第二章重要公式與定理之復習 1. 定義 : 向量函數與向量場 倘若對空間內某一點集合之每一點 P 選定 一向量 , 稱此向量在這些點有了一個向量場 , 而且稱

1. 第二章重要公式與定理之復習 1. 定義: 向量函數與向量場 倘若對空間內某一點集合之每一點 P 選定 一向量 , 稱此向量在這些點有了一個向量場 , 而且稱 為向量函數。 2. 定理 : 向量函數的微分法則 若 與 以及 均為向量函數 , 且 k 為任意常數 , 則我們有

2. 3. 定義 : 考慮 Cartesian 座標系 , 則向量函數 稱為一曲線 C 的參數表示法 , 而變數 t , 被稱為這個表示法的參數。 4. 定義: 弧長 若曲線 C 可以向量函數 　來表 示 ,則此曲線的長度為 且函數 稱為是曲線 C 的弧長函數或簡稱曲線 C 的弧長。

3. 5. 定理 : 若一平面曲線以 y=f( x ) , z=0 表示之,則 • x=a 到 x=b 間的弧長為 • 6. 定理 : 弧長 s 可以被用來當做曲線之參數表示式裡 • 的參數，亦即 • 定義 :向量函數 稱為是曲線 C 在點 • P 的切線向量 , 其方向為在 P 之切線的方向 , 而對 • 應的單位向量 稱為 C 在 P 的單位切線 • 向量。

4. 8. 定義 : 若曲線 C 以一階導數與二階導數均存在且連續的 向量函數 表示 , 其中 s 為弧長 , 則 稱為曲線 C 的曲率 , 即表示曲線 C 彎曲的程度。 若 則 方向的單位向量 稱為 C 的單位主法線向量 , 而向量 稱為 C 的單位副法線向量 。

5. 9. 定義 : 純量函數 被稱為曲線 C 的扭率 , 即表示曲線 C 扭轉的程度。 • 定義 : 向量函數 • 被稱為純量函數 f 的梯度 , 其中 • ( 讀成 nabla 或 del ) 為微分算式。 11. 定義: 函數 f 在 P 點之沿 方向的方向導數為

6. 定義: 若考慮在曲面 　s 　上經過一點 P 之各方 • 向的曲線 , 則這些曲線在 P 點的切線必定位於同 • 一平面上 , 此平面在 P 點與曲面 s 相切,而稱為曲 • 面 s 在點 P 的切平面。經過 P 點且與切平面垂 • 直的直線稱為曲面 s 在點 P 的法線，若點

7. 13. 定義: 令 為可為分向量函數 ,而 x, y, z 為空間內右旋 Cartesian 座標系 , 且令 則函數 稱為向量 的散度或以 所定義之向量場 的散度。

8. 14. 定義 : 令 x , y , z 為空間內右旋 Cartesian 座標系, 且令 為亦可為分向量函數 ,則函數 稱為向量 的旋度或以 所定義之向量場 的旋度。

9. 15. 定義: 倘若　C　為簡單曲線且其表示為 其中　s　為　C　的弧長且 。如果 　　　 為連續且對於所有的　s　而言 　　　存在 且連續 ,則稱　C　為一平滑曲線 , 亦即 , 曲線 C 　上的每一點均有唯一的切線 , 此切線的方向將沿 著曲線進行而連續地改變。

10. 16. 定義 : 若 f(x,y,z) 為 s 的連續函數且在平滑曲線 C　上的每一點都被定義,則 被稱為函數　f　沿C自A至B的線積分 , A與B分別為曲線C的始點與終點，曲線C 被稱為積分路線。

11. 17. 定理 :若 f 與 g 均為連續函數 , 且其在平滑曲線 C上的點都已被定義 , 則 其中二弧 與 具有與 相同的定向。

12. 18. 定理 : Green’s 定理(不在平面上用法) 令 R 為 x y 平面上之有界封閉區域 , 其邊界C 由有線多條平滑線曲線所構成。令函數 f ( x , y ) 與 g( x , y ) 在包函 R 之某定義域內的每一點均為連續, 且其偏導函數 與 亦均為連續, 則我們有 其中以反時針方向沿 R 的整個邊界 C 積分為正方向積分。

14. 20. 定義: 若向量　　　在 u , v 平面上包含區域 R 之 定義域內為連續函數，其一階偏導數 與 亦為連續函數， R 內的每一封閉曲線都可以 連續地收縮成為 R 內的任一點而不離開，並 且 R 內每一點均滿足 以及倘若 為某一曲面 s 上之點的位置向量 ，則此曲面 s 可以用參數表示法 與 21. 定義 : 線性獨立的二向量 所決定得平面稱為 s 在對應點 P 的切平面 , 此平面 在 P 切於 s , 故包函經過 P 且在上之任一曲線在該 點 P 的切線。

15. 22. 定義 : 經過點 P 且垂直於經過該點 P 之切平面的直 線, 稱為 s 在 P 的法線 , 而單位向量 稱為 s在點 P的單位法線向量。 23. 定理: 若 s 為用向量函數 所表示的一平滑 曲面 , 則 s 在點 P 之切平面可表為

16. 24. 定義 : 一曲面 的面積可表示為 R 為對應於該曲面之 u ,v 平面內的區域 , 則 稱為面積元素。

17. 25. 定義 2.2.8 若 f ( x , y , z ) 在曲面　 s 上為連續函數 , 則 被稱為函數 f ( x , y , z ) 在曲面 s 上的面積分。 • 26. 公式： 1. 若 s 以向量函數　　　表示為參數式，則 2. 若 s　表為 z = g( x , y ) 的形式，則 其中 為曲面 z = g( x , y )在平面 x y上的正向 投影。

