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第三章 平面机构的运动分析

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第三章 平面机构的运动分析. § 3 - 1 机构运动分析的目的与方法. § 3 - 2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用. § 3 - 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度 分析. § 3 - 4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复 杂机构进行速度分析. § 3 - 5 用解析法作机构的运动分析. 从构件 点的轨迹 构件位置 速度 加速度. E. D. 原动件的运动规律. H E. H D. C. B. A. § 3 - 1 机构运动分析的目的与方法. 内涵:. 作者:潘存云教授.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

第三章 平面机构的运动分析

§3-1机构运动分析的目的与方法

§3-2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用

§3-3用矢量方程图解法作机构速度和加速度

分析

§3-4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复

杂机构进行速度分析

§3-5用解析法作机构的运动分析

slide2

从构件

点的轨迹

构件位置

速度

加速度

E

D

原动件的运动规律

HE

HD

C

B

A

§3-1 机构运动分析的目的与方法

内涵:

作者:潘存云教授

设计任何新的机械,都必须进行运动分析工作。以确定机械是否满足工作要求。

研究内容:位置分析、速度分析和加速度分析。

1.位置分析

①确定机构的位置(位形),绘制机构位置图。

②确定构件的运动空间,判断是否发生干涉。

③确定构件(活塞)行程, 找出上下极限位置。

④确定点的轨迹(连杆曲线),如鹤式吊。

slide3

2.速度分析

①通过分析,了解从动件的速度变化规律是否满足

工作要求。如牛头刨

②为加速度分析作准备。

3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备。

方法:

图解法-简单、直观、精度低、求系列位置时繁琐。

解析法-正好与以上相反。

实验法-试凑法,配合连杆曲线图册,用于解决

实现预定轨迹问题。

slide4

A2(A1)

VA2A1

B2(B1)

VB2B1

2

1

P21

Vp2=Vp1≠0

Vp2=Vp1=0

§3-2 速度瞬心及其在机构速度分析中的应用

机构速度分析的图解法有:速度瞬心法、相对运动法、线图法。瞬心法尤其适合于简单机构的运动分析。

作者:潘存云教授

一、速度瞬心及其求法

1)速度瞬心的定义

两个作平面运动构件上速度相同的一对重合点,在某一瞬时两构件相对于该点作相对转动,该点称瞬时速度中心。求法?

相对瞬心-重合点绝对速度不为零。

绝对瞬心-重合点绝对速度为零。

slide5

特点:

  • ①该点涉及两个构件。

P13

P12

P23

构件数 4 5 6 8

瞬心数 6 10 15 28

  • ②绝对速度相同,相对速度为零。
  • ③相对回转中心。

2)瞬心数目

1 2 3

若机构中有n个构件,则

∵每两个构件就有一个瞬心

∴根据排列组合有

N=n(n-1)/2

slide6

n

1

P12

1

P12

2

t

t

1

2

1

2

2

P12

n

V12

3)机构瞬心位置的确定

1.直接观察法

适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置。

2.三心定律

定义:三个彼此作平面运动的构件共有三个瞬心,且它们位于同一条直线上。此法特别适用于两构件不直接相联的场合。

slide7

VB2

B2

P21

A’2

D3

VD3

VA2

E’3

A2

2

P32

VE3

E3

作者:潘存云教授

P31

3

1

结论:P21 、 P 31 、 P 32位于同一条直线上。

slide8

1

3

2

4

2

4

1

P13

3

P14

P23

P24

P12

P34

举例:求曲柄滑块机构的速度瞬心。

解:瞬心数为:

N=n(n-1)/2=6 n=4

1.作瞬心多边形圆

2.直接观察求瞬心

3.三心定律求瞬心

作者:潘存云教授

slide9

举例:求图示六杆机构的速度瞬心。

P24

P15

1

P34

P36

P26

P25

6

2

3

P35

P23

2

作者:潘存云教授

P12

P13

3

P46

5

P45

P16

4

4

5

6

P14

1

P56

解:瞬心数为:N=n(n-1)/2=15 n=6

1.作瞬心多边形圆

2.直接观察求瞬心

3.三心定律求瞬心

作者:潘存云教授

slide10

P23

V2

n

P13

P12

n

3

2

ω1

1

四、速度瞬心在机构速度分析中的应用

1.求线速度

已知凸轮转速ω1,求推杆的速度。

解:

