カメラ座標に関する操作

カメラ座標に関する操作 牧之内研究室４年　増尾　源哉２００２年７月１９日参考文献：・DirectX SDK ヘルプ・「３次元コンピュータグラフィックス」　　　昭晃堂　中前栄八労・西田友是　共著 Hawk's Eye Web ページ http://www.db.is.kyushu-u.ac.jp/hawks_publications/

カメラ座標 y z x ワールド座標 y’ x’ z’ カメラ座標とは？ • カメラ座標とは、ワールド座標に対し、「視点」を置く位置を原点とした座標である。 • また、そのとき、視線はz’軸の方向となる。そして、z’の方向を向いたときにカメラ座標での「上側」はy’軸の方向となり、「右側」はx’軸の方向となる。

注意点 • DirectXでは、左手系座標を利用しているので、ある軸に関する「回転」や「ベクトルの外積」は次のようになる。 A×B A B

DirectXでのカメラ座標の設定 • DirectXでカメラ座標を設定する際は、ビュー行列という４×４型の行列に値を設定すればよい。 • このビュー行列は、ワールド座標からカメラ座標に座標変換をする際に用いられる。 • ビュー行列に単位行列を与えると、カメラ座標はワールド座標と等しくなる。

カメラの操作 • カメラで必要な操作は次のようなものである。

行列の意味

y z x １．視点切り替え • ワールド座標から右図のＰにビュー座標を移す変換行列がMで与えられているとする。 • 現在のカメラ位置をC(c1, c2, c3)、移動する先のカメラ位置をC’(c1’, c2’, c3’)（どちらもワールド座標系での座標）とする。 (c1’-c1, c2’-c2, c3’-c3)だけ平行移動すればよい。この平行移動の行列は、 C(c1, c2, c3) C’(c1’, c2’, c3’) であり、ビュー行列として、を設定すればよい。

２．ズーム（注視点に近づく、遠ざかる） • カメラ座標系では、カメラ位置Cは原点(0, 0, 0)、注視点Pは(0, 0, s)(sは正)と表すことができる。 • このとき、カメラをPに近づいたり、遠ざかったりするには、z軸方向に平行移動をすればよい。よって、平行移動 C C’ P で与えられる。よって、ビュー行列として、を設定すればよい。また、0<k<sのとき注視点に近づき、k<0のとき注視点から遠ざかる。

y C(c1, c2, c3) P(p1, p2, p3) z Q(q1, q2, q3) x ３．特定の注視点にカメラを向ける • 下の図のように、カメラの位置がC、注視点がPのとき、カメラを回転させて点Qを注視点とすることを考える。

y n C(c1, c2, c3) P(p1, p2, p3) θ z Q(q1, q2, q3) x • 三角形CPQの単位法線ベクトルをnとすると、　と表され、点PからQに注視点を移すには、このベクトルｎを軸とし、ｎの周りにθ回転すればよい。 • よって、ｎのまわりの回転を表す行列を求めればよいことになる。

y C(c1, c2, c3) v = (v1, v2, v3) z P(p1, p2, p3) x ある平面に対する法線ベクトルを求める方法 • ワールド座標において、カメラの位置C(c1, c2, c3)（ワールド座標における座標）、点P(p1, p2, p3)（ワールド座標における座標）、Pを始点とするベクトルv=(v1, v2, v3)の２点とベクトルが与えられたとする。これらが作る平面に対する法線を求めることを考える。ワールド座標

ある平面に対する法線ベクトルを求める方法 y C(c1, c2, c3) n=(n1, n2, n3) v = (v1, v2, v3) z P(p1, p2, p3) x • 　２点C, Pとベクトルvが作る平面に対する法線は、C, P, vが作る３角形の法線のことである。 • 　ここで、ベクトルCPを考えると、この三角形の法線は、ベクトルCPとベクトルvの外積であることから、法線ベクトルは、次のように与えらる。ゆえに、

単位ベクトルｎの周りの回転を表す行列 • n=(u, v, w)を単位ベクトルとする。座標をｎの周りにθ回転させる変換行列は、で与えられる。よって、ビュー行列に、を設定すればよい。

