべてランク２をもつ必要がある

  16. F2上では解がないマルチキャスト通信 [RL05] x y ソース s x x+2y 各リンクの容量は１ y x+y v1 v2 v3 v4 t1 t3 t4 t6 t2 t5 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 2 F3上なら解が存在

  17. ベクトル（パケット）による通信 • アルファベットが Fqnのとき、Fq上の n 次元ベクトルを送信していると考えることができる • すると、１つのメッセージは長さ nのベクトル l個 • 各シンクは、独立した l個のベクトルが受信できればよい l’ × n行列 l’ × l行列 l × n行列

  18. ネットワーク符号化の利点・欠点 • 利点 • 通信速度向上 • マルチキャスト通信は線形ネットワーク符号で最大通信量を達成 • 耐性が高い • 通信中にあるパケットが消失しても致命的にならない • 欠点 • 必要なパケットが集まるまで復号できない（遅延が生じる） • ネットワークトポロジを知る必要・符号化関数を各ノードへ教える必要がある • ネットワークの構成が変わってしまうと符号化関数の再構成が必要

  19. ネットワーク符号化の利点・欠点 • 利点 • 通信速度向上 • マルチキャスト通信は線形ネットワーク符号で最大通信量を達成 • 耐性が高い • 通信中にあるパケットが消失しても致命的にならない • 欠点 • 必要なパケットが集まるまで復号できない（遅延が生じる） • ネットワークトポロジを知る必要・符号化関数を各ノードへ教える必要がある • ネットワークの構成が変わってしまうと符号化関数の再構成が必要 ⇒ ランダム線形ネットワーク符号化による解決

  20. ランダム線形ネットワーク符号化 [HMK+06] • 各ノードにおける符号化関数の係数をランダムに選ぶ • 各パケットの先頭に、各ノードでの線形結合を記憶させるためのヘッダを用意 lシンボルのヘッダ n – l シンボルのデータ

  21. ランダム線形ネットワーク符号化 [HMK+06] • Yのランクが nになるまでパケットを集め、ガウスの消去法により Xを復元 • X = [ I X’], Y = G X = G [ I X’] = [G GX’] • Gの係数がランダムの場合、アルファベットサイズ qnが大きいほど Yはフルランクになりやすい • nを大きくとればヘッダは無視できるサイズとなる • ネットワークトポロジを知る必要がない • ネットワークが変化しても方法を変えなくてよい

  22. まとめ • ネットワーク符号化 • ネットワークの各ノードで演算を許したもの（通常のルーティングによる通信の一般化） • 通信速度向上・耐性が高い • マルチキャスト通信の最大通信量は線形ネットワーク符号化で達成 • 線形ランダムネットワーク符号化 • ネットワークトポロジに依存しない通信方法 • さまざまな研究の方向が存在 • 無向グラフ、多対多通信、一対一通信での優位性 • セキュリティ • 盗聴や改ざんに耐性のあるネットワーク符号化 • 誤り訂正 • 誤りや消失に耐性のあるネットワーク符号化

  23. 参考文献 [ACLY00]R. Ahlswede, N. Cai, S.-Y. R. Li, R. W. Yeung, “Network information flow,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 46, no. 4, pp. 1204-1216, July 2000. [HMK+06] T. Ho, M. Medard, R. Koetter, D.R. Karger, M. Effros, J. Shi, B. Leong, “A random linear network coding approach to multicast,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 52, no. 10, Oct. 2006. [JSC+05] S. Jaggi, P. Sanders, P.A. Chou, M. Effros, S. Egner, K. Jain, L.M.G.M. Tolhuizen, “Polynomial time algorithms for multicast network code construction,” IEEE Tran. Inform. Theory, vol. 51, no. 6, June 2005. [KM03] R. Koetter, M. Medard, “An algebraic approach to network coding,” IEEE/ACM Tran. Netw., vol. 11, no. 5. pp. 782-795, Oct. 2003. [LYC03] S.-Y. R. Li, R.W. Yeung, N. Cai, “Linear network coding,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 49, no. 2, Feb. 2003. [RL05] A. Rasala-Lehman, “Network Coding”, Ph. D. thesis, MIT, Jan. 2005. 今回の資料は、ECE1528: Multiuser Information Theory, 2007 の中の Danilo Silva, “Information-Theoretic Aspects of Network Coding” をもとに作成(www.comm.utoronto.ca/~weiyu/ece1528_2007/slides/Danilo.ppt)

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