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Gestion du Bankroll (Bankroll management)

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  1. Gestion du Bankroll (Bankroll management) 2ème partie Optimiser votre gestion de bankroll Auteur : MyKQ – pour le CP95 Révision 0 du 20/08/08

  2. Sommaire • Résumé de la première partie • Adaptation du niveau au bankroll • Recherche du buyin optimal • Le critère de Kelly • Annexes

  3. Résumé de la première partie La première partie de cette présentation vous a montré • L’intérêt d’avoir un bankroll dédié au poker • La manière de constituer et gérer ce bankroll • Les raisons pour lesquelles il ne faut engager qu’une petite partie de son bankroll à chaque partie Elle vous a proposé également des recommandations permettant de déterminer le bankroll nécessaire pour jouer à telle ou telle limite en fonction de votre niveau d’aversion au risque.

  4. Exercice (révision) Question 1 : Joe est un joueur intermédiaire a un bankroll de 1000$. Il décide jouer en NL50$ (blinds 0.25/0.50$, full-stack). Son WR calculé par poker tracker sur un echantillon raisonnable est de 5 bigblinds pour 100 mains. Son SD calculé est proche du SD de référence pour le NL : 90 bigblinds / 100 mains Quel est son RoR ?

  5. Exercice (révision) Réponse question 1 : Application directe de la formule du ROR avec : BR = 1000$ WR = 5 x 0.5 = 2.5$ / 100mains SD = 90 x 0.5 = 45$ / 100mains ROR = e (-2 BR*WR/(SD*SD)) ROR = 8.47 %

  6. Adaptation du niveau au bankroll Question 2 : Mais Joe est un joueur prudent. Il décide que si jamais son bankroll descend en dessous de 500$, il jouera alors en NL25$. Si son bankroll descend en dessous de 200$, il descendra encore et jouera en NL10$ (en revanche, il se refuse jouer moins qu’en NL10$ quite à tout perdre). On considérera que son WR est aussi égal à 5 bigblinds / 100 mains en NL25$ et NL10$, et que son SD reste toujours constant à 90 bigblinds/100mains Quel est son RoR ?

  7. Adaptation du niveau au bankroll Réponse question 2 : Pour répondre à la question, il faut décomposer le problème en 3 sous-problèmes : • R1 = Risque de perdre 500$ en NL50$ • R2 = Risque de perdre 300$ en NL25$ • R3 = Risque de perdre 200$ en NL10$ Le ROR est la conjonction de ces trois probabilités ROR = R1 x R2 x R3

  8. Adaptation du niveau au bankroll R1 = Risque de perdre 500$ en NL50$ Application directe de la formule du ROR avec :Bankroll = 500$, WR=5*0.50$ = 2.50$, SD=90*0.50$ = 45$R1 = 29.1 % R2 = Risque de perdre 300$ en NL25$ Application directe de la formule du ROR avec :Bankroll = 300$, WR=5*0.25$ = 1.25$, SD=90*0.25$ = 22.50$R2 = 22.7 % R3 = Risque de perdre 200$ en NL10$ Application directe de la formule du ROR avec :Bankroll = 200$, WR=5*0.10$ = 0.50$, SD=90*.0.10$ = 9$R3 = 8.5 % ROR = R1 x R2 x R3 = 0.56 %

  9. Adaptation du niveau au bankroll Conséquence : En acceptant de descendre de limite ou de buyin lorsqu’on a perdu une certaine somme, Joe a réduit de manière considérable son ROR ! Joe a accepté de mettre son égo au placard pour éviter la banqueroute, vous devez faire comme lui lorsque vous constatez que votre bankroll décroît !

  10. Adaptation du niveau au bankroll Recommandations : Lorsque vous jouez à un niveau (buyin / blinds) donné, vous devez savoir à partir de quel seuil de perte vous devez descendre (et vous y tenir si le pire devait arriver !). Lorsque vous décidez de « monter de niveau » (jouer à un niveau de blinds/buyin supérieur), vous devez déterminer les conditions qui vous obligeraient à redescendre de niveau.

  11. Adaptation du niveau au bankroll Notre ami Joe décide de se concentrer sur le cash-game NL. Après avoir longuement reflechit, il décide d’adopter la stratégie suivante : Son bankroll doit être supérieur ou égal à 20 x la cave nécessaire pour jouer full-stack à un niveau donné.

