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1.4 函数的连续性

1.4 函数的连续性. 主要内容： 1. 函数连续性的定义 . 2. 初等函数的连续性 . 3. 闭区间上连续函数的性质. 一、函数连续性的定义. 在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续”不断的．例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是“连续变化”的．自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性．下面先介绍函数增量的概念．. 1 ．函数的增量. 2 ．函数在 x 0 点的连续性.

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1.4 函数的连续性

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  1. 1.4 函数的连续性 主要内容： 1. 函数连续性的定义. 2. 初等函数的连续性. 3. 闭区间上连续函数的性质.

  2. 一、函数连续性的定义 在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续”不断的．例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是“连续变化”的．自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性．下面先介绍函数增量的概念．

  3. 1．函数的增量

  4. 2．函数在x0点的连续性

  5. 定义３ 设函数 f(x) 在点 x0 及其近旁有定义，

  6. 这个定义指出了函数f(x)在点x0连续要满足三个条件这个定义指出了函数f(x)在点x0连续要满足三个条件

  7. 例2 已知函数 讨论函数在x=0和x=1处的连续性．

  8. 解 （1）函数f(x)在x=0处有定义，且f(0)=0 因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存在但不相等，所以极限不存在，函数f(x)在x=0处不连续．

  9. 解 （2）函数f(x)在x=1处有定义，且 f(1)=1 因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存在且相等，所以极限存在， 函数 f(x)在x=1处连续．

  10. 3．函数在区间(a,b)内的连续性 定义4设函数在区间[a,b]内有定义，若左极限 则称函数在点左连续；若右极限 则称函数在a点右连续

  11. 定义4如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，定义4如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续， 则称函数f(x)在开区间（a，b）内连续， 区间（a，b）称为函数的连续区间． 如果函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内连续， 且f(x)在右端点b左连续，在左端点a右连续． 即 则称函数在闭区间[a，b]上连续， 函数f(x)称为[a,b]上的连续函数 ， 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线．

  12. 二、初等函数的连续性 1．基本初等函数的连续性 定理１ 基本初等函数在其定义区间内都是连续的． 连续函数的图象是一条连续不间断的曲线． 例如，反正弦函数y=arcsinx在其定义区间[-1，1]上是连续的；反正切函数y=arctanx在其定义区间(-∞,∞)上是连续的．

  13. 例如，函数y=sinx和y=cosx在处是连续的 在 处连续． 2．连续函数的和、差、积、商的连续性 定理２ 设函数f(x)和g(x)在x0处连续，则它们的 和、差、积、商（分母不等于零）在点x0处也连续． 显然它们的和﹑差﹑积﹑商

  14. 3．复合函数的连续性 而函数y=f(u)在u0点连续，则复合函数

  15. 4．初等函数的连续性 定理４ 初等函数在其定义区间内是连续的 根据定理４可知，如果x0是初等函数f(x)定义区间内的点,那末求当x→ x0时的极限，只要求f(x)在点x0 的函数值就可以了．即：

  16. 解 因为 是初等函数定义区间内的点．根据定理4可知：

  17. 三、闭区间上连续函数的性质 1．最大值、最小值性质 定理５ 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数在[a,b]上必有最大值和最小值．

  18. 应当注意的是：如果函数在开区间(a,b)内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值．

  19. 2．介值性质

  20. 图1.12 图1.11 定理的几何意义很明显

  21. 2．介值性质

  22. 我们可以利用推论来判断方程f(x)=0在(a,b)内根的存在性．我们可以利用推论来判断方程f(x)=0在(a,b)内根的存在性． 例5　证明方程x3+3x2-1=0在区间（0，1）内至少有一个根 证明　设f(x)=x3+3x2-1 ，则f(x)在闭区间[0，1]上是连续的． f(0)=-1, f(1)=3,因为f(0)f(1)<1，根据推论，在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0．即为方程x3+3x2-1=0的一个根．这就是说x3+3x2-1=0在（0，1）内至少有一个根．

  23. 四、小结 连续性是函数的重要属性之一．所谓连续,从几何直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线．从数学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相关的． １、函数在某点处的连续性是用极限来定义的． ２、函数在点处连续与函数在点处的极限是有区别的 ３、闭区间上连续函数的性质 作业

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