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对称与群

对称与群. 顾沛教授 抽象代数课件. 对称与群. 对称与群. 一 . 对称 1.1. 人们身边充满了对称 : 比如 : 人体 雪花 鼠标. 对称与群. 其它的一些对称. 对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 两国交战 非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争. 对称与群.

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对称与群

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Presentation Transcript

  1. 对称与群 顾沛教授 抽象代数课件

  2. 对称与群

  3. 对称与群 一.对称1.1.人们身边充满了对称:比如:人体 雪花 鼠标

  4. 对称与群 其它的一些对称 对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 两国交战非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争

  5. 对称与群 上面我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识，下面要考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。什么是对称的共性？什么是对称的本质？下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“元多项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称”的统一的本质。

  6. 对称与群 二:平面图形的对称 2.1 在运动中看 “对称” 人们一般会说，大圆与小圆有相同的对称性，大正方形与 小正方形有相同的对称性；也会说，圆比正方形更对称 些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角 形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。 正三角形与正方形谁“更”对称一些？

  7. 对称与群 让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。 可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：反射；旋转；平移。 2.2 从不变性看“对称” 共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为“保距变换”，把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述

  8. 对称与群 变中有不变 注意，在上述“运动”的定义下,“不动”也是一种“运动”,它可以看成旋转0o的“运动”,也可以看成平移 a=0 的“运动”.这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不对称”. 由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形 K 不变的“运动”放在一起,构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集.

  9. 对称与群 逆时针旋转120度 如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?

  10. 对称与群 2.3 抽象观点与具体例子的对照 |S(K)|=8 |S(K)|=∞ |S(K)|=12 |S(K)|=6 |S(K)|=1 |S(K)|=0

  11. 对称与群 定性的描述上升为定量的描述 正三角形与正方形谁更对称一些？ |S(K)|=6 |S(K)|=8 正方形比正三角形更对称一些。

  12. 对称与群 2.4 小结 从 “对称”，发现 “变中有不变” ，提出“运动”；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为“对称集”，用它来描述的对称性；最后，我们把中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。 “从实践中来，又到实践中去”

  13. 对称与群 n 元多项式的对称 仿照研究“平面图形的对称”时的方式，把“n元多项式的对称”，也从直观的感觉，抽象为数学的叙述。 2.5 n元多项式简介

  14. 对称与群 2.6从运动中的不变性看“对称” 考虑n＝3构成3元多项式的，有两方面要素，一方面是“构成元素” 及系数,另一方面是他们间的“运算”——加法和乘法。 3元多项式 谁比谁更对称一些?

  15. 对称与群 3元多项式的对称性 “n 元置换” 或简称“置换” n＝3的时候共有6个“3元置换”

  16. 对称与群 描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法. 这就是把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起, 构成一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”. S(f)中元素个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.

  17. 对称与群 “n元置换”一共有n!个。如果f是n 元多项式，则S(f)是全体n!个n元置换所构成集合的子集合，所以|S(f)|n！.当|S(f)|=n！时，任一n元置换都将保持f不变，这时f称为n元对称多项式。

  18. 对称与群 集合上的可逆变换，子集的对称变换与子集的对称 把讨论“平面图形的对称”及“n元多项式的对称”中形成的数学思想综合起来，用“子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的“对称”。 2.9集合上的可逆变换，子集的对称变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变换”。 几个例子…

  19. 对称与群 变中有不变，“变”是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些 在整体上保持N不变,即 称这样的 为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为 称为“N的对称集”. 和 对比

  20. 对称与群 2.10子集的对称 任一客观事物都可以看作某一个集合M的子集 M N

  21. 对称与群 “子集N的对称变换” “子集N的对称集S(N)” 子集N的对称集S(N)，是一个具有代数结构的集合。 S(N)中有运算，且有规律。

  22. 对称与群 ①S(N)中任意两个元素, 相继作用的结果仍保持N整体不变，故 仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就隐含封闭,为强调,单列一条)； ②S(N)中任意三个元素 ， ， 的运算， 是先做 的运算还是先做 的运算，效果是一样的，称之为S(N)中的运算满足结合律；

  23. 对称与群 ③S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律; ④对S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一个元素 使与 相继作用的效果，恰相当于③中的恒等变换，即不动， 称 为 的逆元，这称为S(N)中的运算满足逆元律; N的对称集S(N)叫作“N的对称变换群”.

  24. 对称与群 三、群的定义与性质 1、定义 设G是一个带有运算“”的非空集合，且其中的运 算满足以下四个条件，则称{G； }是一个群 ①封闭律， 有 ②结合律, 有 ③幺元律，存在 ，使 ，有 ，称为幺元； ④逆元律, ，存在 ，使 称b为a的逆元。 群{G； }也简记为G

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