台灣一等一級水準網之重新平差計算

1. 台灣一等一級水準網之重新平差計算 指導教授：許榮欣 學生：鄞守毅

2. 報告流程 • 前言 • 資料介紹 • IAUE • 定相關法 • Theil model • 實驗 • 結論

3. 資料介紹 • 本研究所計算之資料，是由內政部委託國立成功大學衛星中心所進行的『台灣一等一級水準網測量督導查核工作』所用之資料。 • 根據「一等一級水準網測量督導查核工作總報告書」，此水準網共有1033筆觀測高差、1020個水準點，以基隆市民族英雄公墓內之K999水準點(5.66883m)為基準點。

4. 資料介紹 • 本研究將水準網分為26條測線，17個待定高程，並以基隆市民族公墓內之K999為固定點。 • 簡圖與整理表如下頁所示：

5. 路線簡圖

7. 資料介紹 • 上頁中各測線先驗方差m是以下式計算得的 上式中 是各測段閉合差， 是各測段長，i=1~n是測段編號。

8. IAUE • 迭代近乎無偏估計法(Iterated Almost Unbiased Estimation)，即IAUE，是一種估計最佳方差的方法，此法將根據網形幾何結構與觀測值品質估計各測線的方差及測線間的協方差，進而得到最佳的權矩陣。 • 。

9. IAUE計算流程(1) • 首先應該要列出觀測方程式，並計算出各測線的先驗方差，然後進行分組，將所有觀測量依某種標準分為k組，並將同一組的先驗方差統一為該組方差的平均數。

10. IAUE計算流程(2) • 。

11. 計算流程(3) • ，其中各個對角線元素就是各觀測量的多餘觀測數

12. 計算流程(4） • 計算各組的scale factor (f數) • ，其中 是各組成員r的總和。 • 重複2～6步驟直到各組scale factor和平差後之後驗單位權方差都收斂到1為止。

14. IAUE • 依照上面步驟進行到最後將會得到各觀測量的最佳方差估計，待方差估計完畢後，尤其所組成的權矩陣會是最佳的權矩陣，直接拿來做平差計算的結果也將是各待測點位的近乎無偏估計。

15. 定相關法 • 定相關法也是期望為平差方法估計出最佳的權模式，讓平差結果更理想。 • 不同於IAUE的是它是直接求最佳權，而不是先求各測線之最佳方差，再來組成權。 • 相關係數R可以根據lag-one autocorrelation，也可以根據任何lag的autocorrelation來估計，而平差結果也會隨相關係數的選擇而異。

16. 計算流程(1) • 利用各測線間測段之閉合差，計算各測線的R（相關係數） • 其中 代表各測段閉合差，i代表測線編號， 代表該測線的測段數，k代表lag數。.

17. 計算流程(2) • 代入平差計算，得各點高程

18. 定相關流程圖

19. Theil model • 測量計畫中，有時會遇到加密的問題，此類問題，需先將某些點加以固定，以進行加密動作，而那些固定點資料就稱為約制條件。 • 加密問題可分兩種方法處理，一為不將已知點資料給權之平差，即不含虛擬觀測之平差；一為將已知點資料加權之平差，即加入虛擬觀測之平差。

20. Theil model • 所謂虛擬觀測就是將已知點資料視為一已觀測之資料（實際上我們並沒有去觀測)，一起加入平差計算，藉此可以減少對網形的約制，避免網形為迎合約制條件而變形，或讓秩虧的設計矩陣得以滿秩。

21. Theil model • 已知點資料並不是絕對精確的，凡是觀測或多或少必有誤差，只是我們有沒有將它反映出來爾，若為虛擬觀測加權，就是將它視為有誤差之量，再進行平差計算，則稱之為加權的約制/加密平差；若無給予加權，即視為無誤差之已知量，則稱為不加權的約制/加密平差。本研究即以加入虛擬觀測之Theil Model做加密計算。

22. 計算流程(1) • 將含有誤差之已知約制參數與未知的待求加密未知數分開，分別為 的 和 的 ，其中 ， 是已知的約制參數數目， 是待求的加密點數目

23. 計算流程(2) • Theil Model觀測方程式可寫成 : (6)部分是真實觀測方程式，(7)部分是虛擬觀測方程式

24. 計算流程(3) • 將(7)代入(6)可得新虛擬觀測方程式： • 其中 ，

26. Theil model流程圖

27. IAUE實驗 • IAUE實驗分成依： • 先驗方差 • 地形 • 距離固定點距離 這三種標準來分組

28. 依先驗方差分組

29. 依地形分組

30. 依距離分組

31. 各分類法比較

32. 定相關實驗 • 定相關實驗分成: • lag-one • lag-one and lag-two

33. Lag-one成果

34. Lag-one and lag-two成果

35. 兩種情形比較

36. Theil model實驗 • 本實驗中各測線的計算方法將依其R值而異 • R為正的 表示明顯有系統誤差 所以權估計利用定相關技巧來定( ，絕對權)，Theil modl過程並不迭代，並令先驗方差為1。 • R為負的 表示系統性誤差不明顯 所以權就以距離倒數來定(相對權)，先驗方差則先行以傳統平差法求得之後驗方差代入，Theil model進行迭代。

37. Theil model實驗

38. Theil model實驗

39. 結論(IAUE) • IAUE是對「權」的最佳估計，估計出來的權是對於該網形的最佳權估計。也就是說IAUE的定權除了受點位精度影響外，還會受到A矩陣（網形）的影響，所以IAUE是almost unbiased estimation並不是exact estimation。另一方面，傳統平差只考慮先驗精度來定權，較IAUE法合理。這也是IAUE法的「理論缺點」。

40. 結論(IAUE) • IAUE的分組不能隨意地分組，分太多組將會造成scale factor無法收斂。在數學上來說，[r]的大小，確實是影響f收斂與否之主因。 • 這點可由許老師提出的公式得證：

41. 結論(IAUE) • 上述幾種分類法的比較可以根據： • scale factor越接近1越佳 • 後驗單位權方差越接近1越佳 • Mn越小越佳 • 各測線先驗方差m利用Helmert方法計算一次（不要迭代）得新的m。兩次m越接近越佳 根據上面四個判斷方法可知依距離分兩組的 方法最成功。

42. 結論(定相關) • 每條測線的R都代表該測線內各測段閉合差間的相關係數。 • R是正的表示相鄰兩閉合差的相關性很高。 • R是負的表示相鄰兩閉合差的相關性很低。 • R的數字越大，相關性越高。

43. 結論(定相關) • 兩種方法之比較可以利用各後驗方差和M相差之大小做比較，相差越小的越合理。 是第i測線中第j測段的閉合差(mm)， 是它的長度(m)。d是所有 的平均數。

44. 結論(定相關) • 以下是兩種方法的比較，可看出lag-one比較適合。

45. 結論(Theil model) • Theil model可使用相對權或絕對權進行計算，若事前不知確切的先驗方差值，可用傳統平差先行計算，以其後驗方差值當作估計的Theil model先驗方差值，並選用相對權模式，大致描述各觀測量間相對權值，再進行迭代以漸進求出各加密點之最或是高程。 • 若各觀測量之方差已知，則可利用絕對權模式直接定出各觀測量間之權值，直接進行一次Theil model平差，得各加密點之高程最或是值，此種以絕對權計算，且先驗方差定為1的Theil model又稱為Wolf model 。

46. 結論(Theil model) • 上面提到Theil model選用絕對權模式時不需迭代，其原因是因為先驗方差為1，而且絕對權固定為，這兩項並不會因為迭代而改變，所以(9)、(10)、(13)變成 (25) (26) (27) 都與先驗方差無關，且為常數，故迭代實無必要。

47. 結論(Theil model) • 相反的，使用相對權的動機乃因為事先沒有先驗方差的資訊，也無各觀測量的方差資訊，故只能使用相對權模式，大致估計各觀測量間之權，之後配合迭代動作一步一步修正先驗方差值，使其收斂至理想值，同時使各加密點之高程亦收斂至理想值。

48. 結論(Theil model) • Theil model在運算時，並沒有改變 和 ，因為他們是已知/約制條件，所以運算時不能任意改變，這樣才能保持運算前與運算後的一致性。 • 已知條件之獲取必有誤差，將它視為無誤差之量實在不切實際，在這方面Theil model可加入已知資料的方差以擬合現實，確實是一項優點。

49. 參考文獻 • Hsu R. , 1999 , ”An alternative expression for the variance factor in using Iterated Almost Unbiased Estimation”,Journal of Geodesy,73:173-179 • 曾清涼 , 2001 , ”一等一級水準網測量督導查核工作總報告書” • 許榮欣 , 2002 , ”Adjustment treatment of surveying measurements” , Dept. of Civil Engineering , National Taiwan University

50. 報告完畢