①直接观察求瞬心P13、 P23。

②根据三心定律和公法线

n-n求瞬心的位置P12。

③求瞬心P12的速度 。

V2=V P12=μl(P13P12)·ω1

长度P13P12直接从图上量取。

slide11

P13

P34

P23

3

VP24

4

ω2

ω4

2

1

P24

P12

P14

2.求角速度

a)铰链机构

已知构件2的转速ω2,求构件4的角速度ω4。

解:①瞬心数为

6个

②直接观察能求出

4个

余下的2个用三心定律求出。

③求瞬心P24的速度 。

作者:潘存云教授

VP24=μl(P24P12)·ω2

VP24=μl(P24P14)·ω4

ω4=ω2·(P24P12)/ P24P14

方向:CW,与ω2相同。

相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧,两构件转向相同

slide12

n

2

ω2

ω3

P12

P23

3

P13

1

n

VP23

b)高副机构

已知构件2的转速ω2,求构件3的角速度ω3。

解: 用三心定律求出P23。

求瞬心P23的速度 :

VP23=μl(P23P12)·ω2

VP23=μl(P23P13)·ω3

∴ω3=ω2·(P13P23/P12P23)

方向:CCW,与ω2相反。

相对瞬心位于两绝对瞬心之间,两构件转向相反。

slide13

ω2

P12

ω3

P13

2

P23

3

1

3.求传动比

定义:两构件角速度之比传动比。

ω3 /ω2= P12P23/P13P23

推广到一般:

ωi /ωj=P1jPij /P1iPij

  • 结论:
  • ①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对
      • 瞬心的距离之反比。

②角速度的方向为:

相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时,两构件转向相同。

相对瞬心位于两绝对瞬心之间时,两构件转向相反。

slide14

4.用瞬心法解题步骤

  • ①绘制机构运动简图;
  • ②求瞬心的位置;
  • ③求出相对瞬心的速度;
  • ④求构件绝对速度V或角速度ω。
  • 瞬心法的优缺点:
  • ①适合于求简单机构的速度,机构复杂时因
  • 瞬心数急剧增加而求解过程复杂。
  • ②有时瞬心点落在纸面外。
  • ③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。
slide15

设有矢量方程: D= A + B + C

D= A + B + C

大小:? √ √ √

方向:? √ √ √

D= A + B + C

大小:√ ? ? √

方向:√ √ √ √

B

B

A

A

C

C

D

D

§3-3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析

一、基本原理和方法

1.矢量方程图解法

因每一个矢量具有大小和方向两个参数,根据已知条件的不同,上述方程有以下四种情况:

slide16

D= A + B + C

大小:√√ √ √

方向:√ √ ? ?

D= A + B + C

大小:√ ? √ √

方向:√ √ ? √

B

B

C

D

D

A

A

C

slide17

VB=VA+VBA

C

A

B

a

p

b

同理有:VC=VA+VCA

大小: ? √ ?

方向: ? √ ⊥CA

2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系

1) 速度之间的关系

?

?

设已知大小:

方向:

⊥BA

选速度比例尺μv m/s/mm,

在任意点p作图使VA=μvpa,

方向:p → c

按图解法得: VB=μvpb,

方向:a → c

相对速度为: VBA=μvab

不可解!

slide18

同理有:VC=VB+VCB

大小: ? √ ?

方向: ? √ ⊥CB

C

A

B

VC=VA+VCA =VB+VCB

a

p

c

b

不可解!

联立方程有:

大小: ? √ ? √ ?

