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第二节 洛必达 (L ’ Hospital) 法则

第二节 洛必达 (L ’ Hospital) 法则. 洛必达法则是求 0/0, ∞/ ∞, 0* ∞, ∞- ∞, 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 类型 极限的有力工具. 定理 1 (0/0 型 ) 假设. 证明 : 我们补充定义 f(a)=g(a)=0, 有. 在区间 [a,x] 或 [x,a] 上应用柯西中值定理. 定理 1 又称为洛必达法则. 洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法 . 掌握这 个法则没有什么困难 , 但是需要注意以下问题 :.

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第二节 洛必达 (L ’ Hospital) 法则

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Presentation Transcript

  1. 第二节 洛必达(L’Hospital)法则 洛必达法则是求0/0, ∞/ ∞, 0* ∞, ∞- ∞, 1 ∞, 00 , ∞0类型 极限的有力工具. 定理1 (0/0型) 假设

  2. 证明: 我们补充定义f(a)=g(a)=0,有 在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理

  3. 定理1又称为洛必达法则 洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法.掌握这 个法则没有什么困难,但是需要注意以下问题: (1) 只有不定式极限问题才能够运用洛必达法则,非不定 式极限要用四则运算或其他方法.对于不定式极限,若 干次运用罗比达法则以后如果已经化为非不定式,就 不能继续运用洛必达法则,否则就会出现错误.

  4. 例1 求下列极限 解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到 (2)是∞0型的,可以化为0/0型.

  5. 例2 求极限 解此0/0型，连用三次洛必达法则可得到结果。在使用 洛必达法则时，必须要检查是否是0/0型的。在计算中常 犯的错误是没有满足0/0的条件。

  6. 设： 定理2 • 函数f(x)与g(x)在点a的某邻域内(点a可以除外)都可 • 导,且g’(x)≠0

  7. 例3 求函数 的极限 解：

  8. 例4 求下列极限 • 对于其他的形式可以通过恒等变形,化为基本型.可使 • 用洛必达法则求极限.

  9. 例5 求下列极限: 解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到

  10. 也可以

  11. 在使用洛必达法则时,如果把等阶无穷小代换,代数,在使用洛必达法则时,如果把等阶无穷小代换,代数, • 三角运算和洛必达法则结合起来,可以简化运算过程. 例6

  12. 例7 求 注意(4):洛必达法则使用前后都应注意分离因式,把具有非 零极限的因子提出极限号外,并及时求出极限,再对余下未 定式求极限.

  13. 注意(5): 有些不定式,运用洛必达法则不能得到结果, 但是这不能说明该不定式的极限不存在,因 为洛 必达法则是极限存在的充分条件

  14. .例如 当x→∞时, 是, 显然有. 型不定式 但是如果用洛必达法则,则得不出结果

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