第七章 LTI 离散时间系统在变换域中的分析

1. 第七章 LTI离散时间系统在变换域中的分析

2. 概述 • 数字传输函数从其时域序列可分为: • 有限冲激响应 • 无限冲激响应 • 其他分类方法： • 传输函数的幅度响应 • 传输函数的相位响应 • 简单的实用FIR和IIR数字滤波器 • 数字二端口网络

3. 7.1 基于幅度特征的传输函数分类 • 具有理想幅度响应的数字滤波器 • 有界实传输函数 • 全通传输函数

4. 具有理想幅度响应的数字滤波器 • 设计数字滤波器，为了无失真的传输某些频率上的信号： • 让滤波器的频响在这些频率上为1——通带 • 让滤波器的频响在其他频率上为0——阻带 • 四类常见的具有实冲激响应函数的理想数字滤波器的频响：P284 图7.1 • 低通滤波器：通带、阻带 • 高通滤波器：通带、阻带 • 带通滤波器：通带、阻带 • 带阻滤波器：通带、阻带

5. 截止频率：ωcω1ω2

6. 滤波器的实现问题 • 理想滤波器的不可实现性 • 双边无限长 • 非因果 • 不绝对可和 • 利用专门方法设计滤波器 • 允许过渡地带 • 允许通带和阻带上有一定的波动 • 以几种简单的低阶FIR和IIR滤波器级联形成各种功能的滤波器

7. 有界实传输函数(BR) • 定义： |H(ejω)|≤1 • P285 例7.1 BR函数的构造 • 被动结构： • 输出信号的能量不会大于输入信号的能量 • 无损有界实传输函数(LBR)

8. 全通传输函数 • 定义：传输函数的幅度响应对任何频率都是1 • M阶因果实系数全通传输函数的一般形式： 即： • 若z=rejφ是实系数全通传输函数的一个极点，则它有一个零点在1/r*e-jφ

9. M阶因果实系数全通传输函数 • 全通传输函数的分子可以称为分母的镜像多项式，反之亦然。 • 由于因果稳定传输函数的极点必须在单位圆内，因此因果稳定全通传输函数的所有零点必须在单位圆外，并且和与之对应的极点成镜像对称。 • 对称关系见图7.3

10. 全通传输函数的特性 • 因果稳定实系数全通传输函数是无损有界实（LBR）传输函数，即因果稳定全通滤波器是一个无损结构。 • 稳定全通函数AM的幅度： 3. 随着ω从0变化到π，M阶全通函数的相位变化是Mπ。

11. 简单应用 • 群延时：各频率经LTI系统处理后具有不同的相位延时 • 延时均衡器 P289 • G(z)是满足所要求幅度响应的数字滤波器的传输函数 • 其相位响应是非线性的，即不均衡的 • 通过级联一个全通滤波器来校正，如图7.7 • 级联后，在幅度响应不变的同时，整体的群延时在感兴趣频域上近似为常数，结果如图7.8

12. 基于相位的传输函数分类 • 零相位传输函数 • 线性相位传输函数 • 最小相位与最大相位传输函数

13. 零相位传输函数 • 在许多应用中，需要保证所设计的数字滤波器在通带内不会使输入信号的相位发生失真 • 方法： • 使该滤波器的频率响应是实数且非负 • 传输函数的分子分母多项式满足零相位多项式B(z)：

14. 零相位传输函数 • 实现：不可能设计出一个零相位的因果数字滤波器 • 变通方法：在因果要求宽松的情况下

15. 对零相位滤波方案的验证 • 不同信号之间FT的关系为： • 可得输入输出关系为：

16. 数字滤波器的设计 • 一般根据给定的滤波器的规格，先得到平方幅度函数|H(ejω)|2,推导出零相位函数H(z)H(z-1): • 分配极点和零点以得到H(z): • 取一半的极点和零点，剩下的一半是镜像对称 • 为使系统稳定，极点必须在单位圆内 • 对于零点的分配一般没有限制 • P291 例7.2 由特定的平方-幅度函数确定传输函数

17. 线性相位传输函数 • 对于一个具有非零相位响应的因果传输函数，相位失真可以通过允许输出是输入的一个延时信号来加以避免 • 若： • 可得输入输出关系为： 幅度响应： • 传输函数为： 群延迟：

18. 不失真传输 • 若需要在某个频率分量上使幅度和相位不失真的通过，则传输函数在感兴趣频带内具有： • 单位幅度响应 • 线性相位响应 • P292 图7.10 线性相位响应的理想低通滤波器 • P292 例7.3

