2.5 微分

1. 2.5 微分 • 主要内容: • 微分的概念. • 2.微分的几何意义. • 3.微分的运算 • 4.微分在近似计算中的应用

2. x0 (x)2 x x x0x x0 x0x A=x02 一、微分的定义 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长x由 问此金属薄片的面积 A 改变了多少？ 因为 所以金属薄片 的面积改变量为 的线性函数, 是 的主要部分，可以 近似的代替

3. 定义 若函数 在点 的增量可表示为 （A为不依赖于△x 的常数） 则称函数 y = f(x) 在点 可微，而 在点 称为 f(x) 的微分，记作 dy 或 df， 即 例１ 求函数 （１）当由１变到1.01时的微分 （２）在时x=3的微分. 解 （１） （２）

4. 可微的充要条件是 在点 函数 处可导，且 y=f(x) 在点 即 定理 证 “必要性” 已知 y=f(x) 在点 可微，则 故 y=f(x) 在点 可导， 且

5. 在点 可微的充要条件是 函数 处可导，且 y=f(x) 在点 即 定理 证：“充分性” 已知 y=f(x) 在点 可导，则 故 即

6. 自变量的微分： 因为当 y=x 时， 所以通常把自变量x的增量 称为自变量的微分， 记作 dx , 即 因此，函数 y=f(x) 的微分又记作

7. 增量与微分的关系: 根据等价无穷小的性质, 从而 结论:

8. 二 、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 很小时, 记 自变量的微分, 记作 则有 从而 导数也叫作微商

9. 三、微分公式与微分运算法则 1．基本初等函数的微分公式 (xm)m xm1 d(xm)mxm1dx (sin x)cos x d(sin x)cos xdx (cos x)sin x d(cos x)sin xdx (tan x)sec 2x d(tan x)sec 2xdx (cot x)csc 2x d(cot x)csc 2xdx (sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx (csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx (ax )axln a d(ax)axln adx (ex)ex d(ex)exdx

11. 2.函数和、差、积、商的微分法则 求导法则: 微分法则:

12. 设 及 都可导，则复合函数 的微分为 3.微分形式的不变性 由于 所以,复合函数 的微分公式 也可以写成 由此可见,无论u是自变量还是另一个变量的可微函数， 微分形式 保持不变． 这一性质称为微分形式的不变性．

13. 例２ 解 把2x+1看成中间变量u，则 在求复合函数导数时，可以不写出中间变量． 例３ 解 （方法一） （方法二）

14. 求由方程 所确定的隐函数 y 的导数 例４ 解 对所给方程两边分别求导，得 即

15. 在下列不等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立．在下列不等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立． 例５ 所以 （１）因为 解 一般地，有 （２）因为 所以 因此

16. 处的导数 如果函数 y=f(x) 在点 四、微分在近似计算中的应用 很小时，我们有 那么又有

17. １．利用公式 求函数增量的近似值 半径为10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了 例６ 0.05厘米,问面积增大了多少? 解 设圆面积为A,半径为r, 则 现在已知r=10厘米， 厘米， 由公式 得 即面积增大3.14平方厘米.

18. 求函数在 2. 利用公式 利用微分计算 的近似值。 附近的值 例7 解 即

19. 常用的近似公式（假定 是较小的数值）: 3.利用公式 求函数在x=0附近的值. 证明 (1)设 于是 代入公式 得 即

20. 例8 计算下列各式的近似值. 解 (1)应用近似公式(1),因为n=2,所以 于是 (2)仍用近似公式(1),因为n=3,所以 这时必须先将 变形，使它满足 的形式（注意 要比较小），因为 所以 (3)应用近似公式(3)得

21. 五、内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : (u是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算

22. 六 、 作业 1(1)(2)(3) 2(1)(2)