제 7 장 유한 임펄스 응답 필터 설계

1. 제 7장 유한 임펄스 응답 필터 설계

2. 1. 서론 • 유한 임펄스 응답(FIR) 필터 • 임펄스 응답이 유한한 특성 • 선형 위상응답과 매개변수 양자화 영향에 강함 • 설계 과정이 복잡함 • 긴 시간지연 • 요구되는 필터사양에 대해 높은 차수가 필요

3. 2. FIR 필터의 기본 특성 • 기본적인 FIR 필터의 특성 • 현재의 출력 표본 은 단지 과거와 현재의 입력 값인 의 함수로 표현됨 • FIR필터는 정확하게 선형적인 위상응답을 가진다. • FIR필터는 구현하기 매우 간단하다. • 통용되는 모든 디지털 신호처리기는 FIR 필터처리에 적합한 구조를 가짐 • 비순환 FIR 필터는 IIR 필터보다 유한단어길이(wordlength)에 대한 영향이 적다. (7-1) (7-2)

4. 3. 선형 위상 응답 • 필터의 위상 응답 • 신호가 필터를 통과할 때 신호의 진폭이나 위상이 변형 • 변형의 속성이나 정도는 필터의 진폭 및 위상 특성에 기인함 • 신호의 위상 특성 변화 정도를 가늠하는 척도 • 필터의 위상지연(phase delay) • 신호의 각 주파수 성분이 필터를 통과하는 과정에서 얻어지는 시간지연의 양 • 필터의 군지연(group delay) • 혼합 신호가 각 주파수에서 나타나는 평균 시간지연

5. FIR 필터의 주파수 응답 특성 • 필터의 위상지연 와 군지연 는 다음과 같다. (7-3) 여기서 이며, 는 의 연속 위상을나타낸다. (7-4) (7-5) (7-6)

6. 비선형적인 위상특성의 필터 • 신호가 필터를 통과하는 과정에서 위상의 왜곡 유발 • 신호의 주파수 성분이 주파수 값에 비례해 지연되지 않아 이들 사이의 분포가 달라지기 때문 • 필터가 선형 위상응답 특성을 가질 조건 (7-7) (7-8) 여기서 와 는 상수이다.

7. 위의 조건 만족을 위해서 필터의 임펄스 응답은 양의 대칭이 되어야 한다. • 식 (7-3)과 (7-4)로 부터 다음을 얻을 수 있다. (7-9) 그러므로 (7-10)

8. 식 (7-12)가 성립하기 위해서는 이나 가 대칭성을 가져야 하기 때문에 이 식의 해는 다음과 같이 표현된다. 따라서 (7-11) 즉 (7-12) (7-13) (7-14)

9. 단지 식 (7-8)의 조건만이 만족될 때 필터는 일정한 군지연만 가짐 • 필터의 임펄스 응답은 음의 대칭을 이룸 (7-15) (7-16)

10. 그림 7-1. 4가지 유형의 선형위상필터에 대한 임펄스 응답: 위상지연과 군 지연 모두 일정할 때: (a) 짝수 인 양의 대칭,(b) 홀수 인 양의 대칭 군 지연만이 일정할 때 : (c) 짝수 인 음의 대칭,(d) 홀수 인 음의 대칭

11. 예제 7-1 • 디지털 필터가 선형위상 특성을 가지기 위해 필요한 조건들에 대해 간략히 설명하고, 그러한 특성을 가진 필터들의 장점을 서술하라 • 임펄스 응답 을 가지는 FIR 필터가 구간에서 정의되어 있다. 이고, 이 다음의 대칭 조건을 만족한다면 필터가 선형위상 특성을 가진다는 것을 보여라. • 일 경우에 대해 (2)를 반복하라.