単位ベクトルｎの周りの回転を表す行列（補足）単位ベクトルｎの周りの回転を表す行列（補足） • 前述の単位ベクトルがx軸方向、y軸方向、z軸方向であった場合の行列はそれぞれ以下のとおりである • 単位ベクトルがx軸方向 • 単位ベクトルがy軸方向 • 単位ベクトルがz軸方向

４．注視点を固定したカメラ位置の回転 • 注視点を固定し、現在の視点Cを始点とするベクトルｖの方向にθ回転するための変換を考える。 y P(p1, p2, p3) C(c1, c2, c3) θ v=(v1, v2, v3) z C’(c1’, c2’, c3’) x

P(p1, p2, p3) |C P| |C P| θ y z C(c1, c2, c3) x C’(c1’, c2’, c3’) ｘ軸、y軸方向へのカメラ位置の回転 • まず、簡単のため、vをカメラ座標系でのｘ軸方向、ｙ軸方向として考える。（カメラ座標系でのｚ軸は視点の方向なので、ｚ軸の方向に回転する、ということは考えなくてよい） • ｘ軸方向にθ回転することを考える。 • まず回転後の座標C’に平行移動 • 向きをPに向ける（これは３で行った変換） Cを原点とするカメラ座標から見たC’の座標は、となり、「１．平行移動」で説明した行列をM’とする。

P(p1, p2, p3) y θ z C’(c1’, c2’, c3’) x P(p1, p2, p3) • 平行移動後、C’を原点とする座標系を考え、ｙ軸の周りに－θ回転すれば注視点はPを向く。 • この回転は「３．特定の注視点にカメラを向ける」での説明のうち、単位ベクトルnをy軸方向の単位ベクトル(0, 1, 0)とし、－θ回転するような行列を与えればよい。　　この行列をM’’とする。 • 変換前の座標系Cにカメラを移す行列がMで与えられているとすると、　　ビュー行列に　　を設定すればよい。 |C P| |C P| θ y z y z C(c1, c2, c3) x 平行移動 x C’(c1’, c2’, c3’) θ

同様に、ｙ軸方向にθ回転する場合の行列も求めることが出来る。同様に、ｙ軸方向にθ回転する場合の行列も求めることが出来る。 • Cを原点とするカメラ座標から見たC’の座標は、　　となり、この平行移動の行列をM’とする。 • 次に、C’を原点とした座標系で回転では、単位ベクトルnをx軸方向の単位ベクトル(1, 0, 0)とし、その周りをθ回転を考えればよい。　　この回転の行列をM’’とする。 • 変換前の座標系Cにカメラを移す行列がMで与えられているとすると、　　ビュー行列に　　を設定すればよい

P(p1, p2, p3) P C’(c1’, c2’, c3’) |C P| C’ P |C P| θ |C P| C’ θ y θ z C v C x v v C(c1, c2, c3) 任意の方向へのカメラ位置の回転 • 任意のベクトルv(vはxy平面上のベクトル）の方向にθ回転することを考える。 • まず、ｘ座標とベクトルvの向きが等しくなるようにｚ軸のまわりに座標系を回転させる。その角度は • 次に、ｘ軸方向にθ回転させればよい x軸方向とvの方向を等しくする x軸方向に回転

x軸をベクトルvの方向と等しくするためにz軸の周りに座標系を回転させるための行列は、「単位ベクトルｎの周りの回転を表す行列（補足）」の中で説明した「単位ベクトルをz軸方向」とした場合の行列である。x軸をベクトルvの方向と等しくするためにz軸の周りに座標系を回転させるための行列は、「単位ベクトルｎの周りの回転を表す行列（補足）」の中で説明した「単位ベクトルをz軸方向」とした場合の行列である。（回転角は　　　　　　　　　である。）　　この行列をM’とする。 • 次にx軸方向に回転させるための行列は、「x軸、y軸方向へのカメラ位置の回転」の中で説明した「x軸方向への回転」とした場合の行列である。　　（回転角はθである。）この行列をM’’とする。 • 変換前の座標系Cにカメラを移す行列がMで与えられているとすると、　　ビュー行列にを設定すればよい。

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