第一種極値分布

1. 第一種極値分布 分布関数と密度関数

2. 準備１ 指数関数の微分

3. eの確認 ここで h = 1/xとおくと x → ∞ のとき h →0 となるから

4. (1+h)1/hの対数

5. (log(1+h))/h の極限

6. (eh-1)/h の極限 log(1+h) = l ① とおくと、 1+h=el② h=el-1③ となる。

7. l と h の関係（②より） 1 + h = el② において l→ 0 とすると右辺は 1 に収束するから、左辺も 1 に収束する。よって h→ 0 となる。

8. ①を③で割る ここで、 l→ 0 とすると h→ 0 となり、 左辺は1 に収束するから、右辺も 1 に収束する

9. 式の書き換え ここで、分母と分子を入れ替え、lを hに書き換えると

10. 指数関数y = exの導関数

11. 準備２ 合成関数の微分

12. 合成関数とは z = f(y) , y = g(x) を合成して得られる関数 z = f(g(x)) である。

13. 合成関数の微分の定理 y = g(x) が区間(a,b)で微分可能であるとする。更にz = f (y)がy = g (x)の値域を含む区間において微分可能であれば、合成関数 z = f (g (x)) は区間(a,b)で微分可能であって dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) が成立する。

14. 証明の考え方 DzがDxによって引き起こされる z =f(y) の変化量であるから、 Dz/Dx のDx→0のときの極限を求めればよい

15. x , y , zの変化量 変数 xが Dx変化したときの y = g (x) の変化量 Dyは Dy = g (x + Dx) - g (x) であり、 y がD y変化したときの z = f ( y ) の変化量は D z = f ( y + D y ) - f ( y ) である。

16. Dy / Dx g(x)を微分したものを(dy/dx)とする。g(x)は微分可能なので、Dx→0 とすれば Dy/Dx = (g(x+Dx)-g(x))/Dx→ (dy/dx) となる。そこで極限をとる前の式は以下のように表すことができる。 Dy/Dx=(g(x+Dx)-g(x))/Dx=(dy/dx)+e1

17. Dxと e1の関係 Dy/Dx = (g(x+Dx)-g(x))/Dx =(dy/dx)+e1 において、 Dx→ 0 のとき (g(x+Dx)-g(x))/Dx→ (dy/dx) なので e1→0 となる。

18. 最左辺と最右辺を抜き出し式を整理 Dy/Dx = (dy/dx)+e1 Dy = ((dy/dx)+e1)Dx④ ここで Dx→ 0 とするとDy→ 0 である。 このとき、 e1→0 である。

19. Dz / Dyとe2 同様に f(y) を微分したものをdz/dyとすると、f(y)は微分可能なので、 Dz/Dy = (f(y+Dy)-f(y))/Dy = (dz/dy)+e2 と表すことができる。 ここで、 Dy→ 0 のとき e2→0 である。

20. 最左辺と最右辺を抜き出し式を整理 Dz/Dy = (dz/dy)+e2 Dz = ((dz/dy)+e2)Dy⑤ ここで Dy→ 0 とするとDz→ 0 であり e2→0 である。

21. ④を⑤に代入 Dz = ((dz/dy)+e2)((dy/dx)+e1)Dx 両辺をDxで割ると Dz/Dx = ((dz/dy)+e2)((dy/dx)+e1) を得る。

22. Dx→ 0 のときの極限 ここで、 Dx→ 0 とするとDy→ 0 であり、このとき、e1→0、e2→0 なので dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) が成立する。 (証明終わり)

23. ロジットモデルで想定している分布 第一種極値分布

24. 問題 以下の式を xで微分しなさい。

25. 問題 以下の式を xで微分しなさい。

26. 第一種極値分布 分布関数 密度関数

27. 問題 以下の式をグラフで描きなさい

28. 第一種極値分布の分布関数

29. 第一種極値分布の密度関数

30. 分布関数と密度関数の関係 積分 微分

31. 分布関数の簡単な説明 値の意味