第三章 平面机构的运动分析

1. 第三章 平面机构的运动分析 §3－1机构运动分析的目的与方法 §3－2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用 §3－3用矢量方程图解法作机构速度和加速度 分析 §3－4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复 杂机构进行速度分析 §3－5用解析法作机构的运动分析

2. 从构件 点的轨迹 构件位置 速度 加速度 E D 原动件的运动规律 HE HD C B A §3－1 机构运动分析的目的与方法 内涵： 作者：潘存云教授 设计任何新的机械，都必须进行运动分析工作。以确定机械是否满足工作要求。 研究内容：位置分析、速度分析和加速度分析。 1.位置分析 ①确定机构的位置（位形），绘制机构位置图。 ②确定构件的运动空间，判断是否发生干涉。 ③确定构件(活塞)行程， 找出上下极限位置。 ④确定点的轨迹（连杆曲线），如鹤式吊。

3. 2.速度分析 ①通过分析，了解从动件的速度变化规律是否满足 工作要求。如牛头刨 ②为加速度分析作准备。 3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备。 方法： 图解法－简单、直观、精度低、求系列位置时繁琐。 解析法－正好与以上相反。 实验法－试凑法，配合连杆曲线图册，用于解决 实现预定轨迹问题。

4. A2(A1) VA2A1 B2(B1) VB2B1 2 1 P21 Vp2=Vp1≠0 Vp2=Vp1=0 §3－2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用 机构速度分析的图解法有：速度瞬心法、相对运动法、线图法。瞬心法尤其适合于简单机构的运动分析。 作者：潘存云教授 一、速度瞬心及其求法 1)速度瞬心的定义 两个作平面运动构件上速度相同的一对重合点，在某一瞬时两构件相对于该点作相对转动，该点称瞬时速度中心。求法？ 相对瞬心－重合点绝对速度不为零。 绝对瞬心－重合点绝对速度为零。

5. 特点： • ①该点涉及两个构件。 P13 P12 P23 构件数 4 5 6 8 瞬心数 6 10 15 28 • ②绝对速度相同，相对速度为零。 • ③相对回转中心。 2）瞬心数目 1 2 3 若机构中有n个构件，则 ∵每两个构件就有一个瞬心 ∴根据排列组合有 N＝n(n-1)/2

6. n 1 P12 1 P12 2 ∞ t t 1 2 1 2 2 P12 n V12 3）机构瞬心位置的确定 1.直接观察法 适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置。 2.三心定律 定义：三个彼此作平面运动的构件共有三个瞬心，且它们位于同一条直线上。此法特别适用于两构件不直接相联的场合。

7. VB2 B2 P21 A’2 D3 VD3 VA2 E’3 A2 2 P32 VE3 E3 作者：潘存云教授 P31 3 1 结论：P21 、 P 31 、 P 32位于同一条直线上。

8. 1 3 2 4 2 4 1 P13 ∞ 3 P14 P23 P24 P12 P34 举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。 解：瞬心数为： N＝n(n-1)/2＝6 n=4 1.作瞬心多边形圆 2.直接观察求瞬心 3.三心定律求瞬心 作者：潘存云教授

9. 举例：求图示六杆机构的速度瞬心。 P24 P15 ∞ 1 P34 P36 P26 P25 6 2 3 P35 P23 2 作者：潘存云教授 ∞ P12 P13 3 P46 5 P45 P16 4 4 5 6 P14 1 P56 解：瞬心数为：N＝n(n-1)/2＝15 n=6 1.作瞬心多边形圆 2.直接观察求瞬心 3.三心定律求瞬心 作者：潘存云教授

10. P23 ∞ V2 n P13 P12 n 3 2 ω1 1 四、速度瞬心在机构速度分析中的应用 1.求线速度 已知凸轮转速ω1，求推杆的速度。 解： ①直接观察求瞬心P13、 P23。 ②根据三心定律和公法线 n－n求瞬心的位置P12。 ③求瞬心P12的速度 。 V2＝V P12＝μl(P13P12)·ω1 长度P13P12直接从图上量取。

11. P13 P34 P23 3 VP24 4 ω2 ω4 2 1 P24 P12 P14 2.求角速度 a)铰链机构 已知构件2的转速ω2，求构件4的角速度ω4。 解：①瞬心数为 6个 ②直接观察能求出 4个 余下的2个用三心定律求出。 ③求瞬心P24的速度 。 作者：潘存云教授 VP24＝μl(P24P12)·ω2 VP24＝μl(P24P14)·ω4 ω4＝ω2·(P24P12)/ P24P14 方向:CW,与ω2相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同