方向: ? √ ⊥CA √ ⊥CB

作图得:VC=μv pc

方向:p → c

VCA=μv ac

方向:a → c

VCB=μv bc

方向:b → c

slide19

C

A

B

ω

a

a

p

p

c

c

b

b

ω=VBA/LBA=μvab/μl AB

强调用相对速度求

方向:CW

同理:ω=μvca/μl CA

ω=μvcb/μl CB

作者:潘存云教授

得:ab/AB=bc/ BC=ca/CA

∴ △abc∽△ABC

称pabc为速度多边形(或速度图解)

p为极点。

slide20

C

A

B

D

a

p

P

c

b

速度多边形的性质:

①联接p点和任一点的向量代表该

点在机构图中同名点的绝对速

度,指向为p→该点。

②联接任意两点的向量代表该两点

在机构图中同名点的相对速度,

指向与速度的下标相反。如bc代

表VCB而不是VBC,常用相对速

度来求构件的角速度。

作者:潘存云教授

③∵△abc∽△ABC,称abc为ABC的速

度影象,两者相似且字母顺序一致。

前者沿ω方向转过90°。称pabc为

PABC的速度影象。

作者:潘存云教授

绝对瞬心

④极点p代表机构中所有速度为零的点的影象。

特别注意:影象与构件相似而不是与机构位形相似!

slide21

C

E

A

作者:潘存云教授

B

D

a

p

c

e

b

速度多边形的用途:

由两点的速度可求任意点的速度。

例如,求BC中间点E的速度VE时,bc上中间点e为E点的影象,联接pe就是VE

思考题:连架杆AD的速度影像在何处?

作者:潘存云教授

slide22

A B两点间加速度之间的关系有:

      • aB=aA + anBA+ atBA

C

aB

作者:潘存云教授

A

B

aA

p’

b’

b”

a’

2) 加速度关系

设已知角速度ω,A点加速度和aB的方向

大小:

方向:

?

?

ω2lAB

B→A

⊥BA

选加速度比例尺μa m/s2/mm,

在任意点p’作图使aA=μap’a’

求得:aB=μap’b’

atBA=μab”b’

方向: b” → b’

aBA=μab’ a’

方向: a’ →b’

slide23

同理: aC=aA + anCA+ atCA

又: aC= aB + anCB+ atCB

C

A

B

p’

aC=aA + anCA+ atCA= aB + anCB+ atCB

b’

c”

b”

a’

c’

c”’

不可解!

?

⊥CA

ω2lCA

C→A

大小: ?

方向: ?

不可解!

?

⊥CB

ω2lCB

C→B

大小: ?

方向: ?

联立方程:

?

?

√ √ ? √ √ ?

√ √ √ √ √ √

作图求解得:

aC=μap’c’

方向:p’ → c’

作者:潘存云教授

atCA=μac”’c’

方向:c”’ → c’

atCB=μac’c”

方向:c” → c’

slide24

aBA= (atBA)2+ (anBA)2

=lABα2 +ω4

=lCAα2 +ω4

aCA= (atCA)2+ (anCA)2

C

aCB= (atCB)2+ (anCB)2

=lCBα2 +ω4

A

B

α

p’

b’

c”

b”

a’

c’

c”’

角加速度:α=atBA/lAB

方向:CW

=μa b”b’ /μl AB

=μaa’b’

=μa a’c’

=μa b’c’

得:a’b’/ lAB=b’c’/ lBC=a’ c’/ lCA

作者:潘存云教授

∴ △a’b’c’∽△ABC

称p’a’b’c’为加速度多边形

(或速度图解), p’-极点

加速度多边形的特性:

①联接p’点和任一点的向量代表该

点在机构图中同名点的绝对加速

度,指向为p’→该点。

作者:潘存云教授

slide25

C

A

B

E

p’

b’

c”

b”

a’

e’

c’

c”’

②联接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点

的相对加速度,指向与速度的下标相反。如a’b’代

表aBA而不是aAB, b’c’ → aCB , c’a’ → aAC。

常用相对切向加速度来求构件的角加速度。

③∵△a’b’c’∽△ABC,称a’b’c’为ABC的

加速度影象,称p’a’b’c’为PABC的加速

度影象,两者相似且字母顺序一致。

作者:潘存云教授

特别注意:影象与构件相似而不是与机构位形相似!

