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第五章 时间推进法

第五章 时间推进法. 内容 守恒形式欧拉方程 非定常欧拉方程的特征线 非定常欧拉方程显式差分 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法 无粘流计算的人工粘性 加速收敛的方法及算例 重点 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法. 5-1 守恒形式的非定常欧拉方程. 一、引言 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。 非定常二维可压缩欧拉方程. 方程的性质 方程是双曲型（对时间） 跨音速区包含激波 时间推进分法可以克服跨音速计算困难 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态）

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第五章 时间推进法

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  1. 第五章 时间推进法 • 内容 • 守恒形式欧拉方程 • 非定常欧拉方程的特征线 • 非定常欧拉方程显式差分 • 多维流的时间分裂法 • 非定常欧拉方程有限体积法 • 无粘流计算的人工粘性 • 加速收敛的方法及算例 • 重点 • 多维流的时间分裂法 • 非定常欧拉方程有限体积法

  2. 5-1 守恒形式的非定常欧拉方程 一、引言 • 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。 • 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。 • 非定常二维可压缩欧拉方程

  3. 方程的性质 方程是双曲型（对时间） 跨音速区包含激波 时间推进分法可以克服跨音速计算困难 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态） 全场统一用一种数值方法 可以使用有限体积方法 二、积分形式的守恒型非定常方程组 只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物理守恒律。

  4. 连续方程： 动量方程： 能量方程： 令 绝势流动能量方程为：

  5. 三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D） 或引入总焓 ，则

  6. 根据连续方程改写为

  7. 四、守恒的欧拉方程组的缩写 通用形式 其中，U,F,G,H是列向量

  8. 可写成是向量矩阵形式 则

  9. 积分型的矢量矩阵表达式

  10. 五、气体状态方程 • 引入完全气体状态方程 • 方程组封闭可解 • 例:一维流欧拉方程具体表达式 其中，

  11. 则 令 • F是复合函数

  12. 令

  13. 方程可写为 • 同理可写出二维欧拉方程的通用表达式 其中

  14. §5-2非定常欧拉方程的特征线（自学）

  15. 5-3 非定长欧拉方程的显式格式 一、简单线性波动方程 x=at+c t 其解析解存在 沿特征线上 x 0 二、一阶精度显示差分

  16. 截断误差 差分依赖区边界上 （微分依赖区与差分依赖区重合）

  17. 精确平移条件：特征线 上u不变 特征线 i-1 i • 一阶显示差分格式将不稳定，不能用

  18. 三、二阶精度的显示格式 利用Taylor级数可构造二阶精度显示差分格式 差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）

  19. CFL( Courant-Friedrichs-Lowy)数 令 则有 • 当CFL=1时，差分方程的依赖区与微分方程依赖区重合，得到的结果与精确解相同

  20. 四、二阶精度显示两步差分 预估： 校正： 即 • 具有二阶精度

  21. 二步格式的构造 向后差分 预估： 给出中间结果 ，具有一阶精度 校正： 用中间结果构造向前差分 得到二阶精度 • 可以反过来，先向前再向后差分，即

  22. 五、一维流欧拉方程组差分格式 • 方程通用格式 • V、F表达式同前 • 预估式 • V具有一阶精度 • 校正式 • V具有二阶精度 • 与其等价的微分方程为

  23. 稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。 • V其稳定性条件 • 即

  24. 或 • CFL • ！没有经过严格证明的结论 • 六、二维流欧拉方程组 • 方程通用形式 • 其中U,F,G同前 • 两步法格式: • 预估 • 校正

  25. 以差分算子Lxy表示，则 • ——MacCormark二阶精度差分格式 • 分 “七点式” “五点式” • 稳定性条件： 或

  26. §5-4 多维流的时间分裂法 • Time deposition method of Multi-dimension flow • 维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。 Number of dimensions increase leads the stability time step decrease • 显示格式的计算率降低 Efficiency of explicit scheme decrease • 用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维差分格式 Two step time decomposition method is to decompose computation into two step

  27. 或记为

  28. y x 0 • 依赖于x,y平面内的九个点，先对y求解，再对x求解，为消除x,y顺序影响，第二个时间步可先对x求解再对y求解。 • It depends on 9 points in x y plane, firstly to solve it for x then for y in order • to eliminated the effect on sequence ,second step is for x first and then for • y.

