§3.8 函数的最大值与最小值

1. §3.8 函数的最大值与最小值 Maximum Value & Minimum Value of Function 高三数学选修（Ⅱ）第三章 导数与微分 授课教师：韩兴梅

2. 实际问题 如图，有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求, 长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm，体积为Vcm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值． 解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x)cm, (10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x =4（40－x）（30－x）x.

3. 若改为(a,b)情况如何? 一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数 在[a,b]上必有最大值与最小值. [a,b] 最值存在定理

4. 若改为不连续呢? 连续 一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数 在[a,b]上必有最大值与最小值. 最值存在定理

5. 例1求函数 在区间上的最大值与 最小值． ①求函数在内的极值； 求[a,b]上连续函数 最值的方法 求上的连续函数的最大值与最小值的步骤: ②将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值．

6. 例1 求函数在区间上的最大值与 最小值． 解： ，有 ，解得 令 例题讲解 当x 变化时， 的变化情况如下表： -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 — 0 + 0 — 0 + 单调性 13 4 5 4 13 从表上可知，最大值是13，最小值是4．

7. （1）在(a,b)内解方程,但不需要判断是否是极值点,（1）在(a,b)内解方程,但不需要判断是否是极值点, 更不需要判断是极大值还是极小值； 例1求函数在区间上的最大值与最小值． 解： ，有 ，解得 令 当x 变化时， 的变化情况如下表： 例题讲解 -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 — 0 + 0 — 0 + 13 4 5 4 13 从上表可知，最大值是13，最小值是4． （2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

8. （1）在(a,b)内解方程, 例1求函数在区间上的最大值与 最小值． 解： ，有 令 ,解得 例题讲解 求上的连续函数的最大值与最小值的简化步骤: （2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 又 ∴所求最大值是13，最小值是4．

9. 求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值.求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值. 课堂练习

10. 例２　如图，有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求, 长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm，体积为Vcm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值． 解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x)cm, (10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x =4（40－x）（30－x）x =4x3－280x2＋4800x. 实际问题

11. 解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是（80－2x)cm，（60－2x)cm, (10≤x≤20). =4x3－280x2＋4800x. V=f (x)=（80－2x）（60－2x）x 解得 得 令 比较可知当 V有最大值 所以体积V与高x有以下函数关系

12. 课堂小结 1.在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大 值与最小值; 2.求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; 3.利用导数求闭区间[a,b]上的连续函数最值的关键是 求得方程 (x∈[a,b])的根所对应的函数值. 课外作业:教材P139练习1、2、3.

13. 谢谢大家！