  12. Adaptation du niveau au bankroll Problème : Arrivé à un seuil (1000$ de bankroll par exemple), Joe risque de faire de très nombreux aller-retours entre NL25$ et NL50$, le temps que son bankroll se stabilise bien au dessus de 1000$ (ou bien en dessous). Jack, le frère de Joe, utilise une règle similaire à celle de Joe. Mais pour éviter ces aller-retours au niveau des seuils, (et lui permettre de s’habituer au nouveau niveau), Jack utilise une hystérésis : Le seuil de déclenchement de passage au prochain niveau reste identique, mais le seuil de retour au niveau précédent est différent. Ainsi, Jack accepte de passer au niveau supérieur lorsqu’il a 20x la cave nécessaire, mais il ne redescendra au niveau précédent que s’il est redescendu à moins de 15 caves. Il se laisse une marge de 5 buyins pour essayer le niveau supérieur.

  13. Adaptation du niveau au bankroll Jack suivra donc une évolution plus fluide qui pourra être représentée par la courbe ci-dessous :

  14. Recherche du buy-in optimal Y a t’il un montant (buy-in) optimal à engager en fonction de son bankroll ? (le buy-in optimal correspond au buy-in qui permet d’obtenir la croissance optimale du bankroll) Si on engage trop d’argent sur une cession donnée, le ROR est trop élevé. Si on n’engage pas assez d’argent sur une cession donnée, la rentabilité est ridicule. Certainement, il existe un « juste milieu » … mais lequel ?

  15. Recherche du buy-in optimal Je vous propose un jeu. Vous faîtes une mise quelconque (x), puis lancez un dès (non pipé), si vous faites un « 6 », vous gagnez 6 fois votre mise (et récupérez votre mise) . Sinon, vous perdez votre mise. Nous avons tous deux des bankrolls illimités. Acceptez vous de jouer avec moi ? Manifestement, ce jeu a une espérance de gain positif, et vous seriez bien bête de le refuser. Espérance de gain (WR) = 1/6 (6x) + 5/6 (–x) = 1/6x En moyenne, vous gagnez 1/6ème de votre mise sur chaque lancé de dès.

  16. Recherche du buy-in optimal Mais compliquons un peu les règles. Vous avez maintenant un bankroll limité (le mien est très supérieur au votre) et vous devez miser à chaque fois la moitié de votre bankroll sur chaque jet de dès. Toujours prêt à jouer ? Etonnament, si sur un seul jet de dès, votre espérance de gain est positive, sur plusieurs jets de dès, vous allez (statistiquement) peu à peu grignotter votre bankroll … et je finierai par tout avoir ! Ceci est assez peu intuitif ! Pourtant … essayez ! (sur un nombre suffisant de lancer de dès) (On aurait le même résultat avec 10% de votre bankroll, mais ce serait beaucoup plus long à mettre clairement en évidence)

  17. Recherche du buy-in optimal Sur un lancé, l’espérance est maximisée en misant le maximum (100% du bankroll) Sur n lancés, l’espérance est maximisée en misant le maximum à chaque fois (100% du bankroll). En se basant uniquement sur l’espérance mathématique de gain, il faudrait donc miser 100% de son bankroll à chaque fois pour maximiser ses gains. Pourtant, en faisant ça lorsque le nombre de lancés croit, la probabilité de tout perdre tend vers 100% (certitude). C’est le Paradoxe de Saint Petersbourg

  18. Recherche du buy-in optimal Le Paradoxe de Saint Petersbourg Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise initiale, l’espérance mathématique de gain est positive, et même infinie, pour le joueur. Pourtant, tout quidam sain d'esprit refusera de jouer à un tel jeu si la mise initiale est trop élevée. Ce comportement d'apparence irrationnelle s'appelle l’aversion au risque. Il a été formalisé par la notion de fonction d’utilité et a donné naissance à la théorie de la décision. Nous reviendrons sur la notion de « fonction d’utilité » dans la 3ème partie de cette présentation.

  19. Recherche du buy-in optimal La mise optimale dans ce jeu se situe donc quelque part entre 0% du bankroll (vous ne misez rien, donc ne gagnez rien) et 100% du bankroll (ruine assurée dès que vous ratez un jet de dès). Quelque part entre ces deux seuils se situe la mise optimale qui permet d’obtenir les meilleurs revenus.

  20. Le Critère de Kelly La solution a été apportée par J.L. Kelly Jr. (Bells Labs 1956). La formule de Kelly (plus communément connue sous le nom de Critère de Kelly) permet de maximiser la croissance à long terme d’une série de paris identiques et à espérance de gain positive. La formule détermine la proportion optimale du bankroll à miser sur chaque itération. Cette formule optimise la croissance à long terme, et ainsi minimise le risque de ruine (celui-ci tend vers 0).

