网络面授课程

1. 网络面授课程 四边形（一） 主讲教师： 北京四中 梁威

2. 今天的内容 1、回忆以前学过的关于四边形的内容； 2、找到记忆平行四边形、矩形、菱形、正方形定理的好方法； 3、运用学过的定理解决平行四边形、矩形、菱形、和基本的正方形中的证明或计算问题。

4. 四边形 平行四边形 梯形 等腰梯形 直角梯形 正方形 矩形 菱形 2、从属关系

5. 二、 平行四边形 1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 作用: （1）给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形. （2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行.

6. 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心; （2）平行四边形的对边平行且相等; （3）平行四边形的对角相等，邻角互补; （4）平行四边形的对角线互相平分.

7. 3、平行四边形的面积 （1）平行四边形的面积等于 它的底和该底上的高的积. 如图1，=BC·AE=CD·BF （2）拓展: 同底(等底)同高 （等高）的平行四边形面积 相等.如图2， =

8. 4. 平行四边形的判定方法 (1)两组对边分别平行 从边看(2)一组对边平行且相等 (3)两组对边分别相等的四边形是 从角看(4)两组对角分别相等 平行四边形 从对角线看(5)对角线互相平分

9. 5、三角形中位线定理 定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形 中位线; 定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边， 并且等于第三边的一半. 作用: （1）位置关系:可以证明两条直线平行; （2）数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 拓展:（1）三角形共有三条中位线，并且它们 又重新构成一个新的三角形; （2）要会区别三角形的中线与中位线.

10. 例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。

11. 例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。 分析：本题证法较多， 关键时你想使用哪个定理。 可以利用两组对边分别平行去证，也可利用一组对边平行且相等去证四边形ABCD是平行四边形。

12. 例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：（法1）∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°。 ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠D=180°。 ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形。 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

13. 例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。例1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：（法2）连结BD ∵AB∥CD，∴∠1=∠2。 又∵∠A=∠C，BD=BD， ∴△ABD≌△CDB。 ∴AB=CD。又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

14. 例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。

15. 例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。 分析：从待证的结论分析， 它的说法与平行四边形的 对角线性质的说法相同。从图形上观察，E、M、 F、N可能是平行四边形的四个顶点，所以设法 从证明EMFN是平行四边形入手。 若MN与EF互相平分，那么四边形MENF应是平行 四边形，据已知可证明四边形MENF是平行四边形。

16. 例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。例2、如图，点M、N分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BM=DN，ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：MN与EF互相平分。 证明：连结EN、MF。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD。∴∠1=∠2。 ∵ME⊥BD，NF⊥BD， ∴∠MEF=∠NFE=90°，∠MEB=∠NFD=90°。 ∴ME∥NF。又∵BM=DN，∴△BME≌△DNF。 ∴ME=NF。∴四边形EMFN是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 ∴MN与EF互相平分。

17. 二、特殊的平行四边形 （一）矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 其实，矩形首先是一个平行四边形，然后增加 一个角是直角这个特殊条件. 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质; （2）对角线相等; （3）四个角都是直角； （4）是轴对称图形，它有两条对称轴.

18. 二、特殊的平行四边形 （一）矩形 3、 矩形的判定方法 （1）有一个角是直角的平行四边形; （2）有三个角是直角的四边形; （3）对角线相等的平行四边形; （4）对角线相等且互相平分的四边形. 4、矩形的面积 公式: 矩形面积= 长×宽

19. 二、特殊的平行四边形 （一）矩形 5、直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 回顾与小结已学过的直角三角形的主要性质: （1）两锐角互余; （2）两条直角边的平方和等于斜边的平方; （3）30°角所对的直角边等于斜边的一半; （4）斜边上的中线等于斜边的一半.

21. 我们一般在折叠问题中常常使用的技巧是： 1、有折叠就有全等； 2、有些未知值不易求出时，可以采用待定系数法。引入未知数表示，建立方程求之。

25. （二）菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、性质: （1）具有平行四边形的一切性质; （2）四条边都相等; （3）两条对角线互相垂直，并且每一组对角线 平分一组对角（这个很容易忘记）; （4）既是中心对称图形又是轴对称图形，其 对称轴为对角线所在的直线. 注意：由于菱形的对角线互相垂直平分，因而 许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决