19. 最小相位和最大相位传输函数 • 传输函数另一种很有用的分类： • 基于其零点的位置即其对相位响应的影响进行 • 考虑两个传输函数：P7.32a和P7.32b • 零点和极点：图7.12 • 相同极点：都在单位圆内，故是代表稳定系统。 • 不同零点：H1在单位圆内，H2在单位圆外 • 幅度函数和相位响应 • 幅度函数完全相同 • 相位响应：H2比H1相比有滞后 图7.13

20. 最小相位和最大相位传输函数 • 最小相位传输函数： • 所有零点都在单位圆内的因果稳定传输函数 • 如P291 式7.25a • 最大相位传输函数： • 所有零点都在单位圆外的因果稳定传输函数 • 如P291 式7.25d • 混合相位传输函数 • 零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定传输函数 • 如P291 式7.25b、式7.25c • 混合相位、最小相位和最大相位传输函数之间的关系：P294 例7.4

21. 线性相位FIR传输函数的类型 • 通常可以恰好设计带有线性相位的FIR传输函数，而几乎不可能设计线性相位的IIR传输函数： • 根据滤波器长度为奇或为偶，冲激响应是正对称或反对称，可以有四种线性相位FIR滤波器

22. 简单数字滤波器 • 满足频率选择要求的滤波器主要在第九章和第十章讨论 • 本节讨论低阶系统： • 低通FIR数字滤波器 • 高通FIR数字滤波器 • 低通IIR数字滤波器 • 高通IIR数字滤波器

23. 低通FIR数字滤波器 • 最简单的低通FIR滤波器是M=2的滑动平均滤波器，其传输函数为： • 极点：z=0 • 极点向量对于所有的ω都有单位幅度 • 零点：z=-1 • 随着ω从0增加到π，零点向量的幅度从单位圆的直径2开始下降到0 • 幅度函数的最大值在ω=0处，最小值在ω= π处

24. 低通FIR数字滤波器 • M=2的滑动平均滤波器，其频率响应为： • 3dB截止频率ωc，则： • 求ωc： • 小于ωc，为通带，大于ωc为阻带 • P305 图7.18(a)(b)

25. 高通FIR数字滤波器 • 前式以-z代替z可得： • 相应的频响： • 幅度响应如图7.18(c)所示 • 3dB截止频率ωc也在π/2处 • 改进的高阶频率响应可以通过若干个简单高通滤波器级联得到 – 可以得到更为尖锐的幅度响应。

26. 高通FIR数字滤波器的应用 • 运动目标指示雷达 • 信号：由雷达波束传播路径中的固定目标产生 • 干扰信号（杂波）：由地表反射和气候反射产生，主要为接近0频率的频率分量 • 通过两个高通FIR滤波器的级联将其滤除

27. IIR数字滤波器 • 与FIR数字滤波器相比较，IIR数字滤波器允许其极点在单位圆内移动。 • 使得极点对滤波器频率响应的波形具有更多的影响 • 复杂的IIR滤波器可以通过简单的IIR滤波器级联产生

28. 低通IIR数字滤波器 • 由P285式7.3改进: • 增加一个因子(1+z-1)到传输函数的分子上，使得幅度函数在滤波器阻带的ω=π处有一个零点。 • 利用该因子，还可使原传输函数在a<0时具有高通幅度响应转变为低通幅度响应 • 分析极点向量和零点向量

29. 低通IIR数字滤波器 • 为将传输函数的幅度最大值定义为1，选择k=(1-α)/2 • 为了滤波器的稳定性，令0<|α|<1 • P307 图7.19 分析极点和零点的位置对波形的影响

30. 低通IIR数字滤波器的截止频率 • 求3dB截止频率ωc • 得到： • 若|α|<1，则HLP(z)是一个有界实函数

31. 高通IIR数字滤波器 • 由P285式7.3改进: • 增加一个因子(1-z-1)到传输函数的分子上，使得幅度函数在滤波器阻带的ω=0处有一个零点。 • 利用该因子，使原传输函数在a>0时也具有高通幅度响应 • 使ω=π幅度为1，选择k=(1+α)/2，即： • 为了传输函数的稳定性，限定|α|<1

32. 高通IIR数字滤波器 • P308 图7.20 分析极点和零点的位置对波形的影响 • 应用：直流阻隔器 • 在乐声的合成中，阻挡延时线环路中传播的信号的直流成分。 • 多轨录音中，消除由于各个轨道上的直流成分的叠加而产生的混频器的溢出。 • P308 例7.9