12. n 2 ω2 ω3 P12 P23 3 P13 1 n VP23 b)高副机构 已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3。 解: 用三心定律求出P23。 求瞬心P23的速度 : VP23＝μl(P23P12)·ω2 VP23＝μl(P23P13)·ω3 ∴ω3＝ω2·(P13P23/P12P23) 方向:CCW,与ω2相反。 相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。

13. ω2 P12 ω3 P13 2 P23 3 1 3.求传动比 定义：两构件角速度之比传动比。 ω3 /ω2＝ P12P23/P13P23 推广到一般： ωi /ωj＝P1jPij /P1iPij • 结论: • ①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对 • 瞬心的距离之反比。 ②角速度的方向为： 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。

14. 4.用瞬心法解题步骤 • ①绘制机构运动简图； • ②求瞬心的位置； • ③求出相对瞬心的速度; • ④求构件绝对速度V或角速度ω。 • 瞬心法的优缺点： • ①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因 • 瞬心数急剧增加而求解过程复杂。 • ②有时瞬心点落在纸面外。 • ③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。

15. 设有矢量方程： D＝ A + B + C D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √ D＝ A + B + C 大小：√ ？ ？ √ 方向：√ √ √ √ B B A A C C D D §3－3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析 一、基本原理和方法 1.矢量方程图解法 因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的不同，上述方程有以下四种情况：

16. D＝ A + B + C 大小：√√ √ √ 方向：√ √ ？ ？ D＝ A + B + C 大小：√ ？ √ √ 方向：√ √ ？ √ B B C D D A A C

17. VB＝VA+VBA C A B a p b 同理有：VC＝VA+VCA 大小： ? √ ? 方向： ? √ ⊥CA 2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系 1) 速度之间的关系 ? ? 设已知大小： 方向： √ √ ⊥BA √ 选速度比例尺μv m/s/mm， 在任意点p作图使VA＝μvpa， 方向：p → c 按图解法得： VB＝μvpb, 方向：a → c 相对速度为： VBA＝μvab 不可解！

18. 同理有：VC＝VB+VCB 大小： ? √ ? 方向： ? √ ⊥CB C A B VC＝VA+VCA ＝VB+VCB a p c b 不可解！ 联立方程有： 大小： ? √ ? √ ? 方向： ? √ ⊥CA √ ⊥CB 作图得：VC＝μv pc 方向：p → c VCA＝μv ac 方向：a → c VCB＝μv bc 方向：b → c

19. C A B ω a a p p c c b b ω＝VBA/LBA＝μvab/μl AB 强调用相对速度求 方向：CW 同理：ω＝μvca/μl CA ω＝μvcb/μl CB 作者：潘存云教授 得：ab/AB＝bc/ BC＝ca/CA ∴ △abc∽△ABC 称pabc为速度多边形（或速度图解) p为极点。

20. C A B D a p P c b 速度多边形的性质: ①联接p点和任一点的向量代表该 点在机构图中同名点的绝对速 度，指向为p→该点。 ②联接任意两点的向量代表该两点 在机构图中同名点的相对速度， 指向与速度的下标相反。如bc代 表VCB而不是VBC，常用相对速 度来求构件的角速度。 作者：潘存云教授 ③∵△abc∽△ABC，称abc为ABC的速 度影象，两者相似且字母顺序一致。 前者沿ω方向转过90°。称pabc为 PABC的速度影象。 作者：潘存云教授 绝对瞬心 ④极点p代表机构中所有速度为零的点的影象。 特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似！

21. C E A 作者：潘存云教授 B D a p c e b 速度多边形的用途： 由两点的速度可求任意点的速度。 例如，求BC中间点E的速度VE时，bc上中间点e为E点的影象，联接pe就是VE 思考题：连架杆AD的速度影像在何处？ 作者：潘存云教授

22. A B两点间加速度之间的关系有： • aB＝aA + anBA+ atBA C aB 作者：潘存云教授 A B aA p’ b’ b” a’ 2) 加速度关系 设已知角速度ω，A点加速度和aB的方向 大小： 方向： ? √ √ ? ω2lAB √ B→A ⊥BA 选加速度比例尺μa m/s2/mm， 在任意点p’作图使aA＝μap’a’ 求得：aB＝μap’b’ atBA＝μab”b’ 方向: b” → b’ aBA＝μab’ a’ 方向: a’ →b’