12. 임펄스 응답이 반드시 대칭이 되어야 한다. • 대칭 조건을 사용하면 에서 다음과 같다. • 선형위상 응답을 가지는 필터에서는 모든 주파수 성분이 필터를 통과할 때 지연은 동일하다. 즉 위상 왜곡은 일어 나지 않는다.

13. 필터의 주파수 응답 는 식 (7-3)에서와 같이 를 이용해 표현할 수 있다. • 대칭 조건을 이용하여 계수들이 동일한 항끼리 묶을 수 있다.

14. 이고 이라고 하면, 는 다음과 같이 축약할 수 있다. 위상응답은 명확히 선형임 여기서

15. (3) 인 경우, 대칭조건에 의해 다음과 같이 둘 수 있다. • 위의 접근 방법과 대칭 조건을 이용하면 다음의 주파수 응답을 얻음 여기서

16. 표 7-1. 선형적인 위상 FIR 필터들의 4가지 형태

17. 4. FIR 필터의 영점 분포 • 선형위상 FIR 필터의 영점 • 양의 대칭(유형 1과 2)인 식 (7-13)을 사용하여 를 나타내면 가 된다. 선형 위상 FIR필터는 임펄스 응답 이 가지는 대칭성으로 인하여 의 영점들도 대칭으로 분포 (7-17)

18. 영점들의 분포를 네 가지 경우로 나누어 생각해 보자. (1) 가 에서 영점을 가진다면 에서 영점을 가진다면 선형 위상이므로 에서도 영점을 가져야 한다. 또한 이 실수이고 가 복소수라면 에서 켤레 영점을 가져야 한다. 이는 도 영점이 되어야 함을 의미한다. 따라서 이 실수 이고, 각 복소 영점이 단위원 위에 있지 않다면, 다음과 같은 네 개의 역 켤레 (conjugate reciprocal) 영점들을 가진다.

19. (2) 영점이 단위원 위에 있게 되면 이고 이 되므로, 즉 이면, 가 되므로 다음과 같다. (3) 의 영점이 실수이고 단위원 위에 있지 않다면 그 역(reciprocal) 또한 의 영점이며 아래와 같은 쌍으로 나타남 (4) 의 영점이 에 있으면 다음으로 표현됨

20. 영점이 에 있는 경우는 식 (7-17)로 부터 이므로, 이 홀수인 대칭 임펄스 응답인 경우 는 에서 반드시 한 개의 영점을 가져야 한다. • 비대칭 임펄스 응답인 유형3(짝수의 )과 유형4(홀수의 )에 대해서는 식 (7-17)로 부터 이다. 식 (7-18)는 비대칭인 경우에 의 영점들이 대칭인 경우와 마찬가지로 영점들이 제한되어야 함을 의미한다. (7-18)

21. 그림 7-2. 선형 위상 FIR 필터의 영점들의 위치 (a) 유형1(짝수의 ),(b) 유형2(홀수의 ),(c) 유형3(짝수의 ),(d) 유형4(홀수의 )

22. 5. FIR 필터 설계 사양 • 유한 임펄스 응답 필터 설계 • 필터 사양들을 결정 • 필터의 형태 • 요구되는 진폭이나 위상응답 • 허용오차 • 표본화 주파수 • 입력 데이터의 단어길이 • 필터 사양을 만족하는 필터의 계수를 결정 • 창함수 방법 • 최적화 방법 • 주파수 표본화 방법

23. FIR 필터와 관련된 필터 사양 • 주요 매개변수( parameter) • : 통과대역 첨두 편차값(또는 파상(ripple)) • : 저지대역(또는 소거대역) 편차값 • : 통과대역 차단주파수 • : 저지대역(또는 소거대역) 차단주파수 • : 표본화 주파수 • 다른 중요한 매개변수 • 필터 계수의 수를 나타내는 필터의 길이 여기서 와 사이의 차는 필터의 천이 폭(transition width) 이다.