④极点p’代表机构中所有加速度为零的点

的影象。

用途:根据相似性原理由两点的加速度求任意点的加速度。

作者:潘存云教授

例如:求BC中间点E的加速度aE

b’c’上中间点e’为E点的影象,联接p’e’就是aE。

slide26

B

2

1

1

VB1=VB2 aB1=aB2

B

公共点

2

VB1≠VB2 aB1≠aB2

具体情况由其他已知条件决定仅考虑移动副

A

1

ω1

2

B

VB3=VB2+VB3B2

b3

3

p

ω3

C

b2

2.两构件重合点的速度及加速度的关系

1)回转副

2)高副和移动副

①速度关系

?

∥BC

大小:

方向:

?

VB3B2 的方向: b2→b3

ω3 = μvpb3 / lCB

slide27

aB3 = anB3+ atB3 = aB2+ arB3B2

+ akB3B2

α3

ak B3B2

A

1

k’

ω1

2

b’2

B

b3

3

p’

p

ω3

b’ 3

C

b” 3

b2

② 加速度关系

此方程对吗?

作者:潘存云教授

?

∥BC

ω23lBC

B→C

l1ω21

B→A

?

大小:

方向:

?

?

2VB3B2ω3

akB3B2的方向:VB3B2 顺ω3转过90°

图解得:

arB3B2 =μak’b3’

aB3 =μap’b3’,

B → C

α3=atB3 /lBC=μab3’’b3’ /lBC

结论:当两构件构成移动副时,重合点的加速度不相等,且移动副有转动分量时,必然存在哥氏加速度分量。

slide28

二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析

C

3

B

ω2

E

2

4

5

F

6

D

A

1

b

VC =VB+ VCB

p

c

已知摆式运输机运动简图、各构件尺寸、ω2,求:

①VF、aF、ω3、ω4、ω5、α3、α4、α5

②构件3、4、5中任一速度为Vx的点X3、X4、X5的位置

③构件3、5上速度为零的点I3、I5

④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5

⑤点I3、I5的加速度 Q3 、Q5

作者:潘存云教授

解:

1)速度分析

VB=LABω2 , μV=VB /pb

?

⊥BC

大小: ?

方向:⊥CD

slide29

C

3

B

ω5

E

2

4

5

F

6

D

A

1

b

b

e

ω4

ω2

ω3

f

c

c

VF=VE+ VFE

VC =VB+ VCB

p

从图解上量得:

VCB =μVbc

作者:潘存云教授

方向:b→c

ω3 =VCB /lCB

方向:CW

VC=μVpc

方向:p→c

ω4 =VC /lCD

方向:CCW

利用速度影象与构件相似的原理,可求得影象点e。

作者:潘存云教授

求构件6的速度:

大小: ?

方向://DF

?

⊥EF

图解上式得pef:

VF =μvpf

方向:p→f

ω5=VFE /lFE

VFE = μvef e→ f

方向:CW

slide30

α3

C

3

aC = anC+ atC

ω5

B

α4

E

2

4

5

F

6

D

A

b

1

P’

c”

ω4

ω2

ω3

c’

f

e’

c

b’

c”’

= aB + anCB+ atCB

c’

p

加速度分析:

不可解,再以B点为牵连点,列出C点的方程

作者:潘存云教授

?

⊥BC

?

⊥CD

ω23 lCB

C→B

?

?

ω24 lCD

C→D

作图求解得:

方向:p’→c’

aC =μa p’c’

作者:潘存云教授

aBC =μa b’c’

方向:b’→c’

α3= atCB/lCB

方向:CCW

作者:潘存云教授

α4= atC /lCD

方向:CCW

利用影象法求得e点的象e’

得: aE =μa p’e’

slide31

α3

C

3

aF = aE + anFE + atFE

α5

ω5

B

α4

E

2

4

5

F

6

D

A

b

1

P’

c”

ω4

ω2

ω3

c’

f

c

b’

f’

p

求构件6的加速度:

作者:潘存云教授

?

⊥BC

ω25 lFE

F→E

?

//DF

作图求解得:

方向:p’→f’

aF =μa p’f’

atFE =μa f”f’

方向:f”→f’

e’

f”

α5= atFE/lFE

方向:CCW

作者:潘存云教授

c”’

slide32

I3

I3

C

3

x3

x3

I5

I5

B

x4

E

2

4

5

F

x4

6

D

A

b

1

x5

x5

ω2

f

c

x

p

利用速度影象和加速度影象求特殊点的速度和加速度:

②求构件3、4、5中任一速度为Vx的X3、X4、X5点的位置。

作者:潘存云教授

利用影象法求特殊点的运动参数:

求作△bcx∽△BCX3 得X3

△cex∽△CEX4 得X4

作者:潘存云教授

△efx∽△EFX5 得X5

③构件3、5上速度为零的点I3、I5

求作△bcp∽△BCI3 得I3

△efp∽△EFI5 得I5

slide33

I3

Q5

Q5

C

3

I5

B

E

2

4

5

F

6

D

A

1

P’

c”

Q3

Q3

ω2

c’

e’

f”

b’

f’

i5’

i5’

i3’

i3’

c”’

④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5

C

求作△b’c’p’∽△BCQ3 得Q3

△e’f’p’∽△EFQ5 得Q5

作者:潘存云教授

⑤点I3、I5的加速度aI3、aQ5

求作△b’c’i3’∽△BCI3

求得:aI3=μap’i3’

求作△e’f’p’∽△EFQ5

aI5=μap’i5’

作者:潘存云教授

slide34

G

H

C

E

B

F

ω

D

A

解题关键:

1. 以作平面运动的构件为突破口,基准点和 重合点都应选取该构件上的铰接点,否 则已知条件不足而使无法求解。

作者:潘存云教授

如: VE=VF+VEF

VC=VB+VCB

? √ ?

√ √ √

大小: ? ? ?

方向:? ? √

如选取铰链点作为基点时,所列方程仍不能求解,则此时应联立方程求解。

VC+VGC = VG

√ ? ?

√ √ ?

如: VG= VB+VGB

大小: ? √ ?

方向: ? √√

slide35

A

t

2

B

1

3

如选C点: VC3 = VC4+VC3C4

C

t

D

4

如选B点: VB4 = VB3+VB4B3

图(b)中取C为重合点,

有:VC3= VC4+VC3C4

大小: ? ??

方向: ? √√

B

3

C

2

4

D

A

1

重合点的选取原则,选已知参数较多的点(一般为铰链点)

作者:潘存云教授

→不可解!

大小: ?

方向: ?

?

?

(a)

→可解!

大小: ?

方向: √

?

作者:潘存云教授

(b)

应将构件扩大至包含B点!

→不可解!

slide36

A

t

当取B点为重合点时:

VB4 = VB3 + VB4B3

2

B

1

3

C

t

(a)

D

4

t

B

3

t

C

2

4

D

A

1

构件3上C、B的关系:

VC3 = VB3+VC3B3

大小:? √ ?

方向:? √ √

B

3

2

C

4

A

1

→不可解!

作者:潘存云教授

→方程可解

大小: ?

方向: √

?

作者:潘存云教授

(b)

图(C)所示机构,重合点应选在何处?

B点!

作者:潘存云教授

slide37

2

2

B

1

2

1

3

B

B

1

3

B

2

3

1

3

B

3

2

2

3

B

2

1

2

B

B

1

1

1

3

3

2.正确判哥式加速度的存在及其方向

当两构件构成移动副:

▲且动坐标含有转动分量时,存在ak;

▲动坐标平动时,无ak。

判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak

无ak

有ak

无ak

作者:潘存云教授

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

slide38

§3-4综合运用瞬心法和矢量方程图解法

对复杂机构进行速度分析

VC = VB+VCB

大小: ? √ ?

方向: ? √√

G

F

5

1

t

6

A

D

2

E

4

3

C

B

t

I4

VC = VB+VCB

大小: ? √ ?

方向: √ √√ 可解!

对于某些复杂机构,单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时,都很困难,但将两者结合起来用,将使问题的到简化。

如图示Ⅲ级机构中,已知机构尺寸和ω2,进行运动分析。

作者:潘存云教授

不可解!

用瞬心法确定构件4的瞬心,

确定C点的方向后,则有:

此方法常用于Ⅲ级机构的运动分析。

slide39

§3-5 用解析法作机构的运动分析

图解法的缺点:

▲分析结果精度低;

▲作图繁琐、费时,不适用于一个运动周期的分析。

▲不便于把机构分析与综合问题联系起来。

随着计算机应用的普及,解析法得到了广泛的应用。

解析法:复数矢量法、矩阵法、杆组法等。

思路:

由机构的几何条件,建立机构的位置方程,然后就位置方程对时间求一阶导数,得速度方程,求二阶导数得到机构的加速度方程。

slide40

j

y

et

en

e t- 切向幺矢量

L

e- 矢量L的幺矢量,

e

j

i

en-法向幺矢量,

i- x轴的幺矢量

θ

x

j-y轴的幺矢量

i

一、矢量方程解析法

1.矢量分析基本知识

幺矢量----单位矢量

作者:潘存云教授

则任意平面矢量的可表示为:

其中:l-矢量的模,θ-幅角,各幺矢量为:

slide41

j

y

et

en

L

e

j

i

θ

ej

x

e·i

e·j

ei

i

j

y

e·et =0

e·e=e2

e·en = -1

e1·e2t

e1·e2n

e1·e2

e2

e1

e2t

θ1

i

x

θ2

e2n

幺矢量的点积运算:

作者:潘存云教授

= ei=cosθ

=ej=sinθ

=1

= cos (θ2-θ1 )

作者:潘存云教授

=- cos (θ2-θ1 )

=-sin (θ2-θ1 )

slide42

v t

at

v r

a r

切向速度v t

ak

L

an

θ

离心(相对)速度v r

向心加速度an

切向加速度at

离心(相对)加速度a r

哥式加速度ak

求一阶导数有:

求二阶导数有:

slide43

v r=0

L

ak=0

ar=0

对同一个构件,l为常数,有:

slide44

y

C

2

B

θ2

3

ω1

1

θ1

θ3

A

4

x

D

L1+ L2 = L3+ L4

移项得: L2 = L3+ L4-L1 (1)

2.平面机构的运动分析

已知:图示四杆机构的各构件尺寸和ω1 ,求θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2。

一、位置分析

将各构件用杆矢量表示,则有:

作者:潘存云教授

大小:√ √ √ √

方向 √ θ2? θ3? √

化成直角坐标形式有:

l2 cosθ2=l3 cosθ3+ l4 cosθ4-l1 cosθ1(2)

l2 sinθ2=l3 sinθ3+ l4 sinθ4-l1 sinθ1(3)

slide45

L3 = L1+ L2-L4 (5)

(2)、(3)平方后相加得:

l22=l23+ l24+ l21+2 l3 l4cosθ3

―2 l1 l3(cosθ3 cosθ1- sinθ3 sinθ1)―2 l1 l4cosθ1

整理后得: Asinθ3+Bcosθ3+C=0 (4)

  • 其中:A=2 l1 l3 sinθ1
      • B=2 l3 (l1 cosθ1- l4)
      • C= l22-l23-l24-l21+2 l1 l4cosθ1

解三角方程得:

tg(θ3 / 2)=[A±sqrt(A2+B2-C2)] / (B-C)由连续性确定

同理,为了求解θ2,可将矢量方程写成如下形式:

slide46

化成直角坐标形式:

l3 cosθ3=l1 cosθ1+ l2 cosθ2-l4(6)

l3 sinθ3=l1 sinθ1+ l2 sinθ2-0(7)

(6)、(7)平方后相加得:

l23=l21+ l22+ l24+2 l1 l2cosθ1

―2 l1 l4(cosθ1 cosθ2 - sinθ1 sinθ2 )―2 l1 l2cosθ1

整理后得: Dsinθ2+Ecosθ2+F=0 (8)

  • 其中:D=2 l1 l2 sinθ1
      • E=2 l2 (l1 cosθ1- l4 )
      • F= l21+l22+l24-l23- 2 l1 l4 cosθ1

解三角方程得:

tg(θ2 / 2)=[D±sqrt(D2+E2-F2)] / (E-F)

slide47

将 L3 = L1+ L2-L4对时间求导得:

l3θ3 e3t = l1θ1 e1t + l2θ2 e2t(9)

用 e2 点积(9)式,可得:

l3θ3 e3t · e2= l1θ1 e1t · e2(10)

用 e3点积(9)式,可得:

- l2θ2 e2t · e3= l1θ1 e1t · e3(11)

二、速度分析

ω3 l3 sin (θ3-θ2 ) = ω1 l1 sin (θ1-θ2 )

ω3 = ω1 l1 sin (θ1-θ2 ) / l3 sin (θ3-θ2 )

-ω2 l2 sin (θ2-θ3 ) = ω1 l1 sin (θ1-θ3 )

ω2 = -ω1 l1 sin (θ1-θ3 ) / l2sin (θ2-θ3 )

slide48

速度方程: l3θ3 e3t = l1θ1 e1t + l2θ2 e2t(9)

l3θ32e3n + l3θ3 e3t = l1θ12 e1n + l2θ22e2n+l2θ2 e2t(12)

=0

aCBn

aB

act

aCBt

aCBt

acn

,用e2点积(12)式,可得:

l3ω32e3n ·e2 + l3α3 e3t ·e2 = l1ω12 e1n ·e2+ l2ω22e2n·e2

用e3点积(12)式,整理后可得:

三、加速度分析

将(9)式对时间求导得:

作者:潘存云教授

上式中只有两个未知量

-ω32l3 cos (θ3-θ2 ) -α3 l3 sin (θ3-θ2 )

= -ω12l1 cos (θ1-θ2 ) -ω22l2

α3 =ω12l1 cos (θ1-θ2 ) +ω22l2

-ω32l3 cos (θ3-θ2 ) / l3 sin (θ3-θ2 )

α2 =ω12l1 cos (θ1-θ3 ) +ω32l3

-ω22l2 cos (θ2-θ3 ) / l2 sin (θ2-θ3 )

slide49

y

P

C

b

2

a

B

x

θ2

3

ω1

1

θ1

θ3

A

4

D

L1+ L2 = L3+ L4,或 L2-L3=L4- L1

l2 cosθ2 - l3 cosθ3 =l4-l1 cosθ1

l2 sinθ2 - l3 sinθ3 =- l1 sinθ1

(13)

二、矩阵法

思路:在直角坐标系中建立机构的位置方程,然后将位置方程对时间求一阶导数,得到机构的速度方程。求二阶导数便得到机构加速度方程。

已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω1,求:θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2、xp、yp、vp、ap。

1.位置分析

改写成直角坐标的形式:

slide50

xp=l1 cosθ1 +a cosθ2 + b cos (90º+θ2 )

yp= l1 sinθ1 +a sinθ2 + b sin (90º+θ2 )

(14)

l2 cosθ2 - l3 cosθ3 =l4-l1 cosθ1

l2 sinθ2 - l3 sinθ3 =- l1 sinθ1

(13)

l2 sinθ2 ω2- l3 sinθ3 ω3=ω1 l1 sinθ1

l2 cosθ2 ω2- l3 cosθ3 ω3=-ω1 l1 cosθ1

(15)

连杆上P点的坐标为:

2.速度分析

重写位置方程组

将以下位置方程:

对时间求导得速度方程:

slide51

xp=l1 cosθ1 +a cosθ2 + b cos (90º+θ2 )

yp= l1 sinθ1 +a sinθ2 + b sin (90º+θ2 )

(14)