18. 27. 定理 : Gauss 散度定理 令　R　為空間內一封閉有界的區域 , 且其邊界為分 段平 滑的可向曲面 s 。令 在包含　R　 之某定義域內為連續函數且有連續的一階偏導函數, 則 其中 　為 在　s　對於　R　之向外 法線方向的份量 , 而 　為　s　的向外單位法線 向量。

19. 28. 公式 :　設 s 為可定向曲面，則我們可以選定單位法 　　線向量 　而將 s 加以定向。令 　表示與正 x , y 及 z 軸之間的夾角，則可得 令 為在　 s　上之每一點均有定義且連續的函數，則我們依其定義可得

20. 亦即令 ，則我們有

21. 29. 考慮 Gauss 散度定理 則我們可以得到下列的基本性質:

23. 由 2. 與 3. 得到

25. 我們必須注意：

27. 31. 定義 : 若 f 滿足 Laplacian 方程式 且其二階偏導函數在 D 內為連續 , 則此函數 f 稱為一調和函數。

28. 32. 定理 : Stokes 旋度定理 令 s 為空間內之分段平滑的定向曲面 , 且令 s 的邊界為分段平滑之簡單封閉曲線 C 。令 為連續的向量函數且其一階偏導函數在包函 s 之空間一定義域內為連續函數 , 則 其中 在 s 之單位向外法線方向的分量 , 且 為 在 C 之切線向量方向的分量。

29. 定理 : 令 在一定義域 D 內為一連續 • 可微分的向量函數，此一定義域 D 在平面上包含邊 • 界 C 為一分段平滑簡單封閉曲線的一單連有界的封 • 閉區域 s ，則 Green’s 定理 • 即為 Stokes’s 定理 • 的特例。

30. 34. 定義 : 對於三變數的一階微分形式 而言 , 如果在定義域 D 內存在亦可微分函數的微分 使得滿足 ，則稱形式( 2.2.1 ) 在 D 內為恰當或恰當微分。

31. 35. 定理 : 恰當性與路徑無關 令 f ( x,y,z ) 與 g( x,y,z ) 以及 h( x,y,z ) 在空間區域 D 內為連續 , 若且唯若微分形式 f dx + g dy + h dz 在 D 內為恰當 , 則線積分

32. 36. 定理 : 恰當性與路線無關的判斷準則 令 f ( x , y , z ) 為在空間區域內具有連續一階偏導函數 的連續函數 , 若且唯若線積分 與 D 內的積分路徑 C 無關 ( 因此 , f dx + g dy + h dz 在 D 內為恰當 ) , 則在 D 內有 此處 , 亦即我們有

33. 我們必須注意：

34. 例2.2.23 試計算 其中 C 為由點 P ( 0 , 0 , 0 ) 到點 的路線。

36. ∴ 此線積分符號內的形式為恰當 把上式對 y 作偏微則必等於 (2) 式 ,

37. 因此我們有 把上式對 z 作偏微分則必等於 (3) 式 ,

38. 因此我們得到 亦即 ■

39. 第三章 Fourier 級數 3.1 Fourier 級數 1807 年 12 月 21 日 , 一位叫 Joseph Fourier 的工程師向具有相當權威的法國科學學院發表說 : 任何函數 f (x) 都可以被展開成 sines 與 cosines 的無限級數。 換句話說 , 令 f( x ) 被 定義在區間 裡 ,而且計算

40. 則 , 無限級數 收斂到 f( x )。

41. 定理 3.1.1 Fourier 級數定理 令 f 與 在區間 裡是分段連續 的。(亦即 f 與 在區間 裡僅有有限個 不連續點,而且 f 與 在各不連續點都有右極限 與左極限。)我們計算式子 (3,1,1) (3,1,2) 中的 與 以及形成無限級數式子 (3,1,3) ,這個級數被稱為是 f 在區間 的 Fourier 級數。如果 f 在 x 是連續的, 則此級數將收斂到 f( x ) ; 但是 , 如果 f 在 x 不是連續的 ,則此級數將收斂到

42. 在 , 則 Fourier 級數 (3.1.3) 將收斂到 , 此處 是當 x 趨近於 時 f( x ) 的極限值 。 □ 例 3.1.1 假設函數 解:

43. 因此 , f 在區間 的 Fourier 級數為

44. 根據定理 ， 吾人知 : 如果 -1<x<0 ， 則這個級數收斂到 0 ， 如果 0<x<1 ， 則這個級數收斂到 1， 但是在 x= 0 ，這個級數則收斂到 0 與 1 的平均值　　　　。 ■

45. 例 3.1.2 假設函數 試求 f 在區間 的 Fourier 級數。 解:

46. 因此 , f 在區間 的 Fourier 級數為 ■

47. 根據定理 ， 如果 -2<x<0 ， 則這個級數收斂到 1 ， 如果 0<x<2 ， 則這個級數收斂到 x ， 但是在 x = 0 時則此級數收斂到 1 與 0 的平均值 。 同理在 時，則此級數收斂到 1 與 2 平均值 。現在我們考慮在 x=0 時 , 這個級數為 但是根據定理，我們已知在 x=0 時此級數收斂到 1與 0 的平均值 , 因此我們得到

48. 或 ■

49. 習題 一. 試求下列函數 f 在已知區間的 Fourier 級數 :

50. 二 . (a)試求函數 在區間 的 Fourier 級數 (b)試證明