24. 그림 7-3. 저역통과필터에 대한 주파수 진폭 응답

25. FIR 필터 계수의 결정 • FIR 필터의 표현 • FIR 필터 계수 결정 • 진폭- 주파수 응답 및 허용 오차 등과 같은 설계 사양을 만족하는 필터, 즉 을 얻기 위함 • FIR 필터 계수 결정 방법 • 창을 이용한 방법 • 최적화 방법 • 주파수 표본화 방법

26. 6. 창함수를 이용한 방법 • 창함수를 이용하여 FIR 필터를 설계하는 방법 • 이상적인 필터의 주파수 응답 와 그의 대응하는 임펄스 응답 이 가지는 관계를 이용 (7-19) 여기서 아래 첨자 는 이상적인 임펄스 응답과 실제 임펄스 응답을 구분하기 위해 사용 되었다.

27. 저역통과 필터를 설계한다고 가정하자. • 이상적인 저역통과 응답은 다음과 같다. (7-20)

28. 이 에 대해서 대칭이므로 선형위상응답이다. • 이 로부터 멀어지면 감소하지만, 이론적으로는 까지 존재하므로 인과성 조건에 위배 되어 이 필터는 FIR이 아니다. 그림 7-4. (a) 저역통과필터의 이상적인 주파수응답(주파수 축이 로 정규화 되어 있음),(b) 이상적인 저역통과필터의 임펄스 응답

29. 인과성 조건의 위배에 대한 해결 • 원하는 필터길이 보다 큰 에 대하여 으로 둠으로써 이상적인 임펄스 응답을 절단(truncation)함 • 절단되어 버려진 계수들로 인한 효과 • 파상(ripple) • 오버슈트(overshoot) • 깁스현상(Gibb’s phenomenon) • 에 대한 직접적인 절단은 이상적인 임펄스 응답에 구형창(rectangular window) 함수 을 곱하는 것과 같다.

30. 그림 7-5. 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때의 주파수 응답에서의 효과 (a) 개의 계수로 절단 (b) 개의 계수로 절단 (C) 무한한 수의 계수(즉 절단이 없을때)

31. 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때 주파수 응답 • 주파수 영역에서 절단의 과정은 가 의 푸리에 변환이라면, 와 를 상승적분한 것과 같다. • 가 전형적인 의 형태를 가지므로 에 구형창으로 계수를 절단함은 주파수 영역에서 오버슈트와 파상을 일으킴 그림 7-6. 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때의 주파수 응답에서의 효과를 보여 주는 상승적분 연산 (a)이상적인 임펄스 응답과 구형창(절단)의 상승적분을 보여주는 과정, (b) 상승적분 결과

32. 오버슈트와 파상을 줄이기 위해 유한길이의 적당한 창 함수를 곱함 그림 7-7. 창함수(블랙맨 창)에 의한 필터의 응답 특성

33. 표 7-2. 주파수 선택적인 필터들의 이상적인 임펄스 응답

34. 일반적인 창 함수 • 해밍(Hamming)창 함수 • 해밍창 함수를 이용한 필터 설계 • 통과대역과 저지대역 사이의 천이폭과 필터길이에 대한 관계 (7-21) (7-22) 여기서 는 정규화된 천이폭으로, 로 구해지며 는 필터의 길이이다.

35. 그림 7-8. 창함수의 시간영역 및 주파수 영역의 비교 (a)창함수들, (b) 구형창의 주파수 특성, (c) 해밍(Hamming)창의 주파수 특성(d) 블랙맨(Blackman)창의 주파수 특성

36. 표 7-3. 창 함수들의 중요한 특징

37. 카이저(Kaiser) 창 함수 • 파상과 천이폭의 상충관계(trade-off)를 설계자가 조절 • 파상제어 매개변수 사용 • 는 시간영역에서 창함수 가장자리 부분에서 점점 감소하는 정도를 조절한다. • 앞의 4가지 창 함수들에서 야기되는 문제점들을 다소 해결

38. 카이저 창 함수 일반적으로 일 때, 구형창 함수와 같아지며, 일 때는 해밍창 함수와 유사하게 된다. (7-23) 여기서 는 제1종 영차 수정 베셀함수(zero-order modified Bessel function of the first kind)이다.