  29. 在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长 To determine time step individual for x and y 各方面均选取最大允许的值。 On both direction , the time step can be maximum value. 举例：三角形翼型的流动。 契形顶角 Example ：triangle airfoil AOA 10 ,Angle of leading edge

  30. Take =const • y方向分三区：近场、中场、远场 Divide 3 zones in y direction, near，middle，far field

  31. 估算x和y方向时间步长 • Calculate the time steps in x and y direction.

  32. 时间步长： • time step : • 中间场：middle • 近 场：near • 远 场：far

  33. 最大时步长 Max time step • 各区的运算可规定为 • The computation regular for every zone • 近场 near • 中间 middle

  34. 远场 far • 四步推时 的运算可规定为 4 steps match ( ) computation • 近 near • 中 Middle • 近 near

  35. 中 middle • 远 far • 可提高效率 • Improve efficiency • 近场 4ⅹ32网格 4次 • near • 中 8ⅹ32网格 2次 • middle • 远 12ⅹ32网格 1次 • far

  36. 近场，中场，远场均执行2次，共1536次 • Near middle far perform 2 times, 1536 • 推进4 ，执行的运算次数（时间） Total computational time for 4 in total matching

  37. 若三区网格数相同，全部时间为 If the mesh number are same for three zones （24ⅹ32） 允许最大时间步 Max time step

  38. 时间分裂格式的相对数值效率为 The numerical efficiency of time matching scheme 其中Tst代表单位推进需要的计算机时 Where Tst denotes time required for every step 结果见p117中图5.4.6 Results: See p117, Fig.5.4.6

  39. 非定常欧拉方程组中，用总焓方程代替非定常能量方程也能求得定常解非定常欧拉方程组中，用总焓方程代替非定常能量方程也能求得定常解 • In unsteady Euler Eqs. The energy equation can be replace by • equation of total 时，方程趋于定常，整个流场总焓不变 • 当 When the equation becomes steady form

  40. 5-5非定常欧拉方程有限体积法 The finite volume method for Euler equations • 限体积法：用基本方程积分，以空间体积元素为对象离散化方程 • Finite volume method: to use integral form of basic equations, and express • discrete equation in form of volume

  41. 其中（对二维问题） where ( for 2d problem) • 为控制面的法向量 • Where is normal vector of control surface • 总焓均匀且不随时间变化的Euler流The Euler flow in which the total enthalpy is uniform and does not change with time

  42. i,j+1 i-1,j i,j i+1,j i,j-1 • 一、 Maccormark 时间分裂有限体积法 • Time decomposition method of Maccormark • 二阶精度显示两步法格式 • 2nd order explicit FD with two steps matching y o x

  43. 网格单元面积（三维问题则为体积） • the area of mesh • 单元边界长度矢量（面积矢量） • the vector of boundary edges • 差分格式的积分表形式 • the integrated form of FD

  44. 其中 代表网格中心点的值 where donates the value of center of the mesh

  45. 引入算子表达式 introduce FD calculator 稳定条件 stability condition

  46. 当 为常数时，格式是有二阶精度 • Where are constant, the scheme is of 2nd precision • (二)非正交曲线坐标网格Non-orthogonal grids • 有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网格 FVM can be apply not only in orthogonal grids but also in non-orthogonal grids 4 3 1 2

  47. 对非正交网格 • For non-orthogonal grids 4 1 3 2

  48. 体积（面积） Volume（area）

  49. 以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式 • Take continuity equation as an example， the FD scheme for FVM can be written as

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