33. 带通IIR数字滤波器 • 利用二阶实系数传输函数表示： • 一对复共轭极点 • 在z=1和z=-1处分别有一个零点，使得幅度函数在ω=0和ω=π处等于零。 • 二阶带通数字滤波器表示如下： • 复共轭极点：z=re±jφ 其中： 为使滤波器稳定，必须r<1，则有α<1

34. 带通IIR数字滤波器 • 其平方幅度函数 • 在ω0=arccosβ时，平方幅度函数具有最大值 • ω0称为带通滤波器的中心频率 • 为使幅度函数的最大值等于1，选择K=(1-α)/2， 得到带通IIR数字滤波器的传输函数为：

35. 带通IIR数字滤波器 • 频率ωc1和ωc2称为3dB截止频率，在这两个频率上，平方幅度响应将减为1/2，它们的差值称为3dB带宽，即在ωc1<ωc2时有： • 带通滤波器的品质因数Q为： • 参数α和β对幅度响应的不同影响：P309图7.21

36. 带通IIR数字滤波器设计举例 • P310 例7.10 二阶带通数字滤波器设计 • P310 例7.11 利用matlab直接设计

37. 带阻IIR数字滤波器 • 选择一个形如(1-2cosω0z-1+z-2)的二阶多项式作为分子的一个因子，使在ω0处为零点 • 频率ω0为陷波频率 • 二阶带阻传输函数有如下形式： • 令K=(1+α)/2，则当ω=0和ω=π时，幅度函数有最大值1

38. 带阻IIR数字滤波器 • 同样定义3dB带宽Bω • 带阻滤波器的品质因数Q为：

39. 用matlab直接设计带阻滤波器 • 设计一个阻带中心频率为0.4π，品质因数为35的带阻滤波器 • matlab程序如下： Wo = 0.4; BW = Wo/35; [b,a] = iirnotch(Wo,BW); fvtool(b,a);

40. 高阶IIR数字滤波器 • 形成：级联以上提到的简单数字滤波器 • 作用：实现具有更尖锐幅度响应的数字滤波器 • 对K个一阶低通滤波器的级联，传输函数为： • 由平方幅度函数求3dB截止频率ω0：

41. 高阶IIR数字滤波器 • P312 例7.12利用一个单元和多个单元的级联结构设计一个低通滤波器 • 同理：一阶高通数字滤波器的级联会产生在增益响应中具有更尖锐下降的高通滤波器 • 带通滤波器： • 由图7.25可知，二阶带通滤波器的级联可以产生3dB带宽较窄的带通滤波器 • 可以通过增加α的值来获得较窄的3dB带宽，但这使得滤波器的极点更接近单位圆，但通过二阶滤波器的级联则无此问题 • 带阻滤波器：同带通滤波器

42. 逆系统 • 若两个因果LTI离散时间系统的冲激响应函数h1[n]和h2[n]满足关系： 则称这两个系统是互逆的 • 应用：恢复失真的信号x[n]。 • 通常由于接受到的信号y[n]受到信道的冲激响应函数h1[n]作用而失真，为了恢复原始信号x[n]，需要通过一个和传输信道互逆的系统h2[n]

43. x[n] y[n] v[n] h1[n] h2[n] 系统的输出信号v[n]等于原始输入信号x[n]

44. 逆系统的z域表示 • 为从z域中表述逆系统，对逆系统时域表达式两边取z变换可得： • 例7.19 确定一个因果稳定最小相位系统LTI IIR滤波器的逆系统

45. 系统识别 • 问题：寻找某系统的冲激响应 • 途径：将一个已知输入序列x[n]作用于一个未知且初始状态松弛的因果LTI系统，根据观测输出信号y[n]和已知的x[n]来确定系统的冲激响应h[n]或H(z) • 与已知x[n]和h[n]来求y[n]是对偶问题 • 方法一：利用卷积公式来倒推：

46. 系统识别 • 方法二：利用输入信号的能量密度谱Sxx(ejω)和输入信号x[n]和输出信号y[n]的互能量密度谱Syx(ejω)

47. 数字二端口网络 • 前面考虑的所有系统都是单输入单输出系统 • LTI离散时间系统也可以通过双输入\双输出结构来实现，称为：二端口网络 • 数字二端口网络两种不同表示方法 • P326 图7.34

48. 数字二端口网络的特性 • 表示方法一中：传输矩阵 • 表示方法二中：链矩阵 • 传输矩阵和链矩阵的关系

49. 二端口网络互联方案 • Г级联P327 图7.35 • г级联P327 图7.36 • 受限二端网络 P327 图7.37