23. 同理： aC＝aA + anCA+ atCA 又： aC＝ aB + anCB+ atCB C A B p’ aC＝aA + anCA+ atCA＝ aB + anCB+ atCB b’ c” b” a’ c’ c”’ 不可解！ ? ⊥CA √ √ ω2lCA C→A 大小： ? 方向： ? 不可解！ ? ⊥CB √ √ ω2lCB C→B 大小： ? 方向： ? 联立方程： ? ? √ √ ? √ √ ? √ √ √ √ √ √ 作图求解得: aC＝μap’c’ 方向：p’ → c’ 作者：潘存云教授 atCA＝μac”’c’ 方向：c”’ → c’ atCB＝μac’c” 方向：c” → c’

24. aBA＝ (atBA)2+ (anBA)2 ＝lABα2 +ω4 ＝lCAα2 +ω4 aCA＝ (atCA)2+ (anCA)2 C aCB＝ (atCB)2+ (anCB)2 ＝lCBα2 +ω4 A B α p’ b’ c” b” a’ c’ c”’ 角加速度：α＝atBA/lAB 方向：CW ＝μa b”b’ /μl AB ＝μaa’b’ ＝μa a’c’ ＝μa b’c’ 得：a’b’/ lAB＝b’c’/ lBC＝a’ c’/ lCA 作者：潘存云教授 ∴ △a’b’c’∽△ABC 称p’a’b’c’为加速度多边形 （或速度图解）， p’－极点 加速度多边形的特性： ①联接p’点和任一点的向量代表该 点在机构图中同名点的绝对加速 度，指向为p’→该点。 作者：潘存云教授

25. C A B E p’ b’ c” b” a’ e’ c’ c”’ ②联接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点 的相对加速度，指向与速度的下标相反。如a’b’代 表aBA而不是aAB， b’c’ → aCB ， c’a’ → aAC。 常用相对切向加速度来求构件的角加速度。 ③∵△a’b’c’∽△ABC，称a’b’c’为ABC的 加速度影象，称p’a’b’c’为PABC的加速 度影象，两者相似且字母顺序一致。 作者：潘存云教授 特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似！ ④极点p’代表机构中所有加速度为零的点 的影象。 用途：根据相似性原理由两点的加速度求任意点的加速度。 作者：潘存云教授 例如:求BC中间点E的加速度aE b’c’上中间点e’为E点的影象，联接p’e’就是aE。

26. B 2 1 1 VB1=VB2 aB1=aB2 B 公共点 2 VB1≠VB2 aB1≠aB2 具体情况由其他已知条件决定仅考虑移动副 A 1 ω1 2 B VB3＝VB2+VB3B2 b3 3 p ω3 C b2 2.两构件重合点的速度及加速度的关系 1)回转副 2)高副和移动副 ①速度关系 ? ∥BC 大小： 方向： √ √ ? √ VB3B2 的方向: b2→b3 ω3 = μvpb3 / lCB

27. aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2 + akB3B2 α3 ak B3B2 A 1 k’ ω1 2 b’2 B b3 3 p’ p ω3 b’ 3 C b” 3 b2 ② 加速度关系 此方程对吗？ 作者：潘存云教授 ? ∥BC ω23lBC B→C l1ω21 B→A ? √ 大小： 方向： ? ? 2VB3B2ω3 √ akB3B2的方向：VB3B2 顺ω3转过90° 图解得： arB3B2 ＝μak’b3’ aB3 ＝μap’b3’, B → C α3＝atB3 /lBC＝μab3’’b3’ /lBC 结论：当两构件构成移动副时，重合点的加速度不相等，且移动副有转动分量时，必然存在哥氏加速度分量。

28. 二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析 C 3 B ω2 E 2 4 5 F 6 D A 1 b VC ＝VB+ VCB p c 已知摆式运输机运动简图、各构件尺寸、ω2，求： ①VF、aF、ω3、ω4、ω5、α3、α4、α5 ②构件3、4、5中任一速度为Vx的点X3、X4、X5的位置 ③构件3、5上速度为零的点I3、I5 ④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5 ⑤点I3、I5的加速度 Q3 、Q5 作者：潘存云教授 解： 1)速度分析 VB＝LABω2 ， μV＝VB /pb ? ⊥BC 大小： ? 方向：⊥CD √ √

