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四、随机变量的数字特征

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四、随机变量的数字特征. ( 绝对收敛). ( 级数 绝对收敛 ). 考试内容. (一)随机变量的数学期望. 1. 离散型随机变量的数学期望(均值). 设 X 的分布律为. 则. 2. 连续型随机变量的数学期望. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ), 则. 3. 随机变量函数的数学期望. ( 1 ) X 为 随机变量, y=g ( x ) 为实变量 x 的函数. 离散型:. 连续型:. (2)( X,Y ) 为二维 随机变量 , z=g ( x,y ) 为 x,y 的二元函数. 离散型:.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
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( 绝对收敛)

(级数 绝对收敛)

考试内容

(一)随机变量的数学期望

1.离散型随机变量的数学期望(均值)

设X的分布律为

2.连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则

slide3

3.随机变量函数的数学期望

(1)X为随机变量,y=g(x)为实变量x的函数.

离散型:

连续型:

(2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数.

离散型:

连续型:

slide4

4.数学期望的性质

(1) E(C)=C;

(2) E(aX+b)= aE(X)+b;

(3) E(X1+ X2+‥+Xn)=E(X1)+ E(X2)+‥+E(Xn);

(4) 若X1, X2,‥,Xn相互独立,则

E(X1X2‥Xn)=E(X1) E(X2)‥E(Xn);

(5)

slide5

(二)方差

1.定义D(X)=E{[X-E(X)]2}

均方差或标准差:

2.计算

(1) 离散型:

(2)连续型:

(3) 常用计算公式:D(X)=E(X2)-E2(X).

slide6

3. 方差的性质

(1) D(X)=E(X2)-E2(X), E2(X)=D(X)+E(X2)

(2)D(C)=0;

(3) E(aX+b)= a2D(X);

(4) D(X±Y)=D(X)+ D(Y) ±2Cov(X,Y);

若X, Y相互独立,则

D(X±Y)=D(X) +D(Y).

(5) D(X)=0 P(X=C)=1.

slide7

(三)协方差、协方差矩阵与相关系数

Cov(X,Y)= E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}

1.协方差

2.相关系数

用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度.

当 较大时,说明X,Y线性关系程度较强;

当 较小时,说明X,Y线性关系程度较弱;

当 时,称X与Y不相关(线性).

slide8

3.协方差矩阵

cij=Cov(Xi,Yj),

设(X1, X2,‥,Xn)是n维随机变量,若

存在,则称矩阵

为n维随机变量(X1, X2,‥,Xn)的协方差矩阵.

slide9

4.协方差及相关系数的性质

  • Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y);
  • (3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X);
  • (4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y);
  • (5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y);
  • (6)
  • (7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,

且a≠0,使

(8)

slide10

(四)矩与混合矩

1.随机变量X的k阶原点矩:

随机变量X的k阶中心矩:

2. 设(X,Y)为二维随机变量,

X和Y 的k+l 阶混合原点矩为:

X和Y 的k+l 阶混合中心矩为:

数学期望是一阶原点矩;方差是二阶中心矩,

协方差是1+1阶混合中心矩.

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(六)重要结论

5个等价条件:

注意:X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个

成立的充分条件,但非必要条件.

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考点与例题分析

考点一:数学期望和方差的计算

考点二:随机变量函数的数学期望与方差

考点三:协方差、相关系数,独立性与相关性

slide14

考点一:数学期望和方差的计算

1.对分布已知的情形,按定义求;

2.对由随机试验给出的随机变量,先求出分布,

再按定义计算;

3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和

方差计算;

4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量,

特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.

slide15

例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各

部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各

部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部

件数,试求X的E(X)和D(X).

解法1 先求出分布律:

设事件Ak={第k个部件要调整} (k=1,2,3),则

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即X具有的分布律为:

从而有E(X)=0.6,D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46.

解法2用分解法:引进随机变量

X~0-1分布,

且X=X1+X2+X3, E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=0.6

D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46

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注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”

的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本

方法,但必须注意:求方差时,应先判断Xi 是否

相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出.

