目標導向以及批判式思維數學教學方法

1. 目標導向以及批判式思維數學教學方法 台中女子高級中學 2013. 3. 13

2. 許瑞麟 • 學經歷: • 台北市立建國高級中學 • 國立清華大學數學系學士 • 美國北卡羅萊納州立大學博士 • 美國紐澤西州AT&T貝爾實驗室研究員 • 國立成功大學數學系暨應用數學研究所教授

3. 許瑞麟 國科會雲嘉南資賦優異高中生培育計畫共同主持人 地方/全國/國際科展評審委員 台南一中科學班計畫協同主持人/大學端導師 大考中心試題評鑑委員 教育部公費留學考試委員 3

4. 演講摘要 傳統數學教學方法是序列式的. 先講數, 再講函數, 然後三角函數, 指數對數, 空間向量等依序進行. 99課綱僅是將一些應用性的題材先教, 基本上還是序列式的. 多年來沒人質疑這些順序的合理性. 也沒有證據指出這些是好的序列. 大家多半就是教(學)習慣了. 4

5. 演講摘要 我在高中端演講多年的觀察發現, 學生縱使因此學到數學的結構與邏輯, 卻對所學到的學問沒有感覺. 縱使學到數學的框架與技巧, 對於駕馭數學的能力還是相當薄弱. 換句話說, 這樣的數學教育, 並沒有在學生心中著根! 5

6. 演講摘要 本演講提出一套以目標導向的數學教學方法, 用一個又一個的明確主題為討論主軸, 比如計算效能, 節能減碳, 核能等等. 讓學生從使用數學去學數學, 將``學’’ 和 ``用’’結合. 跟傳統先學數學, 日後再找機會應用數學的思維, 截然不同. 6

7. 演講摘要 而且, 每一主題, 都一定要講出一個核心價值,並且以批判性思維加以檢視. 而這是科學的最基本的精神! 我們的目標是一套全新有創見的數學教學教材與教學方法. 我們期望全面提升台灣下一代的數學素養與競爭力. 本計畫特別感謝國立成功大學文教基金會支持贊助. 7

8. 前言 8

9. 國內數學教學, 基本上是以數學結構內涵做序列式串接. 中學如此, 大學也如此! 先講數(依序包含自然數, 整數,有理數, 實數), 然後是各式基本函數(線性函數, 多項式函數, 指對數,三角函數). 接下去就是空間座標, 向量, 曲線與曲面. 排列組合, 機率統計則主觀隨意安插. 學生在這一系列的學習過程, 高中要學3年, 大學雖引進微積分以及代數與解析等高等工具與觀點, 但是基本上同樣題材還要再學 2 - 3 年.

10. 在這一段漫長的學習過程中, 學生主要學習到的是數學知識, 數學結構, 數學語言, 邏輯推理, 解題技巧. 少數學生或能從中體會數學的美, 獲得抽象的形式訓練. 但是對於數字的感受力(比如感知到百萬分之一到底多小, 或者是10的15次方到底有多大, 要多大的樣本才叫大樣本等等), 對於數學應用端的價值體現(比如在計算機的應用, 內積的應用, GPS以及現代測量上的應用), 卻談得太少太晚.

11. 甚至對於數學內部知識的批判性思維(比如為何負負得正, 比如數學歸納法的形式地位, 數學哲學思維, 各式定義的合理性質疑等等)都付諸厥如. 更別提數學與人文, 藝術, 歷史, 社會意義相結合這樣的跨界思維更是從來不在台灣數學教育的考量範圍內.

12. 台灣在數學知識與技能的平均水平, 和世界各國相較的確具有相對優勢. 這種優勢的建立, 或有部分是得利於這一套的教學方式. 但是, 不可否認, 學生在升學壓力下的大量練習, 可能才是這種相對優勢的主因. 而且, 純技術式的訓練, 學生的數學視野無疑是狹隘與淺薄的.

13. 序列式的教法, 雖然有邏輯連貫的優勢, 但是單線作業的型態, 知識傳播效率極差, 無法讓學生以全面性的思維來學習. 以今天科技水平的爆發速度, 序列式教法在傳播知識的速度與效能上, 完全無法趕上現今科技的進程. 因此, 與其他各科學領域相較, 數學雖然愈顯重要, 但是卻弔詭地面對日益邊緣化的危機.