29. C 3 B ω5 E 2 4 5 F 6 D A 1 b b e ω4 ω2 ω3 f c c VF＝VE+ VFE VC ＝VB+ VCB p 从图解上量得： VCB ＝μVbc 作者：潘存云教授 方向：b→c ω3 ＝VCB /lCB 方向：CW VC＝μVpc 方向：p→c ω4 ＝VC /lCD 方向：CCW 利用速度影象与构件相似的原理，可求得影象点e。 作者：潘存云教授 求构件6的速度： 大小： ? 方向：//DF ? ⊥EF √ √ 图解上式得pef： VF ＝μvpf 方向：p→f ω5＝VFE /lFE VFE ＝ μvef e→ f 方向：CW

30. α3 C 3 aC = anC+ atC ω5 B α4 E 2 4 5 F 6 D A b 1 P’ c” ω4 ω2 ω3 c’ f e’ c b’ c”’ = aB + anCB+ atCB c’ p 加速度分析： 不可解，再以B点为牵连点，列出C点的方程 作者：潘存云教授 ? ⊥BC ? ⊥CD ω23 lCB C→B ? ? √ √ ω24 lCD C→D 作图求解得: 方向：p’→c’ aC =μa p’c’ 作者：潘存云教授 aBC =μa b’c’ 方向：b’→c’ α3= atCB/lCB 方向：CCW 作者：潘存云教授 α4= atC /lCD 方向：CCW 利用影象法求得e点的象e’ 得： aE =μa p’e’

31. α3 C 3 aF = aE + anFE + atFE α5 ω5 B α4 E 2 4 5 F 6 D A b 1 P’ c” ω4 ω2 ω3 c’ f c b’ f’ p 求构件6的加速度： 作者：潘存云教授 √ √ ? ⊥BC ω25 lFE F→E ? //DF 作图求解得: 方向：p’→f’ aF =μa p’f’ atFE =μa f”f’ 方向：f”→f’ e’ f” α5= atFE/lFE 方向：CCW 作者：潘存云教授 c”’

32. I3 I3 C 3 x3 x3 I5 I5 B x4 E 2 4 5 F x4 6 D A b 1 x5 x5 ω2 f c x p 利用速度影象和加速度影象求特殊点的速度和加速度： ②求构件3、4、5中任一速度为Vx的X3、X4、X5点的位置。 作者：潘存云教授 利用影象法求特殊点的运动参数： 求作△bcx∽△BCX3 得X3 △cex∽△CEX4 得X4 作者：潘存云教授 △efx∽△EFX5 得X5 ③构件3、5上速度为零的点I3、I5 求作△bcp∽△BCI3 得I3 △efp∽△EFI5 得I5

33. I3 Q5 Q5 C 3 I5 B E 2 4 5 F 6 D A 1 P’ c” Q3 Q3 ω2 c’ e’ f” b’ f’ i5’ i5’ i3’ i3’ c”’ ④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5 C 求作△b’c’p’∽△BCQ3 得Q3 △e’f’p’∽△EFQ5 得Q5 作者：潘存云教授 ⑤点I3、I5的加速度aI3、aQ5 求作△b’c’i3’∽△BCI3 求得：aI3=μap’i3’ 求作△e’f’p’∽△EFQ5 aI5=μap’i5’ 作者：潘存云教授

34. G H C E B F ω D A ＝ 解题关键： 1. 以作平面运动的构件为突破口，基准点和 重合点都应选取该构件上的铰接点，否 则已知条件不足而使无法求解。 作者：潘存云教授 如： VE=VF+VEF VC=VB+VCB ? √ ? √ √ √ 大小: ? ? ? 方向：? ? √ 如选取铰链点作为基点时，所列方程仍不能求解，则此时应联立方程求解。 VC+VGC = VG √ ? ? √ √ ? 如： VG= VB+VGB 大小： ? √ ? 方向： ? √√

