2.3.1 平面向量基本定理

1. 2.3.1平面向量基本定理 欢迎指导！

2. 一、思考引入： 问题（1）： 给定平面内任意两个向量： 和 ， 请你作出向量： 问题（2）： 平面内任一向量 都能用形如 + 的向量表示吗？

3. 二、新课讲授： （一）、针对问题的分析讨论： 问题（1）： 首先我们把向量 、 分成两种情况来讨论： ①：若 与 共线（如图a），如下图可作得 = ， = ②：若 与 不共线（如图b），如下图可作得 = ， = . B . A A B A’ B’ A’ . . B’ a b

4. 问题（2） 由上述可知：当向量 和 共线时，平面上的 任意向量 就无法用 来表示。 当向量 与 不共线时（如图），已知任意向量 。 在平面上任取一点O，作 = ， = ， = ， 过点C作平行与直线OB的直线，与直线OA交 于一点M； 过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交 于一点N。 由向量的线性运算可知，存在实数 、 ，使得： = ， = ， M C A . O N B 由于 = + ，所以 = + 即：任一向量 都可以表示成 的形式。

5. 由上述过程，你能得出什么结论吗？ （二）、由上述过程，可以发现：平面内任一向量都可以 由两个不共线的向量 、 表示出来。当 、 确定后， 任意向量都可以由这两个向量量化表示。 由此，我们得到平面向量的基本定理： 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ， 有且只有一对实数 、 ，使 我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。

6. （三）、向量的夹角： 不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们 规定： 已知两个非零向量 和 （如图），作 = ， = ，则 =θ（0°《θ《180 °）叫做向量 与 的夹角。 B . o θ A 显然，当θ= 0°时， 与 同向；当θ= 180 ° 时， 与 反向。 如果 与 的夹角是90 °，我们说 与 垂直， 记作 ⊥　。

7. 三、例题：已知向量 、 （如图），求作向量: C B . A o 作法：1、如图在平面内任取一点O，作 = 作 = ； 2、作平行四边形OACB； 就是求作的向量。 ？ 思考：例题还有其他作法吗？ 三角形法！

8. 四、练习： 1、若 = ， = ，则 =— 。 解： 2、已知两向量 、 （如图），设 = = ；求作：

9. 五、小结：本结通过探究，认识掌握平面向量 的基本定理，了解基底、夹角的概念，为进一 步学习平面向量的知识埋好伏笔。 六、作业：已知： 、 是不共线的两向量， = + ， = + ，若实数λ、μ满 足 + = ，试求λ、μ的值。