39. 의 결정 • 저지대역에서 요구되는 감쇠 값에 의해 결정 • 다음의 관계식을 통해 추정 • 필터의 계수 (7-24) 여기서 는 저지대역의 감쇠 값으로, 통과대역과 저지대역의 파상이 거의 같기 때문에 이다. (7-25) 여기서 는 정규화된 천이폭이다. 위에서 구한 와 의 값들은 카이저 창함수 의 계수 값들을 계산하기 위해 사용된다.

40. FIR 필터의 계수 값을 계산하는 창 함수 방법 단계 1: 필터의 이상적인 주파수응답이나 또는 원하는 주파수 응답에 대한 사양을 정한다. 단계 2 : 요구되는 필터 의 임펄스 응답 을 역 푸리에 변환하여 구한다. 단계 3 : 통과대역과 감쇠 사양들을 만족하는 창 함수를 선택하고, 필터 길이와 천이폭 사이의 적절한 관계를 고려하여 필터 계수들의 개수를 결정한다. 단계 4 : 선택된 창 함수 의 값을 결정하고, 실제 FIR 필터의 계수들 값, 을 과 의 곱을 통해 구한다. 즉 (7-26)

41. 예제 7-2 • 창 함수 방법을 이용하여 아래의 사양을 만족하는 FIR 저역통과 필터의 계수 값을 구하라. 통과대역 차단주파수 천이폭 저지대역 감쇠 표본화 주파수 • 저역통과 필터에 대해 를 아래와 같이 선택한다.

42. 표 7-3으로부터 해밍, 블랙맨 또는 카이저 창 함수가 저지대역 감쇠 조건을 만족 • 여기서는 해밍창 함수를 이용한다. • 정규화된 천이폭을 계산하면 다음과 같다. • 식 (7-22)로부터 • 이므로 으로 정한다.

43. 필터 계수는 다음 식으로부터 얻어진다. • 창 함수의 번짐효과(smearing effect)를 고려하여 천이대역의 중간지점에 해당하는 를 사용한다. • 그림 7-4(a)에서주파수 축을 로 정규화 하여 표현하고 있으므로 여기서 사용되는 차단주파수도 정규화 하여 표현하면 다음과 같다. 여기서

44. 을 구하기위해 식 (7-20)에서의 을 방향으로 만큼 전이(shift) 시킨다. • 따라서 위 식에 을 곱하여 을 구할 수 있다.

45. 이 대칭 함수이기 떄문에 에 대한 값을 계산하고 나머지 계수 값들은 대칭성을 이용함

47. 그림 7-9. 예제 7-2의 FIR 저역통과 필터의 스펙트럼

48. 예제 7-3 • 카이저 창함수 방법을 이용하여 아래의 진폭응답 사양들을 만족하는 선형 위상응답을 가지는 저역통과 FIR 필터의 계수 값들을 구하라. 저지대역 감쇠 통과대역 파상 천이폭 표본화 주파수 차단 주파수

49. 설계 사양들로부터 다음을 구한다. • 창 함수 방법에서는 통과대역과 저지대역의 파상들 모두가 동일하기 때문에 더 작은 파상을 사용한다. 이 경우에서는 이다. • 식 (7-25)로부터 계산된 필터 계수의 개수는 아래와 같다. 로 정한다.

50. 로 홀수이므로 결과의 FIR 필터는 유형 2의 필터가 된다. 파상의 매개변수 감쇠가 58.8로 구해졌으므로 는 다음과 같다. • 창 함수의 번짐효과(smearing effect)를 고려하여 천이대역의 중간지점에 해당하는 를 사용한다. • 정규화된 다음과 같다.