  21. Le Critère de Kelly La croissance à long-terme est maximisée en trouvant la proportion f* du bankroll qui maximise la moyenne des logarithmes des résultats. Démontrer tout ça nécessiterait quelques calculs un peu complexes. Ceux qui sont interessés par les détails peuvent faire des recherches sur les sites spécialisés (ou sur ceux relatifs au Blackjack ou a la gestion dynamique de portefeuilles boursiers) et mettre leurs capacités mathématiques à l’épreuve. Pour les autres, les formules vous seront donnés tel-quel sans plus de blabla.

  22. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre) La proportion optimale du bankroll (notée f*) est égale à : f* = (bp-q)/b  f* = (p(b+1) –1) / b Avec b = cotes reçues sur le pari , p = probabilité de gagner, q = probabilité de perdre (q = 1-p) Avec notre example de jeu de dès où il faut faire « 6 » : (b = 6 ; p = 1/6 ; q = 5/6) f* = (6 * 1/6 – 5/6) / 6 = 1/36

  23. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre) Le taux de croissance du bankroll est égal à : G(f) = [ (1+ bf)p ] * [ (1-f)1-p ] Avec notre exemple (b = 6 ; p = 1/6 ; f* = 1/36 ) G* = G(f*) = [(7/6) 1/6 ] * [ (35/36) 5/6 ] = 1,00225. La progression optimale de votre bankroll est donc de +0.225% par lancé de dès, à la condition de miser 1/36 ème de votre bankroll à chaque lancé de dès.

  24. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre) Et si on choisit f différent de f* ? Si f < f* La croissance du bankroll sera plus faible mais restera >0 Si f > f* La croissance du bankroll plongera et deviendra négative si f > 2f*

  25. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre – quite ou double) Lorsque les cotes sont de 1 vs 1 (« quite ou double »), les formules sont plus simple : f* = p-q ( f* = 2 p – 1) G = (1+f) p * (1-f) 1-p G* = (2p) p * (2q) q

  26. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre – quite ou double)

  27. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à 2 issues (gagner ou perdre – quite ou double) On constate : • qu’il existe bien une proportion optimale du bankroll (f*) qui permet de maximiser la croissance du bankroll • Que si l’on dépasse cette proportion optimale, le rendement plonge très vite, et devient négatif. • Que si l’on choisit une proportion sub-optimale, le rendement n’est que peu impacté. => Il est très largement préférable de sous-estimer son espérance de gain que de la sur-estimer.

  28. Le Critère de Kelly Cas d’un pari à issues « gaussiennes » Lorsque l’issue d’un pari suit une distribution continue sous forme d’une courbe de gauss (courbe en cloche) : m = moyenne ; s = écart type f * = m / s2 log(G*) = ½ (m /s)2 m = 10 ; s = 12

  29. Le Critère de Kelly Et au poker ? On peut considérer que les résultats au poker suivent une courbe de gauss dont la moyenne m correspond au WinRate (WR), et l’écart type s à l’écart type (SD) dont nous avons précédement parlé. Cette approximation est assez judicieuse en Cash-game où les gains et pertes suivent assez fidèlement une courbe de gauss.

  30. Le Critère de Kelly Et au poker ? En tournois(MTT, SNG, HU SNG), la distribution des rendements est « discrète » (série de couples : rendements ri et probabilité pi). Elle ne suit pas une courbe de gauss. f* est solution de : Solutioner ça, bien qu’assez facile, reste fastidieux (car ça change pour chaque tournoi en fonction de la répartition des prix). Par soucis de simplification, on considérera donc que pour les tournois, on suit également une distribution « gaussienne ». La perte de précision n’impactera qu’assez peu les résultats et nous simplifiera grandement la vie !

  31. Le Critère de Kelly Application / Exercice : Grace à une boule de crystal et à de savants calculs mathématiques, William (un joueur très doué) a determiné avec précision son WR et SD en cash-game No-Limit shorthanded full-stack : WR = 12bb/100 mains ; SD = 84bb/100.