26. （二）菱形 3、判定: （1）定义; （2）四条边都相等的四边形; （3）对角线互相垂直平分的四边形; （4）对角线平分一组对角的平行四边形. 4.面积: （1）平行四边形面积公式: 底×高 （2）两条对角线乘积的一半.即： 若a、b分别表示两条对角线的长， 则S菱形=

27. 例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G，例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G， 求证：AB与EF互相平分。

28. 例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G，例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G， 求证：AB与EF互相平分。 分析：根据已知条件和图形特点 可证△AGE与△BGF全等，只须先证AG=GB，而这由菱形性质知∠1=∠2，AH⊥EG，又可证△AHE与△AHG全等，则问题解决。

29. 例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G，例5、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G， 求证：AB与EF互相平分。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠1=∠2。又∵AC⊥EG，AH=AH， ∴△AHE≌△AHG。∴AE=AG， 又∵AE=AD，∴AG=AD。 ∵AB=AD，∴AG=AB=BG。 ∵AD∥BC，∵∠F=∠AEG。 而∠BGF=∠AGE，∴△AGE≌△BGF。 ∴EG=FG，AG=GB。即AB与EF互相平分。

30. 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠A的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E。求证：四边形CDEF是菱形。

31. 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠A的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E。求证：四边形CDEF是菱形。 分析：欲证四边形CDEF是菱形， 则先必须证其是平行四边形， 由已知很容易得到CF=CD， 因此关键是证四边形CDEF是平行四边形，所以 只需证CF=DE问题便解决。 证明菱形的常见思路： 先证明四边形是平行四边形，再寻找一组邻边 相等。也可从对角线互相垂直来着手考虑。

32. 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠A的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E。求证：四边形CDEF是菱形。 证明：∵CH⊥AB，∴∠CHA=90° ∴∠2+∠3=90°,又∵∠ACB=90° ∴∠1+∠5=90°,又∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠4=∠5, ∴CF=CD。 ∵∠1=∠2，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=ED, ∴CF=ED。 ∵CH⊥AB，DE⊥AB， ∴CF∥ED。 ∴四边形CDEF为平行四边形。 ∵CF=CD，∴四边形CDEF是菱形。

33. （三）正方形 1.定义: 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形.注意: 正方形既是有一组 邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形. 2.性质: （1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行; （2）角：四个角都是直角; （3）对角线：①相等;②互相垂直平分;③每一条 对角线平分一组对角;两条对角线将 它分成四个全等的等腰直角三角形. （4）是轴对称图形，有4条对称轴;又是中心对称 图形，对称中心就是两条对角线的交点.

34. （三）正方形 3.判定: （1）先证它是矩形，再证一组邻边相等; （2）先证它是菱形，再证一个角是直角. 4.面积: （1）正方形的面积等于边长的平方; （2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半. 拓展:周长相等的四边形中， 正方形的面积最大.

35. 例7、如图，已知正方形ABCD的边长为12 cm，点P在BC上，BP=5 cm，EF⊥AP，垂足为Q，与AB、CD分别交于E、F。求EF的长。

36. 例7、如图，已知正方形ABCD的边长为12 cm，点P在BC上，BP=5 cm，EF⊥AP，垂足为Q，与AB、CD分别交于E、F。求EF的长。 分析：由已知AB=12 cm，BP=5 cm。 可由勾股定理求出AP。而观察图形 和正方形特征可猜测EF与AP应相等， 故只须找出EF与AP的关系。 而由AP为Rt△ABP的斜边，想到 构造一个直角三角形且使EF为斜边， 问题即可解决。

37. 例7、如图，已知正方形ABCD的边长为12 cm，点P在BC上，BP=5 cm，EF⊥AP，垂足为Q，与AB、CD分别交于E、F。求EF的长。 解：过B点作BG∥EF交CD于G。 ∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD。 ∴EF=BG。 又∵EF⊥AP，∴BG⊥AP。 ∴∠1+∠2=90°。又∠ABP=90°， ∴∠BAP+∠2=90°。∴∠1=∠BAP。 在Rt△ABP与Rt△BCG中, ∠ABC=∠BCG=90°，∠1=∠BAP，AB=BC ∴Rt△ABP≌Rt△BCG。 ∴BG=AP。 在Rt△ABP中，AB=12 cm，BP=5 cm， 由勾股定理，得=13 (cm) ∴EF=13 cm。

41. 作业

43. 3、如图，折叠矩形的一边CD， 使点C落在AB上的点F处，已知 AB=10cm， BC=8cm，则EC的长 为________.