14. 加減乘除四則運算

15. 給定兩個正整數, 比如, a=6838, b=764. 計算 a+b, a-b, axb, a/b. 這一類的題目, 大部分的學生都曾有計算錯誤的經驗. 會算但是算錯, 是一件相當可惜的事! 但是卻很少學生去正視這個問題. 15

16. 我們可以讓學生去查資料, 或上網去 google, 很快就可以發現加減乘除四則運算, 除了國小教過的直式運算外, 從古到今有非常多不同算法. 還不包括中國傳統的珠算. 因此, 可以以計算能力做主題, 教高中生如何以科學的方式去分析各種不同加減乘除計算方法的優缺點. 16

17. a=838, b=964 的四則運算 • 這個題目是多位數 (multiple digits)的四則運算, 是靠一系列的單位數 (single digit)計算來完成. • 比如, 計算 a+b 主要是執行 8+4, 3+6 和 8+9 三次單位數加法. • 會犯錯多半是 8+4 和 8+9 進位後, 另外產生 寫2進1 和 寫7進1 的 隱形的加法, 以心算來執行.

18. 加法運算分析 • 因此, 如果妳用以下的算式, 就相對不容易犯錯.

20. 1 2

21. 1 2 9

22. 1 2 9 1 7

23. 1 2 9 1 7 2

24. 1 1 2 1 7 9 0 2

25. 1 1 2 1 7 9 2 8 0

26. 1 1 2 1 7 9 0 2 1 8 以上, 直式加法總共使用3次單位數加法, 以及產生2次進位加法

27. 加法運算量分析 27 • 一個 n 位數加上一個 n 位數, 至多需要執行 2n 次的(單位數計算). 其中 n 次是一定要做的加法, 外含最多 n 次的進位加法.

28. 直式乘法運算量分析 28 • 一個 n 位數乘上一個 n 位數, 例如: 476 * 327, 至多需要執行 次的(單位數計算).

30. 4 2

31. 4 2 4 9

32. 4 2 4 9 2 8

33. 4 2 4 9 2 8

34. 4 2 4 9 2 8 2

35. 1 4 2 4 9 2 8 3 2

36. 1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 2

37. 1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 3 2

38. n位數乘上1位數, 總共使用n次乘法, (n-1)次加法, 並產生(n-1)次進位加法, 共 3n-2 次單位數運算. 1 4 2 1 4 9 2 8 3 3 3 2

39. 476 * 367 之十位數和百位數之直式乘法分解. 各須要不超過 3n-2 次單位數運算. 統算至此, 已使用(至多) 運算. 1 8 3 6 2 1 4 2 1 2 2 4 1 4 2 8 2 8 5 6

41. 3 3 3 2

42. 3 3 3 2 2 8 5 6

43. 3 3 3 2 2 8 5 6

44. 476*7 + 476*60 實際上只有中間位數的 333 和 856 相加. 之前提過, 兩個 n 位數相加, 包含其衍生出來的進位, 總共要 2n 次(最多)運算. 3 3 3 2 2 8 5 6 3 1 8 9 2

45. 31892+1428 實際上只執行 318 + 428 1 3 3 3 2 2 8 5 6 3 1 8 9 2 1 4 2 8 1 7 4 6 9 2

46. 直式乘法運算量分析 一個 n 位數乘上一個 n 位數, 分解成 (i) n 位數乘上 1 位數: 每次運算量 3n-2, 共 n 次 至多 (ii) 乘完以後相加: (n-1) 次的 (n 位數+n 位數) 共: (n-1)*(2n) = (i) 及 (ii)合併至多共需要執行 次的(單位數計算). 46

47. 直式加法和直式乘法運算量比較

48. 連加法運算分析 • 既然加法的運算量(一次式)比上乘法(二次式)少那麼多, 那麼像是 476 * 367 可以用 476+476+476+ …+476 連加 366 次來算會比較快嗎?(我們稱這種方法為 連加法)

49. 連加法運算分析 49

50. 50 • 數字再稍大一些的話, 妳都可以贏過超級電腦! • 電腦的確非常快. 但是, 計算的效率, 絕大部分是決定於所使用的方法, 而不在於使用多先進的科技!