  32. Le Critère de Kelly Application / Exercice : Quelle est la proportion optimale de son Bankroll que William doit engager sur chaque session (selon le Critère de Kelly) ? • 25 % • 17 % • 13 % • 8 %

  33. Le Critère de Kelly Application / Exercice : Quelle est la proportion optimale de son Bankroll que William doit engager sur chaque session (selon le Critère de Kelly)? • 25 % • 17 % • 13 % • 8 % Solution (en considérant des stacks à 100bb) f* = 0.12 / (0.84)2 = 17 %

  34. Le Critère de Kelly Application / Exercice : En misant f* (17% de son BR) à chaque session, le bankroll de William augmentera en moyenne de 1% par cession. G = exponentielle (½ (m /s)2) = 1.01 (= +1%)

  35. Le Critère de Kelly Ce résultat n’est t’il pas en totale contradiction avec les recommandations présentées dans la première partie (entre 1/10 et 1/40ème du bankroll selon le profil du joueur) ? Si. Mais il y a deux différences importante dans les hypothèses : • William va jouer chaque session avec un pourcentage de son bankroll (donc, il descend de niveau lorsque son bankroll diminue) • On suppose ici que le WR et le SD sont connus avec précision.

  36. Le Critère de Kelly Hélas, l’application immédiate de cette formule ne peut se faire que si l’on connaît précisement son WR et son SD. Or, le WR et le SD sont deux inconnues. Ces deux paramètres sont très fluctuants selon le type de partie, le niveau des adversaires du moment, les conditions de jeu, l’état d’esprit du joueur, son niveau de fatigue, son niveau de concentration … De plus, la plupart des joueurs surestiment leur WR (et parfois ne tiennent pas compte des phases « négatives »). Tout au mieux, peut-on prendre des approximations sur ces deux paramètres.

  37. Le Critère de Kelly Lorsque le montant engagé est différent du montant optimal, on note « k » le rapport entre montant engagé et montant optimal. k = montant engagé / montant optimal. Lorsque k = ½, on parle de « demi-kelly »

  38. Le Critère de Kelly L’augmentation moyenne (exponentielle) du bankroll d’une session sur l’autre peut être estimée suivant la formule suivante : r = augmentation du bankroll (exponentiel)

  39. Le Critère de Kelly Et si notre estimation du WR ou du SD est eronnée ? Supposons que suite à changement de condition de jeu imperceptible par William (un pro vient s’installer incognito à sa table), son WR chute brutalement de 12bb/100 à 6bb/100. William, inconscient de ce changement, continue d’engager 17% de son bankroll, alors qu’il ne devrait plus engager que 8.5%. C’est comme si William utilisait un « k=2 ». Son rythme de progression chute à 0% !!!

  40. Le Critère de Kelly William se met alors à jouer de manière un peu plus agressive qu’avant. Son SD aumente de 84bb/100 à 96bb/100. Il continue d’engager 17% de son bankroll, alors qu’il ne devrait plus en engager que 6.5%. Cela revient en fait à appliquer un k=.17/.065 (= 2.6) sur un WR=12bb ; SD=84bb. Son rythme de progression est maintenant négatif !!!! Il va perdre son bankroll progressivement, sur un rythme moyen de 2.7% de son bankroll par 100 mains … Ce « leger changement » plombera considérablement les performances de William.

  41. Le Critère de Kelly CONCLUSION : Surestimer son WR (ou sous-estimer son SD) a des conséquences dramatiques lorsque cette formule est utilisée. C’est pourquoi, on applique en général un coefficient k (kelly-fractionnel) permettant de réduire le risque de surestimation du WR. Les recommandations habituelles sont d’utiliser une valeur comprise entre k= ½ et k= ¼. On parle alors par exemple de « demi-kelly » (k = ½) ou « quart-kelly » (k = ¼). Le Montant max engagé, devient donc : Montant max engagé = k x Bankroll x WR / SD2

  42. Le Critère de Kelly Dans la première partie de la présentation, les recommendations de bankroll suivantes vous étaient proposées : Ces recommandations étaient définies en fonction d’un RoR en supposant que l’on ne descendrait pas de niveau si jamais on perdait …

  43. Le Critère de Kelly On peut maintenant associer un « kelly-fractionnel » et un WR requis à chaque recommandation pour des SD « habituels ». Les recommandations données dans la première partie sont confortées !

  44. Conclusion Nous voilà arrivé au terme de cette deuxième partie. Nous y avons vu : • Comment optimiser les montants engagés pour optimiser la croissance du bankroll (critère de kelly) • Pourquoi il est préférable de sous-estimer son WR que de le surestimer.

  45. Conclusion Dans une troisième partie, à venir, nous parlerons, entre autres, des sujets suivants : • Les downswings • Aversion au risque & niveau de confort (Kelly/n) • Adaptation du niveau de confort • Surveillance des tendances et des hypothèses • Prises de risques

  46. Conclusion J’espère que cette présentation vous a plu, et qu’elle vous sera utile pour vous aider à gérer votre bankroll en toute sécurité. N’hésitez pas à poser des questions et à me faire part de vos remarques et commentaires. http://www.clubpoker95.com http://mykq.blogspot.com