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Definición Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de veces.

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Definición Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de veces. - PowerPoint PPT Presentation


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si se cumple que. 0 0. Es una forma indeterminada. Definición Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de veces. La potenciación es un caso particular de la multiplicación con varios factores. Propiedades:. Primera. Potencia de exponente 0. Segunda:.

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si se cumple que

00

Es una forma indeterminada

Definición

Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de

veces.

La potenciación es un caso particular de la multiplicación

con varios factores.

Propiedades:

Primera

Potencia de exponente 0

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Segunda:

Potencia de exponente 1

ejemplo

Tercera:

Producto de potencias de igual base

ejemplo

Cuarta:

División de potencias de igual base

ejemplo

slide4

Quinta:

Potencia de una potencia

ejemplo

Sexta:

Potencia de un producto

ejemplo

Séptima:

Producto de potencias de base distinta

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Octava:

Propiedad distributiva

Es distributiva respecto a la multiplicación y la división

No es distributiva respecto a la adición y a la sustracción

Potencia de exponente negativo

Novena:

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Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique y elimine cualquier

exponente negativo:

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Problema

La pregunta inoportuna:

En una visita al santuario del Señor de los Milagros en Buga, cinco amigos

compraron cinco medallas de precios diferentes: $5, $25, $125, $625 y

$3125. Al salir del establecimiento observaron que sólo les quedaron:

$1 a Juan, $2 a Pablo, $3 a Pedro, $4 a Jaime y $5 a Claudio.

Jaime (el matemático) exclamó: “Si multiplicamos cada cantidad gastada

por la cantidad restante y sumamos los cinco productos resulta 9615”.

Sandra (la esposa de Pablo) preguntó:

“Qué precio han pagado cada uno

de ustedes por su medalla?”.

Pablo, como siempre tan comprensivo,

le dijo: “Deje de hacer preguntas

Inoportunas y dedúzcalo usted misma”.

¿Pudo determinar Sandra cuál es el precio de cada medalla?.

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Solución:

Sean:

X= la cantidad restante del que pagó $5 por su medalla.

y = la cantidad restante del que pagó $25 por su medalla.

z= la cantidad restante del que pagó $125 por su medalla.

w= la cantidad restante del que pagó $625 por su medalla.

r= la cantidad restante del que pagó $3125 por su medalla.

Entonces:

Cancelando 5 obtenemos:

Luego:

Como por hipótesis se tiene que , entonces x=3 ya que éste

es el único de estos números tal que 1923-x es divisible por 5. Por lo tanto:

Observe que:

(1)

slide9

Pedro pagó $5 por su medalla

Además de (1) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces y=4 ya que éste

es el único de estos números tal que 384-y es divisible por 5. Por lo tanto:

(2)

Jaime pagó $25 por su medalla

de (2) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces z=1 ya que éste

es el único de estos números tal que 76-z es divisible por 5. Por lo tanto:

(3)

Juan pagó $125 por su medalla

de (3) se deduce que:

Como por hipótesis se tiene que , entonces w=5 ya que éste

es el único de estos números tal que 15-w es divisible por 5. Por lo tanto:

slide10

Claudio pagó $625 por su medalla

Finalmente se tiene que:

Pablo pagó $3125 por su medalla

Observación:

slide12

Problema

Una interesante suma:

Observa que:

1=1

1+11=12

1+11+111=123

1+11+111+1111=1234

1+11+111+1111+11111=12345

¿Puedes encontrar en general, el valor de la suma:

1+11+111+1111+ … +111 … 1 ?

(¿Quién es?)

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Solución:

Como

luego

slide14

La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

Si x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo,

o x y r son números reales negativos y n es un número entero positivo

Impar, se define:

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Propiedades:

Sean m y n enteros positivos y x e y números reales. Entonces:

Siempre y cuando los radicales representen números reales

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Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique las respectivas expresiones:

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POLINOMIOS

Herón el Viejo de Alejandría

La palabra ecuación viene del latín aequatio que significa igualdad. Los primeros vestigios que existen de ellas, se remontan alrededor del año 2000 a.c. periodo en el cual aparece el Libro de Cálculo de Axmés en donde se presentan las ecuaciones de primer grado, a los Babilónicos se debe la resolución de ecuaciones de segundo grado, los griegos se limitaron a redescubrir las fórmulas babilónicas en términos geométricos, pero fueron Herón (alrededor del año 100) y Diofanto de Alejandríıa (siglo III) quienes lo hicieron en forma algebraica.

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Un polinomio de grado n en la variable x , es cualquier

expresión de la forma

En donde n es un entero no negativo, y

i=1,2, … ,n son números reales.

Ejemplos:

slide19

Ejemplos:

  • El polinomio es un
  • polinomio de grado cero y se denomina polinomio constante.
  • 2) El polinomio es un polinomio de primer grado y se denomina polinomio lineal.
  • 3) El polinomio es un polinomio de tercer grado y se denomina polinomio cúbico.
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Ejemplos:

Las siguientes funciones no son polinomios:

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COMBINACIÓN Y PERMUTACION.

COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar

o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen

dicho arreglo.

PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o

posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen

dicho arreglo.

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Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar

en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas":

no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y

manzanas " o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724“

no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

En otras palabras:

Una permutación es una combinación ordenada.

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Definición: El número de permutaciones de n objetos es el número

de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de

orden.

Definición:

El número de permutaciones de 3 objetos es igual a: 6=3!.

El número de permutaciones de n objetos es igual a: n!

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1) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos subconjuntos con un elemento puedo escoger de él?.

Respuesta:n.

2) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos parejas ordenadas con dos elementos diferentes puedo escoger

de él?.

Respuesta:

Por cada escogencia de la primera componente hay n-1 opciones para escoger la

segunda, por lo tanto, el número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes

es

n (n-1).

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3) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos subconjuntos con dos elementos diferentes puedo escoger de

él?.

Respuesta:

El número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes es n (n-1), pero

la pareja (a, b) es distinta de la pareja (b, a) aunque el conjunto {a, b}={b, a},

luego el número de conjuntos con tres elementos diferentes es:

4) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes puedo

escoger de él?.

Respuesta:

Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) opciones para

escoger la pareja integrada las otras dos coordenadas diferentes, por lo tanto,

el número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es:

n (n-1 )(n-2).

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5) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos subconjuntos con tres elementos diferentes puedo escoger de

él?.

Respuesta:

El número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es n (n-1) (n-2),

pero las triplas (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) y (c, b, a) son

todas distintas aunque los conjuntos {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a},

{c, a, b} y {c, b, a} son iguales luego el número de conjuntos con tres

elementos diferentes que podemos escoger de un conjunto con n elementos

es:

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6) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos r-uplas ordenadas de elementos diferentes puedo escoger de él?.

Respuesta:

Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) … (n-r+1)

opciones para escoger la r-1-upla integrada las otras r-1 coordenadas

diferentes, por lo tanto, el número de r-uplas ordenadas con todos los

elementos diferentes que se puede escoger de un conjunto con n elementos es:

n (n-1) (n-2) … (n-r+1).

pero:

Este número se acostumbra notar

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7) Si un conjunto tiene n elementos:

¿Cuántos subconjuntos con r elementos diferentes puedo escoger de

él?.

Respuesta:

El número de r-uplas ordenadas con todas sus coordenadas diferentes es

pero de cada conjunto se pueden obtener r! triplas

Distintas, luego el número de conjuntos con r elementos diferentes que

podemos escoger de un conjunto con n elementos es:

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Definición:

El término se denomina combinatoria de n, r y se nota:

Ejemplo:

¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?.

Desarrollo: