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四、随机变量的数字特征

四、随机变量的数字特征. （ 绝对收敛）. ( 级数 绝对收敛 ). 考试内容. （一）随机变量的数学期望. 1. 离散型随机变量的数学期望（均值）. 设 X 的分布律为. 则. 2. 连续型随机变量的数学期望. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ), 则. 3. 随机变量函数的数学期望. （ 1 ） X 为 随机变量， y=g ( x ) 为实变量 x 的函数. 离散型：. 连续型：. (2)( X,Y ) 为二维 随机变量 , z=g ( x,y ) 为 x,y 的二元函数. 离散型：.

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四、随机变量的数字特征

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Presentation Transcript

  1. 四、随机变量的数字特征

  2. （ 绝对收敛） (级数 绝对收敛) 考试内容 （一）随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望（均值） 设X的分布律为 则 2.连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则

  3. 3.随机变量函数的数学期望 （1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数. 离散型： 连续型： (2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数. 离散型： 连续型：

  4. 4.数学期望的性质 (1) E(C)=C; (2) E(aX+b)= aE(X)+b; (3) E(X1+ X2+‥+Xn)=E(X1)+ E(X2)+‥+E(Xn); (4) 若X1, X2,‥,Xn相互独立,则 E(X1X2‥Xn)=E(X1) E(X2)‥E(Xn); (5)

  5. （二）方差 1.定义D(X)=E{[X-E(X)]2} 均方差或标准差： 2.计算 (1) 离散型： (2)连续型： (3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).

  6. 3. 方差的性质 (1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2) (2)D(C)=0; (3) E(aX+b)= a2D(X); (4) D(X±Y)=D(X)+ D(Y) ±2Cov(X,Y); 若X, Y相互独立,则 D(X±Y)=D(X) +D(Y). (5) D(X)=0 P(X=C)=1.

  7. （三）协方差、协方差矩阵与相关系数 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 1.协方差 2.相关系数 用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度. 当 较大时，说明X,Y线性关系程度较强； 当 较小时，说明X,Y线性关系程度较弱； 当 时，称X与Y不相关（线性）.

  8. 3.协方差矩阵 cij=Cov(Xi,Yj), 设(X1, X2,‥,Xn)是n维随机变量,若 存在，则称矩阵 为n维随机变量(X1, X2,‥,Xn)的协方差矩阵.

  9. 4.协方差及相关系数的性质 • Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y); • (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）; • (4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y); • (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y); • (6) • (7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b, 且a≠0,使 (8)

  10. （四）矩与混合矩 1.随机变量X的k阶原点矩： 随机变量X的k阶中心矩： 2. 设(X,Y)为二维随机变量, X和Y 的k+l 阶混合原点矩为： X和Y 的k+l 阶混合中心矩为： 数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩， 协方差是1+1阶混合中心矩.

  11. （五）常见分布的数学期望与方差

  12. （六）重要结论 5个等价条件： 注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个 成立的充分条件，但非必要条件.

  13. 考点与例题分析 考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性

  14. 考点一：数学期望和方差的计算 1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.

  15. 例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各 部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部 件数,试求X的E(X)和D(X). 解法1 先求出分布律： 设事件Ak={第k个部件要调整} （k=1,2,3),则

  16. 即X具有的分布律为： 从而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46. 解法2用分解法：引进随机变量 X~0-1分布， 且X=X1+X2+X3， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46

  17. 注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单” 的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本 方法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi 是否 相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出. 2. 求离散型随机变量的期望和方差时,会用到无穷 级数求和，如下例:

  18. 例2对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次例2对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次 射击的命中率为p，求消耗子弹的数学期望. 解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗 的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则 于是有 故

  19. 例3设随机变量的概率密度 求数学期望和方差. 解 注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.

  20. 例4 设X的密度函数 则E(X)_______, D(X)_________.

  21. 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如 2.直接利用函数期望的公式计算： 3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的 数学期望与方差计算.

  22. 例5设X~E(1),则数学期望 指数分布 解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数 的期望公式求得. 因X~E(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为

  23. 例6设X的密度函数 求 解 直接利用函数期望的公式计算

  24. 为常数 注：在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接 用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变 量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如 设随机变量X1, X2, … Xn独立同分布,其密度函数 试求 的数学期望和方差. （自行完成）

  25. 例7设是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则 解 令Z=X-Y，则E(Z)=0, D(Z)=1,即 故积分，得 注：利用正态分布的性质、 随机变量函数的期望公式

  26. 例8一工厂生产的某种设备的寿命X（年）服从 指数分布,概率密度函数为 规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换, 若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂 方需花费300元，试求厂方出售一台设备赢利的数 学期望. 分析：先求出赢利的分布. 解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为 100,-200.因

  27. Y的分布律为 Y 100 -200 所以， 注：Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.

  28. 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性 1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量 函数的期望的计算，方法见考点二； 2.独立性与相关性的关系 X,Y相互独立 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X,Y相互独立

  29. 例9将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面 向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为__. 解 因X+Y=n,即Y=n-X. 法1 用定义求： D(Y)=D(n-X)=D(X) 因此， 法2 用性质(7)： 因Y=n-X，Y是X的线性函数,且X的系数为-1<0, 故X和Y的相关系数为-1.

  30. 且 例10设 其中 (1)求E(Z), D(Z)； （2）求X,Z的相关系数； （3） X与Z是否相互独立？为什么？ 解（1）由期望和方差的性质有

  31. （2） 故 （3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z 服从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关, X与Z仍不一定相互独立. 注： X与Z 均服从正态分布，且X与Z 相互独立， 则(X,Z)服从二维正态分布.

  32. 存在a,b,使 故存在a,b,使 且 则 例11.(08)设随机变量 考查：相关系数的性质： 以及正态分布数字特征的性质. 解 选D. 由正态分布有EX=0,DX=1, EY=1,DY=4, 从而EY=aEX+b,得b=1.而

  33. 考研题及练习题 1. 设随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,-x<y<x内 服从均匀分布，求Z=2X+1的方差.(两种方法) 答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.

  34. 3.(04134)设随机变量X服从参数为 的指数分布, 则 2.(08）设随机变量X服从参数为1的泊松分布, 则P{X=EX2}______. 考查：泊松分布的数字特征及其概率分布. 参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而 EX2 =DX+(EX)2=2, P{X=EX2}=P{x=2}=1/2e.

  35. 4.(041)设随机变量X1, X2, … Xn独立同分布,且其 方差为 令 则 提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可, 注意到利用独立性有：

  36. 5.（0634）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 Y -1 0 1 X -1 a 00.2 0 0.1b 0.2 1 0 0.1c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX=-0.2， 记Z=X+Y，求 （1） a,b,c的值； （2）Z的概率分布； （3）P(X=Z).

  37. 答案: (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1 -2 -1 0 1 2 (2) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.

  38. 发生, 不发生, 求(1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布； (2) X,Y 的相关系数 发生, 不发生, 6.（04134）设A,B为随机事件,且 令 (3)Z=X2+Y2的概率分布. 提示：关键是求出(X,Y)的概率分布. 将(X,Y)的各取值对转化为随机事件A,B表示即可.

  39. 答案： (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布

  40. (3)Z=X2+Y2的概率分布:

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