2. 求离散型随机变量的期望和方差时,会用到无穷

级数求和,如下例:

slide18

例2对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次例2对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次

射击的命中率为p,求消耗子弹的数学期望.

解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗

的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则

于是有

slide19

例3设随机变量的概率密度

求数学期望和方差.

注:若已知分布函数,则需先求出密度函数.

slide20

例4 设X的密度函数

则E(X)_______, D(X)_________.

slide21

考点二:随机变量函数的数学期望与方差

1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如

2.直接利用函数期望的公式计算:

3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的

数学期望与方差计算.

slide22

例5设X~E(1),则数学期望

指数分布

解 先利用期望的线性性质,再用随机变量函数

的期望公式求得.

因X~E(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为

slide23

例6设X的密度函数

解 直接利用函数期望的公式计算

slide24

为常数

注:在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接

用公式计算,则需求多重积分.故不如先求出随机变

量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如

设随机变量X1, X2, … Xn独立同分布,其密度函数

试求 的数学期望和方差.

(自行完成)

slide25

例7设是两个相互独立且均服从正态分布

的随机变量,则

解 令Z=X-Y,则E(Z)=0, D(Z)=1,即

故积分,得

注:利用正态分布的性质、

随机变量函数的期望公式

slide26

例8一工厂生产的某种设备的寿命X(年)服从

指数分布,概率密度函数为

规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换,

若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂

方需花费300元,试求厂方出售一台设备赢利的数

学期望.

分析:先求出赢利的分布.

解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为

100,-200.因

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Y的分布律为

Y 100 -200

所以,

注:Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.

slide28

考点三:协方差、相关系数,独立性与相关性

1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量

函数的期望的计算,方法见考点二;

2.独立性与相关性的关系

X,Y相互独立

若(X,Y)服从二维正态分布,则

X,Y相互独立

slide29

例9将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面

向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为__.

解 因X+Y=n,即Y=n-X.

法1 用定义求:

D(Y)=D(n-X)=D(X)

因此,

法2 用性质(7):

因Y=n-X,Y是X的线性函数,且X的系数为-1<0,

故X和Y的相关系数为-1.

slide30

例10设 其中

(1)求E(Z), D(Z);

(2)求X,Z的相关系数;

(3) X与Z是否相互独立?为什么?

解(1)由期望和方差的性质有

slide31

(2)

(3)X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z

服从正态分布,从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关, X与Z仍不一定相互独立.

注: X与Z 均服从正态分布,且X与Z 相互独立,

则(X,Z)服从二维正态分布.

slide32

存在a,b,使

故存在a,b,使

且 则

例11.(08)设随机变量

考查:相关系数的性质:

以及正态分布数字特征的性质.

解 选D. 由正态分布有EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,

从而EY=aEX+b,得b=1.而

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考研题及练习题

1. 设随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,-x<y<x内

服从均匀分布,求Z=2X+1的方差.(两种方法)

答案:E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.

slide34

3.(04134)设随机变量X服从参数为 的指数分布,

2.(08)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,

则P{X=EX2}______.

考查:泊松分布的数字特征及其概率分布.

参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而

EX2 =DX+(EX)2=2, P{X=EX2}=P{x=2}=1/2e.

slide35

4.(041)设随机变量X1, X2, … Xn独立同分布,且其

方差为 令 则

提示:用方差和协方差的运算性质直接计算即可,

注意到利用独立性有:

slide36

5.(0634)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

Y

-1 0 1

X

-1 a 00.2

0 0.1b 0.2

1 0 0.1c

其中a,b,c为常数,且X的数学期望EX=-0.2,

记Z=X+Y,求

(1) a,b,c的值; (2)Z的概率分布;

(3)P(X=Z).

slide37

答案: (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1

-2 -1 0 1 2

(2)

0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

(3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.

slide38

发生,

不发生,

求(1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布;

(2) X,Y 的相关系数

发生,

不发生,

6.(04134)设A,B为随机事件,且

(3)Z=X2+Y2的概率分布.

提示:关键是求出(X,Y)的概率分布.

将(X,Y)的各取值对转化为随机事件A,B表示即可.

slide39

答案:

(1)

二维随机变量(X,Y)的概率分布