- l2 sinθ2 l3 sinθ3 ω2 l1 sinθ1

l2 cosθ2 - l3 cosθ3 ω3-l1 cosθ1

=ω1

(16)

从动件的位置参数矩阵[A]

从动件的角速度列阵{ω}

原动件的角速度ω1

原动件的位置参数矩阵[B]

xp -l1 sinθ1 -a sinθ2-b sin (90º+θ2 )

ypl1 cosθ1a cosθ2+b cos (90º+θ2 )

ω1

ω2

vpx

vpy

(17)

速度合成:vp = v2px + v2py αpv=tg-1(vpy / vpx )

写成矩阵形式:

[A]{ω} =ω1{B}

对以下P点的位置方程求导:

得P点的速度方程:

slide52

l2 sinθ2 ω2- l3 sinθ3 ω3=ω1 l1 sinθ1

l2 cosθ2 ω2- l3 cosθ3 ω3=-ω1 l1 cosθ1

(15)

α2

α3

- l2 sinθ2 l3 sinθ3

l2 cosθ2 - l3 cosθ3

(18)

ω2

ω3

- l2ω2 cosθ2 l3ω3 cosθ3

- l 2ω2 sinθ2 l3ω3 sinθ3

l1ω1 sinθ1

l1ω3 cosθ1

+ω1

[A]

[B]

3.加速度分析

重写速度方程组

对速度方程求导:

将(15)式对时间求导得以下矩阵方程:

{ω}

=

[A]

{α}

+ ω1

slide53

xp -l1 sinθ1 -a sinθ2-b sin (90º+θ2 )

ypl1 cosθ1a cosθ2+b cos (90º+θ2 )

0

α2

apx

apy

l1 cosθ1a cosθ2 + b cos (90º+θ2 )

-l1 sinθ1 -a sinθ2 + b sin (90º+θ2 )

ω22ω32

(19)

xp -l1 sinθ1 -a sinθ2-b sin (90º+θ2 )

ypl1 cosθ1a cosθ2+b cos (90º+θ2 )

ω1

ω2

vpx

vpy

加速度合成:

ap =a2px + a2py αpa=tg-1(apy / apx )

(17)

对P点的速度方程求导:

得以下矩阵方程:

slide54

[A]{α} = -[A]{ω}+ω1{B}

[A]=d[A]/dt;

[B]=d[B]/dt;

[A]{ω} =ω1{B}

速度方程的一般表达式:

其中[A]--机构从动件的位置参数矩阵;

{ω}--机构从动件的角速度矩阵;

{B}--机构原动件的位置参数矩阵;

ω1--机构原动件的角速度。

加速度方程的一般表达式:

{α}--机构从动件的加角速度矩阵;

解析法运动分析的关键:正确建立机构的位置方程。至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运算而已。本例所采用的分析方法同样适用复杂机构。

缺点:是对于每种机构都要作运动学模型的推导,模型的建立比较繁琐。

slide55

三、杆组分析法

类型 简 图 运动副 矢量三角形中的已知量

a = R + b

√ √ √

? √ ?

a = R + b

√ √ √

? √ ?

b

b

a

a

全部为转动副

A

R

R

内:1个移动副

外:2个转动副

B

a b

a = R + b

√ √ ?

? √√

内:1个转动副

外:1转1移

b

C

a

R

a = R + b

? √ ?

√√ ?

内:1个移动副

外:1转1移

b

D

a

a b

R

b

a = R + b

? √ ?

√√ √

a

内:1个转动副

外:2个移动移

E

R

原理:将基本杆组的运动分析模型编成通用的子程序,根据机构的组成情况依次调用杆组分析子程序,就能完成整个机构的运动分析。

特点:运动学模型是通用的,适用于任意复杂的平面连杆机构。

作者:潘存云教授

slide56

本章重点:

1. 瞬心位置的确定(三心定律);

2. 用瞬心法求构件的运动参数;

3.用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析,

熟练掌握影象法及其应用;

4.用矢量方程解析法建立机构的运动学模型;