35. A t 2 B 1 3 如选C点： VC3 = VC4+VC3C4 C t D 4 如选B点： VB4 = VB3+VB4B3 图(b)中取C为重合点， 有:VC3= VC4+VC3C4 大小： ? ？? 方向： ? √√ B 3 C 2 4 D A 1 重合点的选取原则，选已知参数较多的点（一般为铰链点） 作者：潘存云教授 →不可解！ 大小： ? 方向： ? ? √ ? √ (a) →可解！ 大小： ? 方向： √ √ √ ? √ 作者：潘存云教授 (b) 应将构件扩大至包含B点！ →不可解！

36. A t 当取B点为重合点时: VB4 = VB3 + VB4B3 2 B 1 3 C t (a) D 4 t B 3 t C 2 4 D A 1 构件3上C、B的关系： VC3 = VB3+VC3B3 大小：? √ ? 方向：? √ √ B 3 2 C 4 A 1 →不可解！ 作者：潘存云教授 →方程可解 大小： ? 方向： √ √ √ ? √ 作者：潘存云教授 (b) 图(C)所示机构，重合点应选在何处？ B点! 作者：潘存云教授

37. 2 2 B 1 2 1 3 B B 1 3 B 2 3 1 3 B 3 2 2 3 B 2 1 2 B B 1 1 1 3 3 2.正确判哥式加速度的存在及其方向 当两构件构成移动副： ▲且动坐标含有转动分量时，存在ak； ▲动坐标平动时，无ak。 判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak 无ak 有ak 无ak 作者：潘存云教授 有ak 有ak 有ak 有ak 有ak

38. §3－4综合运用瞬心法和矢量方程图解法 对复杂机构进行速度分析 VC = VB+VCB 大小： ? √ ? 方向： ? √√ G F 5 1 t 6 A D 2 E 4 3 C B t I4 VC = VB+VCB 大小： ? √ ? 方向： √ √√ 可解！ 对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时，都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。 如图示Ⅲ级机构中，已知机构尺寸和ω2，进行运动分析。 作者：潘存云教授 不可解！ 用瞬心法确定构件4的瞬心， 确定C点的方向后，则有： 此方法常用于Ⅲ级机构的运动分析。

39. §3－5 用解析法作机构的运动分析 图解法的缺点： ▲分析结果精度低； ▲作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析。 ▲不便于把机构分析与综合问题联系起来。 随着计算机应用的普及，解析法得到了广泛的应用。 解析法：复数矢量法、矩阵法、杆组法等。 思路： 由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度方程。

40. j y et en e t－ 切向幺矢量 L e－ 矢量L的幺矢量， e j i en－法向幺矢量， i－ x轴的幺矢量 θ x j－y轴的幺矢量 i 一、矢量方程解析法 1.矢量分析基本知识 幺矢量----单位矢量 作者：潘存云教授 则任意平面矢量的可表示为： 其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为：

41. j y et en L e j i θ ej x e·i e·j ei i j y e·et ＝0 e·e＝e2 e·en ＝ -1 e1·e2t e1·e2n e1·e2 e2 e1 e2t θ1 i x θ2 e2n 幺矢量的点积运算： 作者：潘存云教授 ＝ ei＝cosθ ＝ej＝sinθ ＝1 ＝ cos (θ2－θ1 ) 作者：潘存云教授 ＝- cos (θ2－θ1 ) ＝-sin (θ2－θ1 )

42. v t at v r a r 切向速度v t ak L an θ 离心(相对)速度v r 向心加速度an 切向加速度at 离心(相对)加速度a r 哥式加速度ak 求一阶导数有： 求二阶导数有：

43. v r=0 L ak=0 ar=0 对同一个构件，l为常数,有：

44. y C 2 B θ2 3 ω1 1 θ1 θ3 A 4 x D L1+ L2 ＝ L3+ L4 移项得： L2 ＝ L3+ L4－L1 (1) 2.平面机构的运动分析 已知:图示四杆机构的各构件尺寸和ω1 ,求θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2。 一、位置分析 将各构件用杆矢量表示，则有： 作者：潘存云教授 大小：√ √ √ √ 方向 √ θ2? θ3? √ 化成直角坐标形式有： l2 cosθ2＝l3 cosθ3+ l4 cosθ4－l1 cosθ1(2) l2 sinθ2＝l3 sinθ3+ l4 sinθ4－l1 sinθ1(3)

45. L3 ＝ L1+ L2－L4 (5) (2)、(3)平方后相加得： l22＝l23+ l24+ l21＋2 l3 l4cosθ3 ―2 l1 l3(cosθ3 cosθ1- sinθ3 sinθ1)―2 l1 l4cosθ1 整理后得： Asinθ3+Bcosθ3+C=0 (4) • 其中：A=2 l1 l3 sinθ1 • B=2 l3 (l1 cosθ1- l4) • C= l22－l23－l24－l21＋2 l1 l4cosθ1 解三角方程得： tg(θ3 / 2)=[A±sqrt(A2+B2－C2)] / (B－C)由连续性确定 同理，为了求解θ2，可将矢量方程写成如下形式：

46. 化成直角坐标形式： l3 cosθ3＝l1 cosθ1+ l2 cosθ2－l4(6) l3 sinθ3＝l1 sinθ1+ l2 sinθ2－0(7) (6)、(7)平方后相加得： l23＝l21+ l22+ l24＋2 l1 l2cosθ1 ―2 l1 l4(cosθ1 cosθ2 - sinθ1 sinθ2 )―2 l1 l2cosθ1 整理后得： Dsinθ2+Ecosθ2+F=0 (8) • 其中：D=2 l1 l2 sinθ1 • E=2 l2 (l1 cosθ1- l4 ) • F= l21+l22+l24－l23- 2 l1 l4 cosθ1 解三角方程得： tg(θ2 / 2)=[D±sqrt(D2+E2－F2)] / (E－F)

47. 将 L3 ＝ L1+ L2－L4对时间求导得： l3θ3 e3t = l1θ1 e1t + l2θ2 e2t(9) 用 e2 点积(9)式，可得： l3θ3 e3t · e2= l1θ1 e1t · e2(10) 用 e3点积(9)式，可得： - l2θ2 e2t · e3= l1θ1 e1t · e3(11) 二、速度分析 ω3 l3 sin (θ3－θ2 ) = ω1 l1 sin (θ1－θ2 ) ω3 = ω1 l1 sin (θ1－θ2 ) / l3 sin (θ3－θ2 ) -ω2 l2 sin (θ2－θ3 ) = ω1 l1 sin (θ1－θ3 ) ω2 = -ω1 l1 sin (θ1－θ3 ) / l2sin (θ2－θ3 )

48. 速度方程: l3θ3 e3t = l1θ1 e1t + l2θ2 e2t(9) l3θ32e3n + l3θ3 e3t = l1θ12 e1n + l2θ22e2n+l2θ2 e2t(12) ＝0 aCBn aB act aCBt aCBt acn ，用e2点积(12)式，可得： l3ω32e3n ·e2 + l3α3 e3t ·e2 = l1ω12 e1n ·e2+ l2ω22e2n·e2 用e3点积(12)式，整理后可得： 三、加速度分析 将（9）式对时间求导得： 作者：潘存云教授 上式中只有两个未知量 -ω32l3 cos (θ3－θ2 ) -α3 l3 sin (θ3－θ2 ) = -ω12l1 cos (θ1－θ2 ) -ω22l2 α3 =ω12l1 cos (θ1-θ2 ) +ω22l2 -ω32l3 cos (θ3-θ2 ) / l3 sin (θ3－θ2 ) α2 =ω12l1 cos (θ1-θ3 ) +ω32l3 -ω22l2 cos (θ2-θ3 ) / l2 sin (θ2－θ3 )

49. y P C b 2 a B x θ2 3 ω1 1 θ1 θ3 A 4 D L1+ L2 ＝ L3+ L4，或 L2－L3＝L4－ L1 l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝l4－l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1 (13) 二、矩阵法 思路：在直角坐标系中建立机构的位置方程，然后将位置方程对时间求一阶导数，得到机构的速度方程。求二阶导数便得到机构加速度方程。 已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω1,求:θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2、xp、yp、vp、ap。 1.位置分析 改写成直角坐标的形式：

50. xp＝l1 cosθ1 +a cosθ2 + b cos (90º+θ2 ) yp＝ l1 sinθ1 +a sinθ2 + b sin (90º+θ2 ) (14) l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝l4－l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1 (13) l2 sinθ2 ω2－ l3 sinθ3 ω3＝ω1 l1 sinθ1 l2 cosθ2 ω2－ l3 cosθ3 ω3＝－ω1 l1 cosθ1 (15) 连杆上P点的坐标为： 2.速度分析 重写位置方程组 将以下位置方程： 对时间求导得速度方程：